数学九年级下册6.2 黄金分割精品当堂达标检测题

这是一份数学九年级下册6.2 黄金分割精品当堂达标检测题，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第2节 黄金分割








一、单选题（共8小题）


1.在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加美感，按此比例，如果雕像的身高为3米，设雕像的上部为x米，根据其比例关系可得其方程应为（ ）


A．x2﹣9x+9＝0B．x2﹣3x+9＝0C．x2+9x﹣9＝0D．x2﹣6x+9＝0


【解答】解：根据题意得x：（3﹣x）＝（3﹣x）：3，


整理得x2﹣9x+9＝0．


故选：A．


【知识点】黄金分割、由实际问题抽象出一元二次方程


2.点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），且AB＝6m，则BC的长为（ ）


A．（9﹣3）cmB．（9+3）cmC．（3﹣3）mD．（6﹣6）cm


【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，


∴AC＝AB＝×6＝3﹣3，


∴BC＝AB﹣AC＝9﹣3（m），


故选：A．


【知识点】黄金分割


3.线段AB上点C是黄金分割点，AC＞BC，若AB＝2，则AC为（ ）


A．B．C．D．


【解答】解：∵C为线段AB＝2的黄金分割点，且AC＞BC，AC为较长线段，


∴AC＝AB＝﹣1；


故选：A．


【知识点】黄金分割


4.点P把线段AB分割成AP和PB两段，如果AP是PB和AB的比例中项，那么下列式子成立的是（ ）


A．＝B．＝C．＝D．＝


【解答】解：∵点P把线段AB分割成AP和PB两段，AP是PB和AB的比例中项，


∴根据线段黄金分割的定义得：＝．


故选：D．


【知识点】黄金分割


5.勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图，点C将线段AB分成AC、CB两部分，且AC＞BC，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．若C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，则分割后较短线段长为（ ）





A．B．C．D．


【解答】解：根据黄金分割点的概念得：AC＝AB＝×2＝﹣1，


∴BC＝AB﹣AC＝3﹣；


故选：B．


【知识点】勾股定理、黄金分割


6.如图①，AB＝2，点C在线段AB上，且满足＝如图②，以图①中的AC，BC长为边建构矩形ACBF，以CB长为边建构正方形CBDE，则矩形AEDF的面积为（ ）





A．14﹣6B．4﹣8C．10﹣22D．10﹣20


【解答】解：由＝得，


AC＝＝＝﹣1，


BC＝＝＝3﹣，


因为CBDE为正方形，所以EC＝BC，


AE＝AC﹣CE＝AC﹣BC＝（﹣1）﹣（3﹣）＝2﹣4，


矩形AEDF的面积：AE•DE＝（2﹣4）×（3﹣）＝10﹣22．


故选：C．


【知识点】矩形的性质、黄金分割、正方形的性质


7.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，∠ACB＝36°，AB＝BC，AC＝2，则AB的长度是（ ）





A．﹣1B．1C．D．


【解答】解：∵AB＝BC，∠ACB＝36°，


∴∠BAC＝∠ACB＝36°，∠B＝∠CED＝108°，


∴∠AED＝72°，


∴CA＝CD，∠ACD＝36°，


∴∠CAD＝∠CDA＝72°，


∴∠ADE＝∠ACD＝36°，


∴DA＝ED＝EC，设AB＝x，则AD＝DE＝EC＝x，


∵∠DAE＝∠CAD，∠ADE＝∠ACD，


∴△DAE∽△CAD，


∴AD2＝AE•AC，


∴x2＝（2﹣x）•2，


∴x＝﹣1或﹣﹣1（舍弃），


∴AB＝﹣1，


故选：A．


【知识点】黄金分割、等腰三角形的性质、旋转的性质


8.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是≈0.618，称为黄金比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此，此外，最美人体的头顶与咽喉至肚脐的长度之比也是，若某人的身材满足上述两个黄金比例，且头顶至咽喉的长度为26cm，则其身高可能是（ ）





A．165cmB．178cmC．185cmD．190cm


【解答】解：设某人的咽喉至肚脐的长度为xcm，则


≈0.618，


解得x≈42.072，


设某人的肚脐至足底的长度为ycm，则


≈0.618，


解得y≈110.149，


∴其身高可能是110.149÷0.618≈178（cm），


故选：B．


【知识点】黄金分割








二、填空题（共6小题）


9.已知点P是线段AB上的点，且BP2＝AP•AB，如果AB＝2cm，那么BP＝ ﹣ cm．


【解答】解：∵点P在线段AB上，BP2＝AP•AB，


∴点P为线段AB的黄金分割点，AB＝2cm，


∴BP＝2×＝（﹣1）cm．


故答案为：（﹣1）．


【知识点】黄金分割


10.已知线段AB的长为2cm，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么线段PB的长等于 ﹣ （结果保留根号）．


【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），


∴AP＝AB＝×2＝﹣1，


∴PB＝AB﹣AP＝3﹣；


故答案为：3﹣．


【知识点】黄金分割


11.已知线段MN＝2，点P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，则MP＝ ．


【解答】解：∵点P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，


∴MP＝MN＝×2＝﹣1；


故答案为：﹣1．


【知识点】黄金分割


12.已知，AB＝4，P是AB黄金分割点，PA＞PB，则PA的长为 ﹣ ．


【解答】解：∵P是AB黄金分割点，PA＞PB，


∴PA＝AB＝2﹣2．


故答案为：．


【知识点】黄金分割


13.如图，已知舞台AB长10米，如果报幕员从点A出发站到舞台的黄金分割点P处，且AP＜BP，那么报幕员应走 米报幕．





【解答】解：∵点P为AB的黄金分割点，AP＜BP，


∴PB＝AB＝×10＝5﹣5（米），


∴AP＝AB﹣PB＝10﹣（5﹣5）＝15﹣5（米），


故答案为（15﹣5）．


【知识点】黄金分割


14.电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB长为20米，主持人现站在A处，请问主持人应走到离A点至少多少米处才最自然得体？（结果精确到0.1米） ．





【解答】解：根据黄金比得：20×（1﹣0.618）≈7.6米，


∵黄金分割点有2个，


∴20﹣7.6＝12.4，


由于7.6＜12.4米


∴主持人应走到离A点至少7.6米处才最自然得体．


故答案为：7.6米．


【知识点】近似数和有效数字、黄金分割








三、解答题（共5小题）


15.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，AB2＝BD•BC


（1）求证：△ABC∽△DBA；


（2）试证明CA＝CD；（要求：证明过程注明理由）





【解答】（1）证明：∵AB2＝BD•BC，


∴＝，


∵∠B＝∠B，


∴△ABC∽△DBA．





（2）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，


∴∠B＝∠C＝36°（等边对等角），


∵△ABC∽△DBA（已证）


∴∠BAD＝∠C＝36°（相似三角形的对应角相等）


∴∠CAD＝72°（角的和差定义）


∴∠CDA═180°﹣∠C﹣∠CAD＝72°（三角形内角和定理），


∴∠CAD＝∠ADC（等量代换）


∴CA＝CD（等角对等边）．


【知识点】等腰三角形的性质、黄金分割


16.如果一个矩形的宽与长的比值为，则称这个矩形为黄金矩形，如图，将矩形ABCD剪掉一个正方形ADFE后，剩余的矩形BCFE（BC＞BE）是黄金矩形，则原矩形ABCD是否为黄金矩形？请说明理由．





【解答】解：原矩形ABCD是为黄金矩形．


理由如下：设矩形BCFE的长BC为x，


∵四边形BCFE为黄金矩形，


∴宽FC为x，


∵四边形AEFD是正方形，


∴AB＝x+x＝x，


则＝＝，


∴原矩形ABCD是为黄金矩形．


【知识点】黄金分割、正方形的性质、矩形的判定与性质


17.黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．如图1，我们已经学过，点C将线段AB分成两部分，如果AC：AB＝BC：AC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．


（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；


（2）求出线段AD的长．





【解答】（1）证明：∵AB＝AC＝1，


∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣36°）＝72°，


∵BD平分∠ABC交AC于点D，


∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，


∴∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°，


∴DA＝DB，BD＝BC，


∴AD＝BD＝BC，


易得△BDC∽△ABC，


∴BC：AC＝CD：BC，即BC2＝CD•AC，


∴AD2＝CD•AC，


∴点D是线段AC的黄金分割点；


（2）解：设AD＝x，则CD＝AC﹣AD＝1﹣x，


∵AD2＝CD•AC，


∴x2＝1﹣x，解得x1＝，x2＝，


即AD的长为．


【知识点】等腰三角形的性质、黄金分割


18.两千多年前，古希数学家欧多克索斯（Eudxus，约公元前400年一公元前347年）发现；将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短线段与长线段的长度之比等于长线段的长度与全长之比，即，则点P叫做线段AB的黄金分割点．如图，在△ABC中，点D是线段AC的黄金分割点，且AD＜CD，AB＝CD．


（1）求证：∠ABC＝∠ADB；


（2）若BC＝4cm，求BD的长．





【解答】（1）证明：∵点D是线段AC的黄金分割点，且AD＜CD，


∴AD：CD＝CD：AC，


∵AB＝CD，


∴AD：AB＝AB：AC，


而∠DAB＝∠BAC，


∴△ABD∽△ACB，


∴∠ADB＝∠ABC；


（2）解：∵△ABD∽△ACB，


∴＝，


而AB＝CD，


∴＝，


∵点D是线段AC的黄金分割点，且AD＜CD，


∴CD＝AC，


∴＝，


∴BD＝（2﹣2）cm．


【知识点】黄金分割、数学常识


19.如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC＝AB，则称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金“右割“点，根据图形不难发现，线段AB上另有一点D把线段AB分成两条线段AD和BD，若BD＝AB，则称点D是线段AB的黄金“左割”点．


请根据以上材科．回答下列问题


（1）如图2，若AB＝8，点C和点D分别是线段AB的黄金“右割”点、黄金“左割”点，则BC＝ ﹣ ，DC＝ ﹣ ．


（2）若数轴上有M，P，Q，N四个点，它们分别对应的实数为m，p，q，n，且m＜p＜q＜n，n＝3|m|，点Q和点P分别是线段MN的黄金“右割”点、黄金“左割”点，求的值．





【解答】解：（1）∵点C和点D分别是线段AB的黄金“右割”点、黄金“左割”点，


∴AC＝BD＝AB＝×8＝4﹣4，


∴BC＝8﹣（4﹣4）＝12﹣4；


∴DC＝BD﹣BC＝（4﹣4）﹣（12﹣4）＝8﹣16；


故答案为12﹣4；8﹣16；


（2）由（1）和题意可知：；


∵在数轴上，m＜p＜q＜n，n＝3|m|


∴PN＝n﹣p； MQ＝q﹣m； MN＝n﹣m；


当m≥0时，n＝3m； 即3m﹣p＝＝


∴根据被减数﹣差＝减数：p＝3m﹣＝4m﹣


同理可求q＝


∴的值为


当m＜0时，n＝﹣3m；∴3m﹣p＝


∴根据被减数﹣差＝减数：p＝3m﹣＝


同理可求q＝3m﹣


∴的值为＝


【知识点】黄金分割