初中数学苏科版九年级下册5.5 用二次函数解决问题优秀当堂检测题

这是一份初中数学苏科版九年级下册5.5 用二次函数解决问题优秀当堂检测题，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第5节 用二次函数解决问题








一、单选题（共7小题）


1.直角三角形两直角边之和为定值，其面积S与一直角边x之间的函数关系大致图象是下列中的（ ）


A．B．


C．D．


【解答】解：设直角三角形两直角边之和为a，其中一直角边为x，则另一直角边为（a﹣x）．


根据三角形面积公式则有：


y＝ax﹣x2，


以上是二次函数的表达式，图象是一条抛物线，故选B．


【知识点】二次函数的图象、二次函数的应用


2.小明乘坐摩天轮转一圈，他距离地面的高度y（米）与旋转时间x（分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经侧试得部分数据如下表：


下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是（ ）





A．7分B．6.5分C．6分D．5.5分


【解答】解：最值在自变量大于2.66小于3.23之间，


所以最接近摩天轮转一圈的时间的是6分钟．


故选：C．


【知识点】二次函数的应用


3.为了测量某沙漠地区的温度变化情况，从某时刻开始记录了12个小时的温度，记时间为t（单位：h），温度为y（单位：℃）．当4≤t≤8时，y与t的函数关系是y＝﹣t2+10t+11，则4≤t≤8时该地区的最高温度是（ ）


A．11℃B．27℃C．35℃D．36℃


【解答】解：∵y＝﹣t2+10t+11＝﹣（t﹣5）2+36，


∴当t＝5时有最大值36℃，


∴4≤t≤8时该地区的最高温度是36℃，


故选：D．


【知识点】二次函数的应用


4.一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下，滑下的距离s（m）与时间t（s）之间的关系为s＝8t+2t2，若滑到坡底的时间为4s，则此人下降的高度为（ ）





A．16mB．32mC．32mD．64m


【解答】解：设斜坡的坡角为α，


当t＝4时，s＝8×4+2×42＝64，


∵斜坡的坡比1：，


∴tanα＝，


∴α＝30°，


∴此人下降的高度＝×64＝32（m），


故选：B．


【知识点】二次函数的应用、解直角三角形的应用-坡度坡角问题


5.某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y（间）与定价x（元/间）之间满足y＝x﹣42（x≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（ ）


A．252元/间B．256元/间C．258元/间D．260元/间


【解答】解：设每天的利润为W元，根据题意，得：


W＝（x﹣28）（80﹣y）﹣5000


＝（x﹣28）[80﹣（x﹣42）]﹣5000


＝﹣x2+129x﹣8416


＝﹣（x﹣258）2+8225，


∵当x＝258时，y＝×258﹣42＝22.5，不是整数，


∴x＝258舍去，


∴当x＝256或x＝260时，函数取得最大值，最大值为8224元，


又∵想让客人得到实惠，


∴x＝260（舍去）


∴宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元．


故选：B．


【知识点】二次函数的应用


6.如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，长方形的长OA是12m，宽OC是4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣x2+bx+c表示．在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m．那么两排灯的水平距离最小是（ ）





A．2mB．4mC．4 mD．4m


【解答】解：根据题意，得


OA＝12，OC＝4．


所以抛物线的顶点横坐标为6，


即﹣＝＝6，


∴b＝2，


∵C（0，4），


∴c＝4，


所以抛物线解析式为：


y＝﹣x2+2x+4


＝﹣（x﹣6）2+10


当y＝8时，


8＝﹣（x﹣6）2+10，


解得x1＝6+2，x2＝6﹣2．


则x1﹣x2＝4．


所以两排灯的水平距离最小是4．


故选：D．


【知识点】二次函数的应用


7.如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（ ）





A．2.1mB．2.2mC．2.3mD．2.25m


【解答】解：由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，


则设抛物线的解析式为：


y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），


代入（3，0）求得：a＝．


将a值代入得到抛物线的解析式为：


y＝﹣（x﹣1）2+3（0≤x≤3），


令x＝0，则y＝＝2.25．


则水管长为2.25m，


故选：D．


【知识点】二次函数的应用








二、填空题（共5小题）


8.汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝12t﹣6t2，汽车刹车后到停下来前进了 m．


【解答】解：∵s＝12t﹣6t2＝﹣6（t﹣1）2+6，


∴当t＝1时，s取得最大值6，


即当t＝1时，汽车刹车后行驶的距离s取得最大值6m，


∴汽车刹车后到停下来前进了6m，


故答案为：6．


【知识点】二次函数的应用


9.某公司10月份的产值是100万元，如果该公司第四季度每个月产值的增长率相同，都为x（x＞0），12月份的产值为y万元，那么y关于x的函数解析式是 ．


【解答】解：由题意可得，


y＝100（1+x）2，


故答案为：y＝100（1+x）2．


【知识点】根据实际问题列二次函数关系式


10.如图，一个涵洞的截面边缘是抛物线形．现测得当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离是2.4m．这时，离开水面1.5m处，涵洞的宽DE为 ．





【解答】解：∵抛物线y＝ax2（a＜0），


点B在抛物线上，将B（0.8，﹣2.4），


它的坐标代入y＝ax2（a＜0），


求得a＝﹣，


所求解析式为y＝﹣x2．


再由条件设D点坐标为（x，﹣0.9），


则有：﹣0.9＝﹣x2．，


解得：x＝±，


所以宽度为，


故答案为：．


【知识点】二次函数的应用


11.如图，一款落地灯的灯柱AB垂直于水平地面MN，高度为1.6米，支架部分的形状为开口向下的抛物线，其顶点C距灯柱AB的水平距离为0.8米，距地面的高度为2.4米，灯罩顶端D距灯柱AB的水平距离为1.4米，则灯罩顶端D距地面的高度为 米．





【解答】解：


如图，以点B为原点，建立直角坐标系．


由题意，点A（0，1.6），点C（0.8，2.4），则设顶点式为y＝a（x﹣0.8）2+2.4


将点A代入得，1.6＝a（0﹣0.8）2+2.4，解得a＝﹣1.25


∴该抛物线的函数关系为y＝﹣1.25（x﹣0.8）2+2.4


∵点D的横坐标为1.4


∴代入得，y＝﹣1.25×（1.4﹣0.8）2+2.4＝1.95


故灯罩顶端D距地面的高度为1.95米


故答案为1.95





【知识点】二次函数的应用


12.一抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．当水面下降1m时，水面的宽为 m．





【解答】解：如图：


以拱顶到水面的距离为2米时的水面为x轴，拱顶所在直线为y轴建立平面直角坐标系，


根据题意设二次函数解析式为：


y＝ax2+2


把A（2，0）代入，得


a＝﹣，


所以二次函数解析式为：y＝﹣x2+2，


当y＝﹣1时，﹣x2+2＝﹣1


解得x＝±．


所以水面的宽度为2．


故答案为2．


【知识点】二次函数的应用








三、解答题（共7小题）


13.春节前夕，万果园超市从厂家购进某种礼盒，已知该礼盒每个成本价为32元．经市场调查发现，该礼盒每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系．当该款礼盒每个售价为50元时，每天可卖出200个；当该款礼盒每个售价为60元时，每天可卖出100个．


（1）求y与x之间的函数解析式（不要求写出x的取值范围）；


（2）若该超市想达到每天不低于240个的销售量，则该礼盒每个售价定为多少元时，每天的销售利润最大，最大利润是多少元？


【解答】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b，


由题意得，，


解得：，


∴y与x之间的函数解析式为y＝﹣10x+700；





（2）设每天的销售利润为W元，


由如图得，W＝（x﹣32）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1020x﹣22400＝﹣10（x﹣51）2+3610，


∵﹣10x+700≥240，


解得：x≤46，


∴32＜x≤46，


∵a＝﹣10＜0，


∴当x＜51时，W随x的增大而增大，


∴当x＝46时，W有最大值，最大利润是﹣10×（46﹣51）2+3610＝3560，


答：该礼盒每个售价定为46元时，每天的销售利润最大，最大利润是3560元．


【知识点】二次函数的应用


14.某商店购进一批单价为8元的商品，经调研发现，这种商品每天的销售量y（件）是关于销售单价x（元）的一次函数，其关系如表：


（1）求y与x之间的关系式；


（2）设商店每天销售利润为w（元），求出w与x之间的关系式，并求出每天销售单价定为多少时利润最大？


【解答】解：（1）设y与x的一次函数是y＝kx+b，


由表得：，


解得：k＝﹣10，b＝200，


∴y与x的一次函数是y＝﹣10x+200；





（2）根据题意得：w＝（x﹣8）（﹣10x+200）＝﹣（x﹣14）2+360，


∴w是关于x的二次函数，且二次项系数为﹣1＜0，


∴当x＝14时，w去掉最大值360，


∴当每天销售单价定为14元时利润最大．


【知识点】二次函数的应用


15.巩义某景点试开放期间，门票价格暂定60元，为吸引游客，对团队门票优惠如下：不超过20人时，按正常门票价格收费；超过20人且不超过60人时，每增加1人，门票价格降低1元；超过60人时，门票价格不再降低，按60人的优惠门票价格收费．设景点接待有x名游客的某团队，收取总费用为y元．


（1）求y关于x的函数表达式．


（2）景点售票员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，请求出团队门票最多优惠只能按多少人的优惠门票价格收费，此时门票价格是多少？


【解答】解：（1）由题意得：，


即；





（2）由（1）可知，当0＜x≤20时，y都随着x的增大而增大．


当20＜x≤60时，y＝﹣x2+80x＝﹣（x﹣40）2+1600，


∴由二次函数的性质可知当x≤40时，y随着x的增大而增大，x≥40时，y随着x的增大而减小．


∴为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，团队门票最多优惠只能按40人的优惠门票价格收费，此时门票价格是40元．


【知识点】二次函数的应用


16.某超市销售一种商品，成本价为50元/千克，规定每千克售价不低于成本价，且不高于85元经市场调查，该商品每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：


（1）求y与x之间的函数表达式．


（2）设该商品每天的总利润为W（元），则当售价x定为多少元/千克时，超市每天能获得最大利润？最大利润是多少元？


（3）如果超市要获得每天不低于1600元的利润，且符合超市自己的规定，那么该商品的售价x的取值范围是多少？请说明理由．


【解答】解：（1）设y＝kx+b，


将（50，120）、（60，100）代入，


得：，


解得：，


∴y＝﹣2x+220 （50≤x≤85）；





（2）W＝（x﹣50）（﹣2x+220）


＝﹣2x2+320x﹣11000


＝﹣2（x﹣80）2+1800，


∴当x＝80时，W取得最大值为1800元，


答：售价为80元时获得最大利润，最大利润是1800元．





（3）当W＝1600时，得：﹣2x2+320x﹣11000＝1600，


解得：x＝70或x＝90，


∵该抛物线的开口向下，


∴当70≤x≤90时，W≥16000，


又∵每千克售价不低于成本，且不高于85元，即50≤x≤85，


∴该商品每千克售价的取值范围是70≤x≤85．


【知识点】二次函数的应用


17.某服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每降价0.1元，多经销500件．服装厂决定批发价在不低于11.4元的前提下，将批发价下降0.1x元．


（1）求销售量y与x的关系，并求出x的取值范围；


（2）不考虑其他因素，请问厂家批发单价是多少时所获利润W可以最大？最大利润为多少？


【解答】解：（1）由题意得，y＝5000+500x（10＜x≤11.4）；


（2）设降价0.1x元，利润为W元，


W＝（13﹣10﹣0.1x）（5000+500•x）


＝﹣50（x﹣10）2+20000，


∵a＝﹣50＜0，


∴x＝10时，W有最大值，


即厂家批发的单价为（13﹣0.1x）＝12元时利润最大，最大利润为20000．


【知识点】二次函数的应用


18.商店销售某种利润率为50%的商品，现在的售价为30元/千克，每天可卖100千克，现准备对价格进行调整，由实际销售经验可知，售价每涨1元销售量要少卖10千克，设涨价后的销专单价为x（元/千克），且物价局规定每千克的利润不低于12元且不高于18元．


（1）该商品的购进价格是每千克多少元？


（2）若商店某天的利润为750元，求售价为多少元？


（3）求该商店每天销售这种商品的最大利润．


【解答】解：（1）设进价为a元，


∵利润率为50%，


∴a（1+50%）＝30，


解得：a＝20，


所以该商品的进价为20元；


（2）根据题意得：（400﹣10x）（x﹣20）＝750，


解得：x1＝35（不合题意，舍去），x2＝25，


∴x＝25，


∴商店某天的利润为750元，求售价为25元；





（3）设每天的利润为W，则W＝（400﹣10x）（x﹣20）＝﹣10x2+600x﹣8000＝﹣10（x﹣30）2+1000，


∵12≤x﹣20≤18，


∴32≤x≤38，


∴x＝32时，W有最大值960元．


【知识点】一元二次方程的应用、二次函数的应用


19.一家蔬菜公司计划到某绿色蔬菜基地收购A，B两种蔬菜共140吨，预计两种蔬菜销售后获利的情况如表所示：


其中A种蔬菜的5%，B种蔬菜的3%须运往C市场销售，但C市场的销售总量不超过5.8吨．设销售利润为W元（不计损耗），购进A种蔬菜x吨．


（1）求W与x之间的函数关系式；


（2）将这140吨蔬菜全部销售完，最多可获得多少利润？


（3）由于受市场因素影响，公司进货时调查发现，A种蔬菜每吨可多获利100元，B种蔬菜每吨可多获利m（200＜m＜400）元，但B种蔬菜销售数量不超过90吨．公司设计了一种获利最大的进货方案，销售完后可获利179000元，求m的值．


【解答】解：（1）根据题意得：W＝1200x+1000（140﹣x）＝200x+140000．


（2）根据题意得，5%x+3%（140﹣x）≤5.8，


解得 x≤80．


∴0＜x≤80．


又∵在一次函数W＝200 x+140000中，k＝200＞0，


∴W随x的增大而增大，


∴当x＝80时，W最大＝200×80+140000＝156000．


∴将这140吨蔬菜全部销售完，最多可获得利润156000元．


（3）根据题意，得W＝（1200+100）x+（1000+m）（140﹣x）＝（300﹣m）x+140000+140m．


∵140﹣x≤90，


∴x≥50，


∴50≤x≤80．


①当300﹣m＜0，即300＜m＜400时，W随x的增大而减小，


∴当x＝50时，W取最大值，此时W＝50（300﹣m）+140000+140m＝179000，


解得m＝，


∵＜300，


∴这种情况不符合题意；


②当300﹣m＝0，即m＝300时，W＝182000＞179000，这种情况不符合题意；


③当300﹣m＞0，即200＜m＜300时，W随x的增大而增大，


∴当x＝80时，W取最大值，此时W＝80（300﹣m）+140000+140m＝179000，


解得m＝250．


综上可知m＝250．


【知识点】二次函数的应用、一元二次方程的应用


x/分
…
2.66
3.23
3.46
…
y/米
…
69.16
69.62
68.46
…
x（元）
10
11
12
13
14
y（件）
100
90
80
70
60
售价x（元/千克）
50
60
70
销售量y（千克）
120
100
80
销售品种
A种蔬菜
B种蔬菜
每吨获利（元）
1200
1000