高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念随堂练习题
展开[A级 基础巩固]
1.下列说法正确的是( )
A.数列1,3,5,7与数集{1,3,5,7}是一样的
B.数列1,2,3与数列3,2,1是相同的
C.数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1+\f(1,n)))是递增数列
D.数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1+\f(-1n,n)))是摆动数列
解析:选D 数列是有序的,而数集是无序的,所以A,B不正确;选项C中的数列是递减数列;选项D中的数列是摆动数列.
2.已知数列eq \f(1,2),eq \f(2,3),eq \f(3,4),…,eq \f(n,n+1),则0.96是该数列的( )
A.第20项 B.第22项
C.第24项 D.第26项
解析:选C 由eq \f(n,n+1)=0.96,解得n=24.
3.在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中,x等于( )
A.11 B.12 C.13 D.14
解析:选C 观察数列可知,后一项是前两项的和,故x=5+8=13.
4.已知数列{an}的通项公式an=lg(n+1)(n+2),则它的前30项之积是( )
A.eq \f(1,5) B.5
C.6 D.eq \f(lg23+lg3132,5)
解析:选B a1·a2·a3·…·a30=lg23×lg34×lg45×…×lg3132=lg232=lg225=5.
5.已知递减数列{an}中,an=kn(k为常数),则实数k的取值范围是( )
A.R B.(0,+∞)
C.(-∞,0) D.(-∞,0]
解析:选C an+1-an=k(n+1)-kn=k<0.
6.数列-1,1,-2,2,-3,3,…的一个通项公式为________.
解析:注意到数列的奇数项与偶数项的特点即可得an=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-\f(n+1,2),n=2k-1k∈N*,,\f(n,2),n=2kk∈N*.))
答案:an=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-\f(n+1,2),n=2k-1k∈N*,,\f(n,2),n=2kk∈N*))
7.已知数列{an}的通项公式an=19-2n,则使an>0成立的最大正整数n的值为________.
解析:由an=19-2n>0,得n
答案:9
8.已知数列{an}的通项公式an=eq \f(n,n+1),则an·an+1·an+2=________.
解析: an·an+1·an+2=eq \f(n,n+1)·eq \f(n+1,n+2)·eq \f(n+2,n+3)=eq \f(n,n+3).
答案:eq \f(n,n+3)
9.观察下面数列的特点,用适当的数填空,并写出每个数列的一个通项公式:
(1)eq \f(3,4),eq \f(2,3),eq \f(7,12),________,eq \f(5,12),eq \f(1,3),…;
(2)eq \f(\r(5),3),________,eq \f(\r(17),15),eq \f(\r(26),24),eq \f(\r(37),35),…;
(3)2,1,________,eq \f(1,2),…;
(4)eq \f(3,2),eq \f(9,4),________,eq \f(65,16),….
解:(1)根据观察:分母的最小公倍数为12,把各项都改写成以12为分母的分数,则序号
1 2 3 4 5 6
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
eq \f(9,12) eq \f(8,12) eq \f(7,12) ________ eq \f(5,12) eq \f(4,12)
于是应填eq \f(6,12),而分子恰为10减序号,
故应填eq \f(1,2),通项公式为an=eq \f(10-n,12).
(2)eq \f(\r(5),3)=eq \f(\r(4+1),4-1),eq \f(\r(17),15)=eq \f(\r(16+1),16-1),eq \f(\r(26),24)=eq \f(\r(25+1),25-1),eq \f(\r(37),35)=eq \f(\r(36+1),36-1).
只要按上面形式把原数改写,便可发现各项与序号的对应关系:分子为序号加1的平方与1的和的算术平方根,分母为序号加1的平方与1的差.故应填eq \f(\r(10),8),
通项公式为an=eq \f(\r(n+12+1),n+12-1).
(3)因为2=eq \f(2,1),1=eq \f(2,2),eq \f(1,2)=eq \f(2,4),所以数列缺少部分为eq \f(2,3),数列的通项公式为an=eq \f(2,n).
(4)先将原数列变形为1eq \f(1,2),2eq \f(1,4),________,4eq \f(1,16),…,所以应填3eq \f(1,8),数列的通项公式为an=n+eq \f(1,2n).
10.根据数列的通项公式,写出数列的前5项,并用图象表示出来:
(1)an=(-1)n+2;
(2)an=eq \f(n+1,n).
解:(1)a1=1,a2=3,a3=1,a4=3,a5=1.图象如图①.
(2)a1=2,a2=eq \f(3,2),a3=eq \f(4,3),a4=eq \f(5,4),a5=eq \f(6,5).图象如图②.
[B级 综合运用]
11.(多选)一个无穷数列{an}的前三项是1,2,3,下列可以作为其通项公式的是( )
A.an=n
B.an=n3-6n2-12n-6
C.an=eq \f(1,2)n2-eq \f(1,2)n+1
D.an=eq \f(6,n2-6n+11)
解析:选AD 对于A,若an=n,则a1=1,a2=2,a3=3,符合题意;对于B,若an=n3-6n2-12n+6,则a1=-11,不符合题意;对于C,若an=eq \f(1,2)n2-eq \f(1,2)n+1,当n=3时,a3=4≠3,不符合题意;对于D,若an=eq \f(6,n2-6n+11),则a1=1,a2=2,a3=3,符合题意.故选A、D.
12.对任意的a1∈(0,1),由关系式an+1=f(an)得到的数列满足an+1>an(n∈N*),则函数y=f(x)的图象是( )
解析:选A 据题意,由关系式an+1=f(an)得到的数列{an},满足an+1>an,即该函数y=f(x)的图象上任一点(x,y)都满足y>x,结合图象,只有A满足,故选A.
13.已知数列2,eq \f(7,4),2,…的通项公式为an=eq \f(an2+b,cn),则a4=________,a5=________.
解析:将a1=2,a2=eq \f(7,4)代入通项公式,得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a+b,c)=2,,\f(4a+b,2c)=\f(7,4),))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b=3a,,c=2a,))
∴an=eq \f(n2+3,2n),∴a4=eq \f(42+3,2×4)=eq \f(19,8),a5=eq \f(52+3,2×5)=eq \f(14,5).
答案:eq \f(19,8) eq \f(14,5)
14.已知数列{an}的通项公式为an=pn+q(p,q∈R),且a1=-eq \f(1,2),a2=-eq \f(3,4).
(1)求{an}的通项公式;
(2)-eq \f(255,256)是{an}中的第几项?
(3)该数列是递增数列还是递减数列?
解:(1)∵an=pn+q,且a1=-eq \f(1,2),a2=-eq \f(3,4),
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(p+q=-\f(1,2),,p2+q=-\f(3,4),))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(p=\f(1,2),,q=-1,))
因此{an}的通项公式是an=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n-1.
(2)令an=-eq \f(255,256),即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n-1=-eq \f(255,256),
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n=eq \f(1,256),解得n=8.故-eq \f(255,256)是{an}中的第8项.
(3)由于an=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n-1,且eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n随n的增大而减小,因此an的值随n的增大而减小,故{an}是递减数列.
[C级 拓展探究]
15.已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(9n2-9n+2,9n2-1))).
(1)求这个数列的第10项;
(2)eq \f(98,101)是不是该数列中的项,为什么?
(3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内;
(4)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3),\f(2,3)))内有无数列中的项?若有,是第几项?若没有,说明理由.
解:(1)设an=f(n)=eq \f(9n2-9n+2,9n2-1)
=eq \f(3n-13n-2,3n-13n+1)=eq \f(3n-2,3n+1).
令n=10,得第10项a10=f(10)=eq \f(28,31).
(2)令eq \f(3n-2,3n+1)=eq \f(98,101),得9n=300.
此方程无正整数解,所以eq \f(98,101)不是该数列中的项.
(3)证明:∵an=eq \f(3n-2,3n+1)=1-eq \f(3,3n+1),
且n∈N*,∴0<1-eq \f(3,3n+1)<1,
∴0
(4)令eq \f(1,3)
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3n+1<9n-6,,9n-6<6n+2,))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n>\f(7,6),,n<\f(8,3).))
∴当且仅当n=2时,上式成立,故在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3),\f(2,3)))内有数列中的项,且只有一项为a2=eq \f(4,7).
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