数学选择性必修 第二册4.1 数列的概念课后测评

这是一份数学选择性必修 第二册4.1 数列的概念课后测评，共5页。

4．2．1等差数列的概念1.（2019·吉林蛟河一中高一月考）已知等差数列{an}，则使数列{bn}一定为等差数列的是( )


A．bn＝－an B．bn＝aeq \\al(2,n)


C．bn＝eq \r(an) D．bn＝eq \f(1,an)


【答案】A


【解析】∵数列{an}是等差数列，∴an＋1－an＝d(常数)．


对于A：bn＋1－bn＝an－an＋1＝－d，正确；对于B不一定正确，如数列{an}＝{n}，则bn＝aeq \\al(2,n)＝n2，显然不是等差数列；对于C、D：eq \r(an)及eq \f(1,an)不一定有意义，故选A.


2.【2019黑龙江省哈尔滨市师范大学附中高一期中】若a≠b，则等差数列a，x1，x2，b的公差是( )


A.b－a B.eq \f(b－a,2) C.eq \f(b－a,3) D.eq \f(b－a,4)


【答案】C


【解析】由等差数列的通项公式，


得b＝a＋(4－1)d，所以d＝eq \f(b－a,3).


3.（2019·库车县乌尊镇中学高一期中）在数列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则a101的值为( )


A．52 B．51 C．50 D．49


【答案】A


【解析】因为2an＋1－2an＝1，a1＝2，所以数列{an}是首项a1＝2，公差d＝eq \f(1,2)的等差数列，


所以a101＝a1＋100d＝2＋100×eq \f(1,2)＝52.


4.若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z的值为( )


A.26 B.29


C.39 D.52


【答案】C


【解析】∵5，x，y，z,21成等差数列，


∴y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项.


∴5＋21＝2y，


∴y＝13，x＋z＝2y＝26.


∴x＋y＋z＝39.


5.（2019·黑龙江哈师大附中高二月考）设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝( )


A．0 B.37 C．100 D．－37


【答案】C


【解析】设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，则{cn}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，


∴{cn}的公差d＝c2－c1＝0.


∴c37＝100.


6.（2020·黑龙江伊春二中高二月考）若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为( )


A.0 B.1 C.2 D.1或2


【答案】D


【解析】∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，


∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.


∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.


7.（2019·安徽铜陵一中高二期中）已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为( )


A.eq \r(3) B.±eq \r(3) C.－eq \f(\r(3),3) D.－eq \r(3)


【答案】D


【解析】由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，


∴a7＝eq \f(4π,3).


∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan eq \f(8π,3)＝tan eq \f(2π,3)＝－eq \r(3).


8.（2019·山东宁阳县一中高二月考）下列关于等差数列的命题中正确的有（ ）


A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2一定成等差数列


B．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c可能成等差数列


C．若a，b，c成等差数列，则ka+2，kb+2，kc+2一定成等差数列


D．若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列．


【答案】BCD


【解析】对于A，取a＝1，b＝2，c＝3，可得a2＝1，b2＝4，c2＝9，显然，a2，b2，c2不成等差数列，故A错；


对于B，取a＝b＝c，可得 2a＝2b＝2c，故B正确；


对于C，∵a，b，c成等差数列，∴a+c＝2b．∴（ka+2）+（kc+2）＝k（a+c）+4＝2（kb+2），


即 ka+2，kb+2，kc+2 成等差数列，故C正确；


对于D，a＝b＝c≠0⇒＝＝，故D正确．


综上可知，B，C，D正确，


故选BCD．


9.（2019甘肃兰大附中高二期中）数列{an}是等差数列，且an＝an2＋n，则实数a＝________.


【答案】0


【解析】∵{an}是等差数列，∴an＋1－an＝常数．


∴[a(n＋1)2＋(n＋1)]－(an2＋n)＝2an＋a＋1＝常数．


∴2a＝0，∴a＝0.


10.（2019·漠河县高级中学高二月考）已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m=________.


【答案】n2


【解析】因为a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8.


11.（2019·山西大附中高二月考）已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为__________．


【答案】15eq \r(3)





【解析】不妨设角A＝120°，c

则a＝b＋4，c＝b－4，


于是cs 120°＝eq \f(b2＋b－42－b＋42,2bb－4)＝－eq \f(1,2)，


解得b＝10，所以S＝eq \f(1,2)bcsin 120°＝15eq \r(3).


12.（2019·江西临川一中高二月考）已知数列{an}满足a1＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则an＝________.


【答案】n2


【解析】由题设可得eq \f(an,n )－eq \f(an＋1,n＋1)＋1＝0，即eq \f(an＋1,n＋1)－eq \f(an,n)＝1，所以数列是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式eq \f(an,n)＝n，所以an＝n2.


13．（2020·重庆巴蜀中学高二期中）正项数列{an}中，a1＝1，an＋1－eq \r(an＋1)＝an＋eq \r(an).


(1)数列{eq \r(an)}是否为等差数列？说明理由；


(2)求an.


【解析】(1)∵an＋1－eq \r(an＋1)＝an＋eq \r(an)，


∴an＋1－an＝eq \r(an＋1)＋eq \r(an)，


∴(eq \r(an＋1)＋eq \r(an))·(eq \r(an＋1)－eq \r(an))＝eq \r(an＋1)＋eq \r(an)，


∵{an}是正项数列，∴eq \r(an＋1)＋eq \r(an)≠0，


∴eq \r(an＋1)－eq \r(an)＝1，


∴{eq \r(an)}是等差数列，公差为1.


(2)由(1)知{eq \r(an)}是等差数列，且d＝1，


∴eq \r(an)＝eq \r(a1)＋(n－1)×d＝1＋(n－1)×1＝n，


∴an＝n2.


14.（2020·四川泸县五中高二期末）已知无穷等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}．


(1)求b1和b2；


(2)求{bn}的通项公式；


(3){bn}中的第503项是{an}中的第几项？


【解析】数列{bn}是数列{an}的一个子数列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列，由于{an}是等差数列，则{bn}也是等差数列．


(1)∵a1＝3，d＝－5，∴an＝3＋(n－1)×(－5)＝8－5n.


数列{an}中序号被4除余3的项是{an}中的第3项，第7项，第11项，…，∴b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27.


(2)设{an}中的第m项是{bn}中的第n项，即bn＝am，


则m＝3＋4(n－1)＝4n－1，


∴bn＝am＝a4n－1＝8－5×(4n－1)＝13－20n，


即{bn}的通项公式为bn＝13－20n.


(3)b503＝13－20×503＝－10 047，


设它是{an}中的第m项，则－10 047＝8－5m，解得m＝2 011，即{bn}中的第503项是{an}中的第2 011项．