高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列优秀课后测评

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列优秀课后测评，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(25分钟·50分)


一、选择题(每小题5分,共20分)


1.在等比数列{an}中,a2-a1=2,且2a2为3a1和a3的等差中项,则a4=( )


A.3B.9C.27D.36


【解析】选C.根据题意,设等比数列{an}的公比为q,


若2a2为3a1和a3的等差中项,则有2×2a2=3a1+a3,变形可得4a1q=3a1+a1q2,即q2-4q+3=0,


解得q=1或3;又a2-a1=2,即a1(q-1)=2,则q=3,a1=1,则an=3n-1,则有a4=33=27.


2.(2020·海淀高二检测)公比q=2的等比数列{an}满足a3+a5=4,则a4+a6=


( )


A.8B.10C.12D.16


【解析】选A.公比q=2的等比数列{an}满足a3+a5=4,则a4+a6=q(a3+a5)=2×4=8.


3.在等比数列{an}中,若a6=8a3=8则an=( )


A.2n-1 B.2nC.3n-1 D.3n


【解析】选A.若a6=8a3=8,


所以a2q4=8a2q=8,所以a2=q,q3=8,


即q=2,a1=1,所以an=1×2n-1=2n-1.


4.(2020·泉州高二检测)已知各项均为正数的等比数列{an}单调递增,且a1·a3=36, a1+a2+a3=26,则a4=( )


A.24B.36C.48D.54


【解析】选D.由a1·a3==36,an>0,得a2=6,


因为a1+a2+a3=26,所以a1+a3=20,


因为a1

二、填空题(每小题5分,共10分)


5.正项等比数列{an},若3a1,a3,2a2成等差数列,则{an}的公比q=________.


【解析】因为正项等比数列{an},3a1,a3,2a2成等差数列,所以,


解得q=3.所以{an}的公比q=3.


答案:3


6.已知递增等比数列{an}满足a2+a3=6a1,则{an}的前三项依次是________.(填出满足条件的一组即可)


【解析】因为等比数列的项an≠0,故由a2+a3=6a1得,q+q2=6,所以q=2或q=-3,


若q>1,则a1>0时即可满足等比数列{an}递增,


若q<0,则{an}为摆动数列.不满足递增.


取a1=1,则{an}的前三项依次是1,2,4.


答案:1,2,4(填首项为正数,公比为2的等比数列均可)


三、解答题(每小题10分,共20分)


7.在等比数列{an}中


(1)若它的前三项分别为5,-15,45,求a5;


(2)若a4=2,a7=8,求an.


【解析】(1)因为a5=a1q4,而a1=5,


q==-3,所以a5=405.


(2)因为所以


由得q3=4,从而q=,而a1q3=2,


于是a1==,所以an=a1qn-1=.


8.在等比数列{an}中a3=32,a5=8,


(1)求数列{an}的通项公式an;


(2)若an=,求n.


【解析】(1)因为a5=a3q2,所以q2==.


所以q=±.


当q=时an=a3qn-3=32×=28-n;


当q=-时,an=a3qn-3=32×=


(-1)n+1·28-n.


所以an=28-n或an=(-1)n+1·28-n.


(2)当an=时28-n=或32× =,


解得n=9.


(15分钟·30分)


1.(5分)已知等比数列{an}的首项为1,且a6+a4=2(a3+a1),则a1a2a3…a7=


( )


A.16B.64 C.128D.256


【解析】选C.设等比数列{an}的公比为q,


因为a6+a4=2(a3+a1),


所以q5+q3=2(q2+1),解得q3=2.


则a1a2a3…a7=q0+1+…+6=q21=27=128.


2.(5分)(2020·吉林高二检测)长久以来,人们一直认为黄金分割比例是最美的,人们都不约而同地使用黄金分割,如果一个矩形的宽与长的比例是黄金比例(≈0.618称为黄金分割比例),这样的矩形称为黄金矩形,黄金矩形有一个特点:如果在黄金矩形中不停地分割出正方形,那么余下的部分也依然是黄金矩形,已知图中最小正方形的边长为1,则矩形ABCD的长为________(结果保留两位小数)( )











【解析】选D.根据题意,如图:若图中最小正方形的边长为1,即HP=1,则矩形HPLJ中,LP=HJ==,则在矩形HJIF中,HF==,





同理:FC=,DC=,


则BC=≈11.09.


3.(5分)(2020·桂林高二检测)已知等比数列{an}中,a1=3,=a4,则a5=________.


【解析】因为a1=3,=a4,所以(3q2)2=3q3,解可得q=,所以a5=3×=.


答案:


4.(5分)在数列{an}中,a2=,a3=,且数列{nan+1}是等比数列,则an=________.


【解析】因为数列{an}中,a2=,a3=,


且数列{nan+1}是等比数列,


2a2+1=3+1=4,3a3+1=7+1=8,


所以数列{nan+1}是首项为2,公比为2的等比数列,


所以nan+1=2n,解得an=.


答案:


【加练·固】


等比数列{an}中,a4=2,a5=4,则数列{lg an}的通项公式为________.


【解析】因为a5=a4q,所以q=2,


所以a1==,


所以an=·2n-1=2n-3,


所以lg an=(n-3)lg 2.


答案:lg an=(n-3)lg 2


5.(10分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且an+Sn=n,


(1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列;


(2)求数列{an}的通项公式.


【解析】(1)因为an+Sn=n,所以an+1+Sn+1=n+1,


两式相减得:an+1-an+an+1=1整理得:


an+1-1=(an-1).又因为cn=an-1,


所以cn+1=cn,


又因为a1+a1=1,即a1=,


所以c1=a1-1=-1=-,


所以数列{cn}是以-为首项、为公比的等比数列;


(2)由(1)可知cn=an-1=-·=-,


所以an=1-.





1.(多选题)(2020·临沂高二检测)已知数列{an}是正项等比数列,且+=,则a5的值可能是( )


A.2B.4C.D.


【解析】选ABD.依题意,数列{an}是正项等比数列,所以a3>0,a7>0,a5>0,


所以=+≥2=,因为a5>0,


所以上式可化为a5≥2,当且仅当a3=,a7=时等号成立.


2.已知{an}是等差数列,满足a1=2,a4=14,数列{bn}满足b1=1,b4=6,且{an-bn}是等比数列.


(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;


(2)若任意n∈N*,都有bn≤bk成立,求正整数k的值.


【解析】(1)设{an}的公差为d,则d==4,


所以an=2+(n-1)×4=4n-2,


故{an}的通项公式为an=4n-2(n∈N*).


设cn=an-bn,则{cn}为等比数列.


c1=a1-b1=2-1=1,c4=a4-b4=14-6=8,


设{cn}的公比为q,则q3==8,故q=2.


则cn=2n-1,即an-bn=2n-1.


所以bn=4n-2-2n-1(n∈N*).


故{bn}的通项公式为bn=4n-2-2n-1(n∈N*).


(2)由题意,bk应为数列{bn}的最大项.


由bn+1-bn=4(n+1)-2-2n-4n+2+2n-1


=4-2n-1(n∈N*).当n<3时,bn+1-bn>0,bn

即b1

当n>3时,bn+1-bn<0,bn>bn+1,即b4>b5>b6


所以k=3或k=4.





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