数学选择性必修 第二册4.1 数列的概念综合训练题

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4．3 ．1 数等比数列的概念


1.在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于( )


A.4 B.8 C.16 D.32


【答案】C


【解析】由于aeq \\al(2,4)＝a2·a6，所以a2·a6＝16


2.（2020·黑龙江鹤岗一中高一期末）在数列{an}中，a1＝1，点(an，an＋1)在直线y＝2x上，则a4的值为( )


A.7 B.8 C.9 D.16


【答案】B


【解析】点(an，an＋1)在直线y＝2x上，∴an＋1＝2an，


∵a1＝1≠0，∴an≠0，


∴{an}是首项为1，公比为2的等比数列，


∴a4＝1×23＝8.


3.（2020·黑龙江伊春二中高一期末）若1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则eq \f(a,b)的值为( )


A．±eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C．1 D．±1


【答案】D


【解析】∵1，a,3成等差数列，∴a＝eq \f(1＋3,2)＝2，


∵1，b,4成等比数列，∴b2＝1×4，b＝±2，∴eq \f(a,b)＝eq \f(2,±2)＝±1.


4.（2020·辽宁高一期末） 在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m等于( )


A.9 B.10 C.11 D.12


【答案】C


【解析】在等比数列{an}中，∵a1＝1，


∴am＝a1a2a3a4a5＝aeq \\al(5,1)q10＝q10.


∵am＝a1qm－1＝qm－1，∴m－1＝10，∴m＝11.


5.（2019·内蒙古集宁一中高一期中）已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于( )


A.3 B.2 C.1 D.－2


【答案】B


【解析】∵y＝(x－1)2＋2，∴b＝1，c＝2.


又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝2.


6.（2019·湖南师大附中高一期中）已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为( )


A．100 B．－100


C．10 000 D．－10 000


【答案】C


【解析】∵lg(a3a8a13)＝lg aeq \\al(3,8)＝6，


∴aeq \\al(3,8)＝106，∴a8＝102＝100.∴a1a15＝aeq \\al(2,8)＝10 000.


7.（2019·佛山市三水区实验中学高一月考）已知等比数列{an}中，a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于( )


A．2 B.4


C．8 D．16


【答案】C


【解析】等比数列{an}中，a3a11＝aeq \\al(2,7)＝4a7，解得a7＝4，等差数列{bn}中，b5＋b9＝2b7＝2a7＝8.


8．（2019·吉林长春市实验中学高一期中）在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n等于( )


A．12 B．13 C．14 D．15


【答案】C


【解析】设数列{an}的公比为q，由a1a2a3＝4＝aeq \\al(3,1)q3与a4a5a6＝12＝aeq \\al(3,1)q12，可得q9＝3，an－1anan＋1＝aeq \\al(3,1)q3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14.


9.【多选题】已知等比数列{an}中，满足a1＝1，公比q＝﹣2，则（ ）


A．数列{2an+an+1}是等比数列


B．数列{an+1﹣an}是等比数列


C．数列{anan+1}是等比数列


D．数列{lg2|an|}是递减数列


【答案】BC


【解析】∵等比数列{an}中，满足a1＝1，公比q＝﹣2，


∴an＝1×（﹣2）n﹣1＝（﹣2）n﹣1．


由此可得 2an+an+1＝2•（﹣2）n﹣1+（﹣2）n＝0，故A错误；


an+1﹣an＝（﹣2）n﹣（﹣2）n﹣1＝﹣3•（﹣2）n﹣1，故数列{an+1﹣an}是等比数列，故B正确；


anan+1＝（﹣2）n﹣1 （﹣2）n＝（﹣2）2n﹣1，故数列{anan+1}是等比数列，故C正确；


lg2|an|＝lg22n﹣1＝n﹣1，故数列{lg2|an|}是递增数，故D错误，故选BC．


10.（2019·天水市第一中学高一月考）等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则an＝________.


【答案】(－2)n或－2n


【解析】∵eq \f(a3,a1)＝q2，∴q2＝eq \f(－8,－2)＝4，即q＝±2.


当q＝－2时，an＝a1qn－1＝－2×(－2)n－1＝(－2)n；


当q＝2时，an＝a1qn－1＝－2×2n－1＝－2n.





11.（2019·四川成都七中高二开学考试）设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝ .


【答案】18


【解析】由题意得a4＝eq \f(1,2)，a5＝eq \f(3,2)，∴q＝eq \f(a5,a4)＝3.


∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝×32＝18.


12.公差不为零的等差数列{an}中，2a3－aeq \\al(2,7)＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.


【答案】16


【解析】∵2a3－aeq \\al(2,7)＋2a11＝2(a3＋a11)－aeq \\al(2,7)


＝4a7－aeq \\al(2,7)＝0，


∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4.


∴b6b8＝beq \\al(2,7)＝16.


13.（2019·广东实验中学高一月考）在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思．今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为 ．


【答案】eq \f(1,2)


【解析】设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得eq \f(28,q)，28,28q石，∴eq \f(28,q)＋28＋28q＝98，∴q＝2或eq \f(1,2).


又0

14．（2019·黑龙江哈师大附中高一月考）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.


(1)证明数列{an＋1}是等比数列；


(2)求数列{an}的通项公式．


解：(1)法一：因为an＋1＝2an＋1，


所以an＋1＋1＝2(an＋1)．


由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.


所以eq \f(an＋1＋1,an＋1)＝2(n∈N*)．所以数列{an＋1}是等比数列．


法二：由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.


∵eq \f(an＋1＋1,an＋1)＝eq \f(2an＋1＋1,an＋1)＝eq \f(2an＋1,an＋1)＝2(n∈N*)，


∴数列{an＋1}是等比数列．


(2)由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2×2n－1＝2n，即an＝2n－1.


15.（2019·山东师范大学附中高一月考）已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和.


(1)求通项公式an及Sn；


(2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式.


解 (1)因为{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，所以an＝19－2(n－1)＝－2n＋21，即an＝－2n＋21；


Sn＝19n＋eq \f(nn－1,2)×(－2)＝－n2＋20n，


即Sn＝－n2＋20n.


(2)因为{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，


所以bn－an＝3n－1，


即bn＝3n－1＋an＝3n－1－2n＋21.