高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列优秀课后测评

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列优秀课后测评，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(25分钟·50分)


一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)


1.一个三角形的三个内角A,B,C的度数成等差数列,则B的度数为( )


A.30° B.45° C.60° D.90°


【解析】选C.因为A,B,C的度数成等差数列,所以2B=A+C,又因为A+B+C=180°,所以3B=180°,所以B=60°.


【加练·固】


已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是( )


A.2B.3C.6D.9


【解析】选B.由题意2n+m=8,2m+n=10,两式相加得3m+3n=18,m+n=6,所以m和n的等差中项是3.


2.在等差数列{an}中,已知a1=,a4+a5=,ak=33,则k=( )


A.50B.49C.48D.47


【解析】选A.设等差数列{an}的公差为d,因为a1=,a4+a5=,所以2a1+7d=,解得d=,则an=+(n-1)×=,则ak==33,解得k=50.


3.(多选题)下列命题中正确的个数是( )


A.若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2一定成等差数列


B.若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c可能成等差数列


C.若a,b,c成等差数列,则ka+2,kb+2,kc+2一定成等差数列


D.若a,b,c成等差数列,则,,可能成等差数列


【解析】选BCD.对于A,取a=1,b=2,c=3⇒a2=1,b2=4,c2=9,A错.


对于B,取a=b=c⇒2a=2b=2c,B正确;


对于C,因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b.


所以(ka+2)+(kc+2)=k(a+c)+4=2(kb+2),C正确;


对于D,取a=b=c≠0⇒==,D正确.


4.数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,数列{bn}是首项为-2,公差为4的等差数列.若an=bn,则n的值为( )


A.4B.5C.6D.7


【解析】选B.an=2+(n-1)×3=3n-1,


bn=-2+(n-1)×4=4n-6,


令an=bn,得3n-1=4n-6,所以n=5.


二、填空题(每小题5分,共10分)


5.(2020·南京高二检测)若等差数列{an}满足a2+a6=16,则a9+a3-a8=________.


【解析】设等差数列{an}的公差为d,


因为a2+a6=16=2(a1+3d),


所以a1+3d=8,则a9+a3-a8=a1+3d=8.


答案:8


6.一个等差数列的前三项为:a,2a-1,3-a.则这个数列的通项公式为________.


【解析】因为a+(3-a)=2(2a-1),所以a=.


所以这个等差数列的前三项依次为,,.


所以d=,an=+(n-1)×=+1.


答案:an=n+1


三、解答题(每小题10分,共20分)


7.在等差数列{an}中,已知a1=112,a2=116,这个数列在450到600之间共有多少项?


【解析】由题意,得d=a2-a1=116-112=4,


所以an=a1+(n-1)d=112+4(n-1)=4n+108.


令450≤an≤600,解得85.5≤n≤123,又因为n为正整数,故有38项.


8.已知数列{an}满足a1=1,=,an>0,


求an.


【解题指南】由已知条件,引入数列,并证明是等差数列,再求an.


【解析】因为=,


所以=2+,-=2.


所以数列是以=1为首项,2为公差的等差数列,所以=1+(n-1)×2=2n-1.


又an>0,所以an=(n∈N+).


(15分钟·30分)


1.(5分)设x是a与b的等差中项,x2是a2与-b2的等差中项,则a,b的关系


是( )


A.a=-bB.a=3b


C.a=-b或a=3bD.a=b=0


【解析】选C.由等差中项的定义知:x=,x2=,所以=,即a2-2ab-3b2=0.故a=-b或a=3b.


2.(5分)等差数列的首项为,且从第10项开始为比1大的项,则公差d的取值范围是( )


A.d>B.d<


C.

【解析】选D.由题意


所以


所以

【加练·固】


已知在等差数列{an}中,首项为20,公差是整数,从第8项开始为负项,则公差为( )


A.-3 B.3 C.4 D.-4


【解析】选A.因为等差数列{an}中,首项为20,


公差是整数,从第8项开始为负项,


所以a1=20,且a7=a1+6d≥0,


a8=a1+7d<0,所以20+6d≥0,且20+7d<0,


解得-≤d<-,又d为整数,所以d=-3.


3.(5分)正项数列{an}满足:a1=1,a2=2,2=+(n∈N*,n≥2),则an=________,a7=________.


【解析】因为2=+(n∈N*,n≥2),


所以数列{}是以=1为首项,


以d=-=4-1=3为公差的等差数列,


所以 =1+3(n-1)=3n-2,所以an=,n≥1.


所以a7==.


答案:


4.(5分)(2020·徐州高二检测)若数列{an}是公差不为0的等差数列,ln a1,ln a2,ln a5成等差数列,则的值为________.


【解析】数列{an}是公差不为0的等差数列,ln a1,ln a2,ln a5成等差数列,


所以2ln(a1+d)=ln a1+ln(a1+4d),


所以(a1+d)2=a1(a1+4d),


所以+2a1d+d2=+4a1d,解得d=2a1,


所以==3.


答案:3


5.(10分)已知等差数列{an}中,a2=4,a6=16.


(1)证明:数列是公差为-2的等差数列;


(2)若在数列{an}每相邻两项之间插入三个数,使得新数列也是一个等差数列,求新数列的第41项.


【解析】(1)设数列{an}的公差为d,


因为a2=4,a6=16,所以4d=a6-a2=12,得d=3,


所以an=a2+(n-2)d=3n-2,


设bn=an-3n,则bn=-2n-,


所以bn+1-bn=-2,


即数列是公差为-2的等差数列.


(2)由(1)得a1=4-3=1,设新数列为{cn},其公差为d1,则c1=1,c5=4,所以4d1=3,得d1=,


所以c41=1+(41-1)×=31.





1.(2020·西安高二检测)数列{an}是等差数列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+ a16=15,则实数λ的最大值为________.


【解析】因为a1=1,a4+λa10+a16=15,


所以2+18d+λ(1+9d)=15,


解得:d=,λ≠-2.


因为公差d∈[1,2],所以1≤≤2,


解得:-≤λ≤-.


则实数λ的最大值为-.


答案:-


2.在数列{an}中,an+1=2an+2n,a1=1,设bn=.


(1)证明:数列{bn}是等差数列.


(2)求数列{an}的通项公式.


【解析】(1)将an+1=2an+2n两边同除以2n,得


=+1,所以bn+1=bn+1,bn+1-bn=1,


所以数列{bn}为等差数列,公差为1.


(2)因为{bn}的首项b1==1.


所以bn=b1+(n-1)d=1+n-1=n,


所以=n,所以an=n·2n-1,n∈N+.





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