初二数学上册秋季班培优讲义 第12讲 几何变换之轴对称（二）

轴对称变换一般应用于处理整个图形是非轴对称图形而其中有部分轴对称图形（相对于整个图形而言，称为轴对称子图形），构造往往非常巧妙，往往不容易想到，但是同学们要掌握构造轴对称的思想。本讲主要讲解在中考中和直升考试中，常见的一些构造轴对称的模型：倍角模型；等线段、等腰三角形与轴对称变换；构造特殊角形成特殊的三角形。倍角模型与半角模型类似，本质都是转化成等角模型；利用轴对称思想构造出角平分线，进而得到等腰三角形就是解决问题的一种常见方法。如图所示，在中，于点D，．求证：．      解法一：用倍角模型容易解决．如图作关于BC的垂直平分线对称的，设高线AD关于BC的垂直平分线对称为，则∵，∴，而因此．解法二：由已知，，如果我们在CD上截取，连接AE，就可以构造出两个等腰三角形和．解法三：延长CB至点E，使得，则容易证明也为等腰三角形．【教师备课提示】这道题主要是引出倍角模型．如图，是等腰三角形，，与关于直线l对称．连接和，如果，那么和的数量关系是_______．
  　　　　　   由“”联想到角平分线，其实对称起到了角的转移，平分．连接，．∴，又∵∴，∴，又∵∴是等边三角形，设，∴∴，∴，∴．问题：已知中，，点D是内的一点，且，．探究与度数的比值．请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．（1）当时，依问题中的条件补全图形．观察图形，AB与AC的数量关系为________；当推出时，可进一步推出的度数为_______； 可得到与度数的比值为_________．（2）当时，请你画出图形，研究与度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．（1）相等；；．（2）猜想：与度数的比值与⑴中结论相同．证明：如图2，作，过B点作交CK于点K，连结DK．∵，∴四边形ABKC是等腰梯形．∴．∵，∴．∵，∴．∴．∴，．
∴．∵，∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．∵，∴．∵，∴．∴与度数的比值为．【教师备课提示】这道题来源于北京中考，具有浓浓的故事背景．对于整个图形是轴对称图形的平面几何问题，如果以其对称轴为对称轴作轴对称变换，则整个图形毫无变化，因此对解决问题是没有丝毫帮助的．但如果只是一部分图形是轴对称图形，此时以其对称轴为对称轴作轴对称变换，再找出轴对称图形之外的有关元素的像，则原来的几何图形即发生了变化，从而有可能使问题得到解决．等腰三角形问题在平面几何中占有很大的比例，它是一类典型的轴对称图形，因而等腰三角形除了可以考虑用旋转变换处理外，还可以考虑用轴对称变换处理，对称轴即等腰三角形的对称轴．如图所示，在中，，AD是BC边上的高，点P在内部，求证：．　　　　　　　　作点P关于AD的对称点，连接并延长交PC于点Q，连接．因为，AD是BC边上的高，易得．因为，，故．【教师备课提示】这道题主要让孩子们感受一下等腰三角形中的“丫”字用轴对称解决的方法．
已知：是一个等腰直角三角形，，内部有一点P，连接PA，，求证：．                    如图所示，构造与对称全等，连接PQ，可得，∴，又∵，∴为等边三角形，∴，又∵，∴，可得，∴．【教师备课提示】通过这道题，来讲解下关于针对等腰三角形的几种轴对称处理手段，主要有3种，备课的时候让唯哥给我们分享！！第一种：过B作AC的垂线，延长CP于垂线相交，连接A与其交点即可，俗称“三线合一法”；第二种：以BP为边向内构造等边三角形或以AP为边向下构造等边三角形或以AC为边向上构造等边三角形，一般地，如果出现等腰三角形，以底边构造等边三角形可以解决；第三种就是利用轴对称方法．在内取一点M，使得，，设，，求．如图所示，的高CH与直线BM交于点E，则．而，，，，则，因此，．【教师备课提示】通过这道题，让孩子们自己体会下用哪种方法，总结是不是所有的这种题三种方法都可以，如果不是，那什么样的题适合用什么样的方法？
如图所示，在中，，M为内一点，使得，，求的度数．               在中，由，可得，．如图所示，作于D点，延长CM交BD于O点，连接OA，则有，，，所以．又因为，所以．而，因此，故．由于，则，故．在一些题当中，往往出现两角和或者差为特殊的角度，但是两个角度又离的比较远或者位置比较特殊，这个时候可以考虑三大变换来解决问题，但是构造比较巧妙，往往不容易想到，在这里把这样的一些利用轴对称构造特殊角度形成特殊的三角形如直角三角形，等边三角形等的题总结下．在凸四边形ABCD中，，．如果，求四边形ABCD的面积．               
如图，将沿中垂线翻折至处．∵，；∴，；∴又∵；∴由翻折可知：∵，；∴∴，，三点共线；又∴；∴∴为等腰直角三角形，∴∴．已知点M是四边形ABCD的BC边的中点，且，证明：．        显然，要证题设的不等式，应当把AB，，CD三条线段首尾连接成一条折线，然后再与线段AD比较．要实现这一构想，折线之首端应与A点重合，尾端应与D点重合，这可由轴对称来实现．以AM为对称轴，作点B关于AM的对称点，连接、，则，，即，由此．再以DM为对称轴，作点C关于DM的对称点，连接、，则，，即，由此．而，所以．注意到，因此，而，所以是等边三角形，．由于两点之间以直线段为最短，所以，即．
在中，，，为内部一点，，，求的度数．                法一：容易求得，．的对称轴为AD，作点P关于AD的对称点，则，故为等边三角形，则平分，．故．法二：在BC上截取，连接PD，如图所示假设，则，∵∴ ∴， ∴∵， ∴,∴假设，则∴ 即 解得： ∴．【教师备课提示】此题也可以用构造等边的方法来求解． 
在等腰直角三角形ABC中，P为内部一点，满足，．求证：．                 补形成正方形，证明为等边三角形即可解决问题．【教师备课提示】这道题主要是锻炼下孩子们，看看能不能发现题中隐含的2倍角，也就是等腰直角三角三角形．如图所示，在中，，P为三角形内一点，，，求证：．              由已知条件，考虑作直线于M，并以PM为对称轴将翻折至的位置，连接．由轴对称的性质有，．因为，
于是，即是正三角形，从而可得，．再由三内角之和为，即，整理后得．【教师备课提示】主要说明北京中考题的来源，来源是第24届澳大利亚数学奥林匹克竞赛试题，主要就是考察倍角模型．如图，在中，，，为内一点，且，，求的度数．解法一 ：如图①，作于E，延长CO交AE于F，连接BF，则，，，得，，又，得，，从而．解法二：如图②，以BC为边作等边，连接AE，则，，，得．，，，，，又，，，得，．
如图所示，在四边形ABCD中，，，，，，求四边形ABCD的面积．               936．设M是凸四边形ABCD的边BC的中点，，求证：．        作点B关于AM的对称点，作点C关于DM的对称点，连接、、，则，且，．而，则，故．