初中数学人教版八年级上册第十三章 轴对称13.1 轴对称13.1.1 轴对称优秀课堂检测

这是一份初中数学人教版八年级上册第十三章 轴对称13.1 轴对称13.1.1 轴对称优秀课堂检测，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第十三章 轴对称 （A卷基础提升）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列图形中，轴对称图形的是（    ）
A． B．
C． D．
2．如图,关于虚线成轴对称的有(　　)个.

A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，已知四边形ABCD中，∠B＝98°，∠D＝62°，点E、F分别在边BC、CD上．将△CEF沿EF翻折得到△GEF，若GEAB，GFAD，则∠C的度数为（　　）

A．80° B．90° C．100° D．110°
4．如图，将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则下列结论一定正确的是（    ）

A．AD＝BD B．BE＝AC C．ED＋EB＝DB D．AE＋CB＝AB
5．如图，在△ABC中，BC＝8，AB垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为17，则AC为（    ）

A．9 B．8 C．12 D．11
6．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（   ）

A．25° B．30° C．35° D．40°
7．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，下列判断错误的是（  ）

A． B． C． D．
8．小明用尺规作了如下四幅图形：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，从保留的作图痕迹看出作图正确的是（　　）

A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①②③④
9．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（    ）

A．25 B．22 C．19 D．18
10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC先沿y轴翻折，再向上平移2个单位长度，得到，那么点B的对应点的坐标为（　　）

A． B． C． D．
11．已知点P(a＋1，2a－3)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是（    ）
A．a> B．a>-1 C．-1＜a＜ D．a＜
12．如图,点C是△ABE的BE边上一点,点F在AE上,D是BC的中点,且AB=AC=CE,给出下列结论:①AD⊥BC;②CF⊥AE;③∠1=∠2;④AB+BD=DE,其中正确的结论有( )  

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．如图，在中，和的平分线交于点E，过点E作交AB于M，交AC于N，若，则线段MN的长为　　

A．6 B．7 C．8 D．9
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，E、D分别为AB、AC上的点，连接BD，DE，若AD＝DE＝BE，∠C＝70°，则∠BDC的度数为（    ）

A．50° B．60° C．70° D．80°
15．如图，已知中，，在直线BC或射线AC取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P有（    ）

A．2个 B．4个 C．5个 D．7个
16．如图，在等边三角形ABC中，D，E分别为AC，BC边上的点，AD＝CE，连接AE，BD交于点F，∠CBD，∠AEC的平分线交于AC边上的点G，BG与AE交于点H，连接FG．

有下列结论：
①△ABD≌△CBG；
②∠BGE＝30°；
③∠ABG＝∠BGF；
④AB＝AH+FG．
其中，正确的结论个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
17．如图所示，在中，．DE垂直平分AB，交BC于点E．若．则（    ）

A．3cm B．4cm C．5cm D．10cm
18．如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（   ）

A．转化思想
B．三角形的两边之和大于第三边
C．两点之间，线段最短
D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角

二、填空题
19．如图，△ABC中，∠BAC＝100°，EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线，则∠FAN＝ ．

20．如图，在中，，点D在BC的延长线上，且，分别是的中线和高线．

（1）若的一边长为3，周长为12，则 ；
（2）若，则 ；
（3）若，则 ；
（4）若AC平分，则 ；
（5）若，则 ；
21．如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，以下五个结论：①AD=BE；②PQ//AE；③连接CO，则OC平分∠AOE；④DE=DP；⑤△CPQ为等边三角形．恒成立的结论有 (把你认为正确的序号都填上)．

22．如图Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，若BD＝10，则AC＝ ．

23．如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，周长的最小值是，则的度数是 ．


三、解答题
24．如图，为外一点，为的垂直平分线，分别过点作，，垂足分别为点，，且．

(1)求证：为的角平分线；
(2)探究，，之间的数量关系并给出证明
25．如图，与相交于点，，，．
（1）求证：
（2）求证：垂直平分．

26．如图，在中，，请根据要求完成以下任务：

(1)利用直尺与圆规，作线段BC的垂直平分线DE交于点D、E，连接CD；
(2)利用直尺与圆规，作的角平分线BF交CD于点F；
(3)若，求的度数．
27．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在BC边上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE．
（1）在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于直线AE对称，点F与点B是对称点；
（2）请直接写出△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积．

28．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）作出关于y轴对称的，并写出各顶点的坐标；
（2）将向右平移6个单位长度，作出平移后的，并写出各顶点的坐标；
（3）观察与，它们是否关于某条直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴．

29．如图，在中，AB=AC，D为AC的的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，且DE=DF．问是等边三角形吗？请说明理由．

30．如图，为等边三角形，，、相交于点，于.
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）若，，求的长.

31．如图，已知牧马营地在M处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再到草地吃草，然后回到营地，试设计出最短的放牧路线．


参考答案：
1．D
【详解】A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、属于轴对称图形，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，解题的关键是掌握轴对称图形的定义．
2．B
【分析】根据成轴对称的图形的性质分别判断即可得解．

【详解】①关于虚线不成轴对称，
②关于虚线不成轴对称，
③关于虚线成轴对称，
④关于虚线成轴对称，
故选B.
3．C
【分析】根据平行线的性质和折叠的性质，即可得出正确选项．
【详解】解：∵GEAB，GFAD，
∴∠CEG＝∠B＝98°，∠CFG＝∠D＝62°，
由折叠可得，∠C＝∠G，
∴四边形CEGF中，∠C＝（360°﹣98°﹣62°）＝100°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质和折叠的性质，熟练掌握性质是本题的关键．
4．D
【分析】根据折叠前后两图形全等，逐一对选项进行判断即可．
【详解】解：∵ △CDB折叠得△DEB
∴ △CDB≌△EDB
∴  BC=BE，CD=DE
由图，AD不一定等于BD，故A不正确；
由BE=BC，AC不一定等于BC，则BE不一定等于AC，故B不正确；
由三角形三边关系，ED＋EB>DB，故C不正确；
由BC=BE，AE＋CB=AE＋BE=AB，故D正确；
故选D．
【点睛】本题考查了折叠前后的两个图形是全等图形，利用全等三角形的性质是解决本题的关键．
5．A
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∵△BDC的周长为17，
∴BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=17，
∵BC=8，
∴AC=9，
故选：A．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
6．B
【分析】依据线段垂直平分线的性质，即可得到∠A=∠ACD，再根据角平分线的定义，即可得出∠ACB的度数，根据三角形内角和定理，即可得到∠B的度数．
【详解】解：∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD ＝50°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD＝100°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣100°＝30°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等.
7．A
【分析】由作图知，直线是线段的垂直平分线，据此得、、，继而结合知，从而得出答案．
【详解】解：由作图知，直线是线段的垂直平分线，
所以、、，故C、D正确，不符合题意，
∵，
，故B正确，不符合题意，
故选：．
【点睛】本题主要考查作图—基本作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线的尺规作图及线段中垂线的性质．
8．A
【分析】利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点P作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案．
【详解】解：①作一个角等于已知角的方法正确；
②作一个角的平分线的作法正确；
③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；
④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确．
故选A．
【点睛】此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键．
9．C
【分析】由垂直平分线的性质可得BD＝CD，由△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得到答案．
【详解】解：由作图的过程可知，DE是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∵，，
∴ △ABD的周长＝AB＋AD＋BD
＝AB＋AD＋CD
＝AB＋AC
＝19．
故选：C
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
10．C
【分析】根据题意先作出△ABC关于y翻折后得到的图形，再作出向上平移2个单位长度的图形即可得到答案．
【详解】解：根据题意：作图如下，

∴点B的对应点的坐标为．
故选：C．
【点睛】题目主要考查坐标系中图形的平移及轴对称的变化，理解题意，掌握平移及轴对称的作法是解题关键．
11．C
【分析】根据点P关于x轴的对称点在第一象限，可以确定点P在第四象限，根据第四象限的点的坐标特点列出关于a的不等式即可解决.
【详解】点P关于x轴的对称点在第一象限，则确定点P在第四象限，
∴a+1>0,解得：a>-1
2a-3<0,解得：a<,
∴a的取值范围为：-1＜a＜，
故答案为C.
【点睛】本题考查了平面直角标坐标系中点的坐标的符号，根据题意确定点所在的象限列出不等式是解题的关键.
12．B
【分析】根据所给条件利用三线合一性质即可证明①正确,进而证明④正确,即可解题.
【详解】①∵D是BC的中点，AB=AC，
∴AD⊥BC，故①正确；
②∵F在AE上，不一定是AE的中点，AC=CE，
∴无法证明CF⊥AE，故②错误；
③无法证明∠1=∠2，故③错误；
④∵D是BC的中点，
∴BD=DC，
∵AB=CE，
∴AB+BD=CE+DC=DE，故④正确．
故其中正确的结论有①④．
故选B.
【点睛】本题考查三角形的性质和证明,中等难度,找到等腰三角形利用三线合一性质是解题关键.
13．C
【分析】由、的平分线相交于点E，，，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可，，然后即可求得结论．
【详解】解：、的平分线相交于点E，
，，
，
，，
，，
，，
，
即．
，
，
故选C．
【点睛】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握此题关键是证明是等腰三角形．
14．B
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C=70°，利用三角形内角和定理求出∠A=40°，设
∠EBD=x°，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质得出∠BDE=∠EBD=x°，
∠AED=∠A=2x°=40°，求出x=20，进而得到∠BDC的度数．
【详解】∵，，
∴，
∴，
设，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，设
∠EBD=x°，得到∠A=2x°=40°是解题的关键．
15．C
【分析】分为三种情况：①PA＝PB，②AB＝AP，③AB＝BP，求出即可得出答案．
【详解】解：①作线段AB的垂直平分线，交AC于点P，交直线BC于一点，此时PA＝PB，共2个点符合条件；
②是以A为圆心，以AB长为半径作圆，交直线BC于两点（B和另一个点），交射线AC于一点，此时AB＝AP，共2个点符合条件；
③以B为圆心，以BA长为半径作圆，交直线BC于两点，交射线AC于一点，共3个点
∵作线段AB的垂直平分线交直线BC的点，以A为圆心，AB长为半径作圆交直线BC的点，以及以B为圆心，AB长为半径作圆交直线BC与右侧的点，这三个点是同一个点．
∴符合条件的一共有：2＋2＋3−2＝5个点，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题以及垂直平分线的性质，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．
16．C
【分析】根据已知条件无法证明△ABD≌△CBG，①不正确；证明△ABD≌△CAE，可得∠CAE＝∠ABD，然后求出∠GEC＝∠FBE＋30°，∠GBE＝∠FBE，根据三角形外角的性质可得∠BGE＝30°，②正确；过点G作GT⊥BD于T，GJ⊥AE于J，GK⊥BC于K，证明Rt△GFJ≌Rt△GFT，求出∠GFJ＝∠GFT＝60°，进而可得∠BGF＝60°－∠FBG，∠ABG＝60°－∠CBG，可得③正确；证明△GJF≌△GKC，得到GF＝GC，然后再证∠AHG＝∠AGH求出AH＝AG即可判断④正确．
【详解】解：∵∠C＝∠BAD＝60°，BC＝AB，根据已知条件无法得出CG＝AD或其它对应角相等，
∴无法得出△ABD≌△CBG，①不正确；
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ACB＝∠BAC＝60°，
在△ABD和△CAE中，，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴∠CAE＝∠ABD，
∵∠BFE＝∠BAE＋∠ABD，
∴∠BFE＝∠BAE＋∠CAE＝∠BAC＝60°，
∵∠AEC＝∠EBF＋∠BFE，
∴∠AEC＝∠FBE＋60°，
∵∠CBD、∠AEC的平分线交于AC边上的点G，
∴∠GEC＝∠AEC＝∠FBE＋30°，∠GBE＝∠CBD＝∠FBE，
∵∠GEC＝∠GBE＋∠BGE，
∴∠BGE＝30°，故②正确；
过点G作GT⊥BD于T，GJ⊥AE于J，GK⊥BC于K，
∵BG平分∠DBC，EG平分∠AEC，
∴GT＝GK＝GJ，∠FBG＝∠CBG，
∵∠GJF＝∠GTF＝90°，GF＝GF，
∴Rt△GFJ≌Rt△GFT（HL），
∴∠GFJ＝∠GFT，
∵∠BFE＝60°，
∴∠GFJ＝∠GFT＝60°，
∴∠BFG＝120°，
∴∠BGF＝180°－120°－∠FBG＝60°－∠FBG，
∵∠ABG＝∠ABC－∠CBG＝60°－∠CBG，且∠FBG＝∠CBG，
∴∠ABG＝∠BGF，故③正确；
∵∠GFJ＝∠C＝60°，∠GJF＝∠GKC＝90°，GJ＝GK，
∴△GJF≌△GKC（AAS），
∴GF＝GC，
∵∠BAH＋∠EAC＝∠EAC＋∠AGF＝60°，
∴∠BAH＝∠AGF，
∵∠AHG＝∠ABG＋∠BAH，∠AGH＝∠BGF＋∠AGF，∠ABG＝∠BGF，
∴∠AHG＝∠AGH，
∴AH＝AG，
∴AH＋GF＝AG＋GC＝AC＝AB，
∴AB＝AH＋FG，故④正确，

故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
17．C
【分析】根据线段垂直平分线的性质得AE=BE=10cm，再根据等边对等角和三角形的外角性质求得∠AEC=30°，然后利用含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵DE垂直平分AB，BE=10cm，
∴AE=BE=10cm，
∴∠EAB=∠B=15°，
∴∠AEC=2∠B=30°，
在Rt△ACE中，∠ACE=90°，
∴AC= AE=5cm，
故选：C．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
18．D
【分析】将轴对称最短路径问题利用线段的性质定理两点之间，线段最短，体现了转化思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边．
【详解】解∵点B和点B′关于直线l对称，且点C在l上，
∴CB=CB′，
又∵AB′交l与C，且两条直线相交只有一个交点，
∴CB′+CA最短，即CA+CB的值最小，
故选D．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短．
19．20°/20度
【分析】利用垂直平分线的性质得FA=FB，则∠B=∠BAF，NA=NC，则∠C=∠NAC，再利用三角形的内角和计算即可．
【详解】如图，令∠BAF=∠1，∠CAN=∠2
∵EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线，
∴FA=FB，则∠B=∠1，
NA=NC，则∠C=∠2，

∵,
即
而
即
∴
解得：
故答案是：
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，图中涉及两条垂直平分线，要根据其特点，转化为关于等腰三角形的知识解答．
20． /40度 /40度 /72度 /20度
【分析】（1）分两种情况讨论，结合三角形的三边关系，从而可得答案；
（2）由 可得再利用三角形的内角和定理可得答案；
（3）先求解 再利用 求解 再利用三角形的内角和定理可得答案；
（4）设 再利用三角形的内角和定理可得答案；
（5）先求解 由 是的中线，利用等腰三角形的三线合一可得答案．
【详解】解：（1）∵，
∴为等腰三角形，
∵的一边长为3，周长为12，
当
∴ 此时不符合三角形三边关系；
当 则 此时符合三角形的三边关系，
（2）∵
∴
∴
（3）∵
∴
∵，

∴
（4）∵平分
∴设
∵
∴
∵
∴
∴
解得：
∴
（5）∵是的高，
∴ 而
∴
∵ 是的中线，
∴
故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的三边关系，等腰三角形的定义，等腰三角形的性质，掌握“等边对等角，三线合一”是解本题的关键．
21．①②③⑤
【分析】根据等边三角形的性质，证明△ACD≌△BCE，可得AD＝BE，∠CBE＝∠CAD，①正确；然后利用ASA证明△CQB≌△CPA，得到CQ＝CP，则△PCQ为等边三角形，⑤正确；然后求出∠CPQ＝∠ACP＝60°，可得PQ∥AE，②正确；根据∠QCP＝60°，∠DPC＝∠DPQ＋∠QPC＞60°，可知DC≠DP，则DE≠DP，④错误；连接CO，过C作CM⊥BE于M，CN⊥AD于N，根据S△BCE＝S△ACD可得CM＝CN，进而可得OC平分∠AOE，③正确．
【详解】解：①∵△ABC和△CDE为等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠CBE＝∠CAD，①正确；
∵∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠BCQ＝60°，即∠BCQ＝∠ACP＝60°，
又∵AC＝BC，
∴△CQB≌△CPA（ASA），
∴CQ＝CP，
∴△PCQ为等边三角形，⑤正确；
∴∠CPQ＝60°，
∴∠CPQ＝∠ACP，
∴PQ//AE，②正确；
∵∠QCP＝60°，∠DPC＝∠DPQ＋∠QPC＞60°，
∴DC≠DP，
∴DE≠DP，④错误；
连接CO，过C作CM⊥BE于M，CN⊥AD于N，
∵△BCE≌△ACD，
∴S△BCE＝S△ACD，BE＝AD，
∴×BE×CM＝×AD×CN，
∴CM＝CN，
∴OC平分∠AOE，③正确；
故正确的有①②③⑤，
故答案为：①②③⑤

【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，等角对等边，角平分线的性质等知识，熟练应用全等三角形的判定和性质是正确解答本题的关键．
22．15
【分析】由题意易得∠ABC=60°，进而得到∠ABD=∠DBC=30°，则有AD=DB，然后根据BD=10及直角三角形的性质可求解．
【详解】解：∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，
∠ABC=60°，，
BD=10，
BD=AD=10，，
；
故答案为15．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定及含30°角的直角三角形，关键是根据题意得到30°角，然后根据直角三角形的性质进行求解即可．
23．
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点D、C，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．
【详解】解：分别作点P关于OA、OB的对称点D、C，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN，如图所示：

∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，
∵△PMN周长的最小值是6cm，
∴PM+PN+MN=6，
∴DM+CN+MN=6，
即CD=6=OP，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°，
故答案为：30°．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
24．(1)证明见解析；
(2)，理由见解析

【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，再证明≌，可得，再证明≌，即可得证；
（2）根据全等三角形的性质可得，进一步可得，从而可得．
【详解】（1）证明：连接CD，BD，如图所示：

为的垂直平分线，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
为的角平分线；
（2）解：，理由如下：
≌，
，
又，
，
即，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）由“ASA”可证△AOB≌△COD，可得OB=OD；
（2）由OB=OD，且BE=DE，可得OE垂直平分BD．
【详解】（1）证明：在△AOB与△COD中，

∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB=OD，
（2）∵OB=OD，
∴点O在线段BD的垂直平分线上，
∵BE=DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，证明OB=OD是本题的关键．
26．(1)见解析
(2)见解析
(3)40.5°

【分析】（1）（2）根据要求作出图形即可；
（3）证明CA=CD，推出∠ADC=54°，由DB=DC，推出∠DBC=∠DCB=27°，再求出∠FBC，利用三角形外角的性质，可得结论．
【详解】（1）解：如图，直线CD，线段CD即为所求；

（2）如图，射线BF即为所求；
（3）∵DE垂直平分线段BC，
∴DB=DC，
∴∠DBC=∠DCB，
∵AC=DB，
∴CA=CD，
∴∠A=∠CDA=54°，
∵∠ADC=∠DBC+∠DCB，
∴∠DBC=∠DCB=27°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠FBC=∠DBC=13.5°，
∴∠DFB=∠FBC+∠DCB=13.5°+27°=40.5°．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
27．（1）画图见解析；
（2）6
【分析】（1）由AE为网格正方形的对角线，作出点B关于AE的对称点F，然后连接AF、EF即可；
（2）根据图象，重叠部分为两个直角三角形的面积的差，列式计算即可得解．
【详解】（1）△AEF如图所示；
（2）重叠部分的面积=×4×4﹣×2×2
=8﹣2
=6．

考点：作图-轴对称变换
28．（1）见解析，，；（2）见解析，，，；（3）是，见解析
【分析】（1）根据轴对称的图形作法，先找到对称点，然后依次连接，对称点坐标根据轴对称的性质求出即可；
（2）根据平移图形的作法：先找出平移后的点，然后依次连接作图即可；
（3）连接对应点，然后找出其中点，连线即为对称轴，根据图象可得对称轴解析式．
【详解】解：（1）如图所示，关于y轴对称的图形为，

根据点在坐标系中的位置可得：，；
（2）如（1）中图所示，为平移后的图形，，，；
（3）是，如图（1）中所示，连接，，找到中点D、E，连接可得对称轴为直线．
【点睛】题目主要考查坐标平面内的图形变换，解题关键是熟练掌握轴对称和平移的特征及坐标变化规律，如何根据点的位置确定对称轴．
29．是等边三角形，理由见解析
【分析】只要证明Rt△ADE≌Rt△CDF，推出∠A=∠C，推出BA=BC，又AB=AC，即可推出AB=BC=AC；
【详解】解：△ABC是等边三角形
∵DE⊥AB，DF⊥BC  
∴∠AED＝∠CFD＝90°
∵D是AC的中点  
∴AD＝CD
∵DE＝DF   
∴△ADE≌△CDF （HL）
∴∠A＝∠C  
∴ AB=BC    
∵AB=AC   
∴AB=BC=AC
∴  △ABC是等边三角形
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
30．（1）证明见解析；（2）∠BPQ=60°；（3）AD=9.
【分析】（1）根据等边三角形的性质就可以得出AB=BC=AC，∠BAC=∠C=60°，就可以得出△ADC≌△BEA；
（2）由，就可以得出，，即可求得.
（3）在Rt△BPQ中，∠BPQ=60°，可求，由，可求得长，进而求出BE的值而得出结论.
【详解】（1）证明：是等边三角形，
，，
在与中，


（2），
，，
，
.
（3），
.

.
，
.
，
，.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
31．答案见解析
【详解】解：以河为对称轴作M的对称点，过作草地的垂线，
垂线和河的交点H就是所求的点．
如图所示：

【点睛】解答本题的关键是熟练掌握利用两点之间线段最短的方法，来找最近路线．