人教版八年级上册第十三章 轴对称13.1 轴对称13.1.1 轴对称精品单元测试达标测试

这是一份人教版八年级上册第十三章 轴对称13.1 轴对称13.1.1 轴对称精品单元测试达标测试，共26页。试卷主要包含了下列图形为轴对称图形的是，下列说法错误的是，哪一面镜子里是他的像等内容，欢迎下载使用。

人教部编版八年级上册第十三章轴对称单元测试同步练习试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

评卷人
得分



一、单选题
1．下列图形为轴对称图形的是（    ）

A． B． C． D．
2．一个三角形的三边长分别为2，5，x，另一个三角形的三边长分别为y，2，6，若这两个三角形全等，则x+y=（　　）
A．11 B．7 C．8 D．13
3．下列说法错误的是（ ）
A．关于某直线对称的两个图形一定能够重合
B．长方形是轴对称图形
C．两个全等的三角形一定关于某直线对称
D．轴对称图形的对称轴至少有一条
4．如图，已知∠ABC=120°，BD平分∠ABC，∠DAC=60°，若AB=2，BC=3，则BD的长是（　　）

A．5 B．7 C．8 D．9
5．已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足（a﹣b）2++|c2﹣64|=0，则三角形的形状是（　　）
A．底和腰不相等的等腰三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
6．如图，两条直线l1∥l2，Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，顶点A、B分别在l1和l2上，∠1=20°，则∠2的度数是（　　）

A．45° B．55° C．65° D．75°
7．哪一面镜子里是他的像（　　）

A． B． C． D．
8．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝105°，∠C′＝30°，则∠B＝（　　）

A．25° B．45° C．30° D．20°
9．等腰三角形的周长为80cm，若以它的底边为边的等边三角形周长为30cm，则该等腰三角形的腰长为（     ）
A．35cm B．25cm C．30cm D．40cm
10．下列能判定三角形是等腰三角形的是（ ）
A．有两个角为30°、60° B．有两个角为40°、80°
C．有两个角为50°、80° D．有两个角为100°、120°
11．有一个角是36°的等腰三角形，其它两个角的度数是（　　）
A．36°，108° B．36°，72°
C．72°，72° D．36°，108°或72°，°72°
12．如图所示，在Rt△ABC中，E为斜边AB的中点，ED⊥AB，且∠CAD：∠BAD=1：7，则∠BAC的度数为(     )

A．70° B．48° C．45° D．60°
13．下列说法正确的是　　
A．两个图形关于某直线对称，对称点一定在这直线的两旁
B．两个图形关于某直线对称，对称点在这直线上
C．全等的两个图形一定成轴对称
D．成轴对称的两个图形一定全等
14．如图，正方形ABCD的边长为12，点P是对角线BD上的一个动点，点E在AB上且AE＝7，则△PAE周长的最小值为（　　）

A．18 B．19 C．20 D．7+12

评卷人
得分



二、填空题
15．如图，在⊿ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，∠BAD＝20°，则∠BAC= 度.

16．如图，已知△ABC中，AB=AC，BE=BC=AE，则∠A= ．

17．如图，在中，为平分线，于，于，，，则 ．

18．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE//BC，分别交AB,AC于点D,E,若AB=4，AC=3，则△ADE的周长是 ．

19．如图的4×4的正方形网格中，有A、B、C、D四点，直线a上求一点P，使PA+PB最短，则点P应选 点（C或D）．

20．如图,△ABC和△A'B'C'关于直线l对称.

(1)△ABC △A'B'C';
(2)A点的对应点是 ,C'点的对应点是 ;
(3)连接BB'交l于点M,连接AA'交l于点N,则BM= ,AA'与BB'的位置关系是 ;
(4)直线l AA'.
21．如图，在△ABC中，DM垂直平分AC，交BC于点D，连接AD，若∠C=28°，AB=BD，则∠B的度数为 度．

22．已知⊿中，,点在上，则点到另外两边的距离之和是
.
23．若等腰三角形的一个底角为，则这个等腰三角形的顶角为 ．
24．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，BE∥AC，∠BDE＝100°，∠BAD＝70°，则∠E＝ .

25．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°．将△ACD沿CD翻折，点A恰好落在BC边上的A′处，则∠A′DB= ．

26．等腰三角形的一个底角比顶角大30°，那么顶角度数为 ．
27．内部有一点P，，点P关于的对称点为M，点P关于的对称点为N，若，则的周长为 ．
28．等腰三角形的一个底角比顶角小42°，它的顶角是
29．在△ABC中，AB＝AC，且BC＝8cm，BD是腰AC的中线，△ABC的周长分为两部分，已知它们的差为2cm，则等腰三角形的腰长为 .
30．已知等腰三角形的一个外角为108°，则其底角的度数为

评卷人
得分



三、解答题
31．将下面三个论断其中的两个作为条件，另一个作为结论，组成一个证明题，并完成证明过程.（1）AD∥BC；（2）；（3）

题目：已知是的外角， ， （填序号）
求证：
证明：
32．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5cm，△ABD的周长为17cm，求△ABC
的周长．

33．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A．B．C在小正方形的顶点上.
(1)在图中画出与关于直线l成轴对称的△A′B′C′；
(2)线段CC′被直线l ；
(3)△ABC的面积为 .

34．在平面直角坐标系中，等边三角形OAB关于x轴对称的图形是等边三角形若已知点A的坐标为，求点的横坐标．

35．如图，已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,∠BAC的平分线分别交BC、CD于E、F.试说明△CEF是等腰三角形.

36．如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了平面直角坐标系及格点△AOB．(顶点是网格线的交点)

（1）画出将△AOB沿y轴翻折得到的△AOB1,则点B1的坐标为_________.
（2）画出将△AOB沿射线AB1方向平移2.5个单位得到的△A2O2B2,则点A2的坐标为_______.
（3）请求出△AB1B2的面积.
37．如图所示，点B、C、E、F在同一条直线上，且AB＝AC，AE＝AF.
求证：∠BAF＝∠CAE.

38．如图，已知△ABC是等边三角形，E,D,G分别在AB,BC,AC边上，且AE=BD=CG,连接AD,BG,CE,相交于F,M,N.
（1）求证：AD=CE；
（2）求∠DFC的度数：
（3）试判断△FMN的形状，并说明理由.

39．在等腰中，，点D，E在射线上，，过点E作，交射线于点F．请解答下列问题：
  
（1）当点E在线段上，是的角平分线时，如图①，求证：；（提示：延长，交于点M．）
（2）当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，如图②；当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，如图③，请直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）、（2）的条件下，若，则___________．

参考答案：
1．D
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可．
【详解】解：（1）是轴对称图形,故本选项符合题意；
（2）不是轴对称图形,故本选项不符合题意；
（3）不是轴对称图形,故本选项不符合题意；
（4）是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．A
【分析】根据全等三角形的基本性质求解即可.
【详解】已知这两个三角形全等，则三组对应边应分别为2、5、6，所以x＝6，y＝5，则
x＋y＝6＋5＝11，故本题正确答案为A.
【点睛】本题主要考查全等三角形的基本性质，掌握全等三角形的基本性质是解决本题的关键.
3．C
【分析】根据轴对称图形的定义和性质进行判断.
【详解】解：两个全等的三角形不一定关于某直线对称，而关于某直线对称的两个三角形一定全等.故选：C
【点睛】本题考查轴对称性质及相关知识点，要牢固掌握对称轴相关性质，耐心审题，合理理解题意即可.
4．A
【分析】在CB的延长线上取点E，使BE=AB，连接AE，则可证得△ABE为等边三角形，再结合条件可证明△ABD≌△AEC，可得BD=CE，再利用线段的和差可求得CE，则可求得BD．
【详解】在CB的延长线上取点E，使BE=AB，连接AE，

∵∠ABC=120 ，
∴∠ABE=180−∠ABC=60 ，
∵BE=AB，
∴△ABE为等边三角形，
∴AE=AB,∠BAE=∠E=60 ，
∵∠DAC=60 ，
∴∠DAC=∠BAE，
∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠EAC=∠BAC+∠BAE，
∴∠BAD=∠EAC，
∵BD平分∠ABC，
∴
∴∠ABD=∠E，
在△ABD和△AEC中，

∴△ABD≌△AEC(ASA)，
∴BD=CE，
∵CE=BE+BC=AB+BC=3+2=5，
∴BD=5，
故选：A.
【点睛】考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线是解题的关键.
5．B
【分析】首先根据绝对值，偶次方与算术平方根的非负性，求出a，b，c的值，再根据等边三角形的概念即可得出答案．
【详解】解：由（a-b）2++|c2-64|=0得：
a-b=0，b-8=0，c2-64=0，
又a，b，c是三角形的三边长，
∴a=8，b=8，c=8，
所以三角形的形状是等边三角形，
故选B．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质和等边三角形的概念，根据几个非负数的和为零则这几个数都为零求得a、b、c的值是解决此题的关键．
6．C
【详解】【分析】根据平行线的性质和等腰直角三角形的性质解答即可．
【详解】∵l1∥l2，
∴∠1+∠CAB=∠2，
∵Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，
∴∠CAB=45°，
∴∠2=20°+45°=65°，
故选C．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质和等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．
7．B
【分析】物体镜子里的像，与物体成轴对称，结合选项即可作出判断．
【详解】观察可得，只有选项B的图形与原图形成轴对称．
故选B．
【点睛】本题考查了镜面对称的知识，镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴．
8．B
【分析】首先根据对称的两个图形全等求得∠C的度数，然后在△ABC中利用三角形内角和求解．
【详解】∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∴∠C＝∠C'＝30°，则△ABC中，∠B＝180°﹣105°﹣30°＝45°．
故选B．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，理解轴对称的两个图形全等是关键．
9．A
【详解】等边三角形周长为30cm,故边长是10 cm，所以等腰三角形的腰是
故选A.
10．C
【详解】A、因为有两个角为30°、60°,则第三个角为90°，所以此选项不正确；
B、因为有两个角为40°、80°,则第三个角为60°，所以此选项不正确；
C、因为有两个角为50°、80°,则第三个角为50°，有两个角相等，所以此选项正确；
D、因为100°+120°>180°，所以此选项不正确；
故选：C.
11．D
【详解】①当36°为顶角时，其它两角都为12×(180°−36°)=72°；
②当36°为底角时，其它两角分别为36°，108°.
故选：D.
12．B
【详解】试题分析：根据线段中垂线的性质可得：AD=BD，即∠DAB=∠DBA，设∠CAD=x，则∠BAD=∠DBA=7x，根据三角形内角和定理可知：x+7x+7x=90°，解得：x=6°，则∠BAC=8x=48°，故选择B．
13．D
【分析】分别根据轴对称图形的性质判断得出即可．
【详解】两个图形关于某直线对称，对称点一定在该直线的两旁也有可能在直线上，故选项A,B错误；
两个成轴对称的图形的对应点连线的垂直平分线，就是它们的对称轴，此选项正确；
平面内两个全等的图形不一定关于某直线对称，故选项C错误;
两个关于某直线对称的图形是全等的，此选项D正确.
故选D
【点睛】此题主要考查了轴对称图形的性质，熟练掌握其性质是解题关键．
14．C
【分析】过点E关于BD的对称点F点，根据正方形的对称性可知点F落在BC上，利用对称的性质以及两点之间线段最短，可知当时，即点P在AF上，此时AP+PF的值最小，则AP+PE最小，则周长的最小值，再利用勾股定理求值即可．
【详解】解：过点E关于BD的对称点F点，根据正方形的对称性可知点F落在BC上．连接AP，PF．

∵四边形ABCD是正方形，即点E和点F关于BD对称，
∴，
∴当，即点P在AF上，此时AP+PF=AP+PE的值最小，
∴此时周长的值最小，
∵正方形ABCD的边长为12， AE＝7，
∴
∴由勾股定理得：，
∴的周长的最小值是，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，正方形的性质，能找出符合的P点的位置是解此题的关键．
15．40
【详解】试题解析：∵AB=CA，
∴△ABC是等腰三角形，
∵D是BC边上的中点，
∴AD平分∠BAC，
∵∠BAD=20°．
∴∠BAC=2×20°=40°．
16．36°．
【分析】设∠A=x，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质可得∠C=∠ABC=2x，根据三角形内角和定理可得x+2x+2x=180°，求出x即可得答案.
【详解】设∠A=x，
∵AE=BE，
∴∠ABE=∠A=x，
∴∠BEC=∠ABE+∠A=2x，
∵BE=BC，AB=AC，
∴∠BEC=∠C=∠ABC=2x，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180°，
解得x=36°，
故答案为：36°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握相关的性质及定理是解题的关键.
17．6
【分析】先由垂直的定义及三角形内角和定理得出∠BDA＝75°，根据三角形外角的性质得出∠DAC＝60°，再由角平分线定义求得∠BAD＝60°，则∠FEA＝30°，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，得到EF＝2，再求出∠FBE＝30°，进而得出BF＝EF＝6．
【详解】解：∠DBE＝15°，∠BED＝90°，
∴∠BDA＝75°，
∵∠BDA＝∠DAC＋∠C，而∠C＝15°，
∴∠DAC＝60°，
∵AD为∠CAB平分线，
∴∠BAD＝∠DAC＝60°，
∵EF⊥AB于F，
∴∠FEA＝30°，
∵AF＝2，
∴EF＝2，
∵∠FEB＝60°，
∴∠FBE＝30°，
∴BF＝EF＝6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了垂直的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线定义，直角三角形的性质，综合性较强，难度适中．
18．7
【详解】先根据角平分线的定义及平行线的性质证明△BDO和△CEO是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得BD=DO，CE=EO，则△ADE的周长=AB+AC，从而得出答案．
解：∵BO平分∠ABC，
∴∠DBO=∠CBO，
∵DE∥BC，
∴∠CBO=∠DOB，
∴∠DBO=∠DOB，
∴BD=DO，
同理OE=EC，
∴△ADE的周长=AD+AE+ED=AB+AC=4+3=7．
故答案为7．
“点睛”本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的性质．有效的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
19．C
【分析】先作出其中一点关于直线a的对称点，对称点与另一点的连线与直线a的交点就是所要找的点．首先求得点A关于直线a的对称点A′，连接A′B，即可求得答案．
【详解】解：如图，点A′是点A关于直线a的对称点，连接A′B，则A′B与直线a的交点，即为点P，此时PA+PB最短，
∵A′B与直线a交于点C，
∴点P应选C点．
故答案为C．

20． （1）≌ (2) A'点 C点 （3）B'M 互相平行 （4）垂直平分
【详解】根据轴对称的性质：关于某条直线对称的两个图形是全等图形；如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.由此可得：(1)△ABC≌△A'B'C'; (2)A点的对应点是点A',C'点的对应点是点C; (3)连接BB'交l于点M,连接AA'交l于点N,则BM= B'M,AA'与BB'的位置关系是互相平行; (4)直线l垂直平分AA'.
21．68
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD＝CD，等边对等角可得∠DAC＝∠C，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ADB＝∠C＋∠DAC，再次根据等边对等角可得可得∠ADB＝∠BAD，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
【详解】∵DM垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C＝28°，
∴∠ADB＝∠C＋∠DAC＝28°＋28°＝56°，
∵AB＝BD，
∴∠ADB＝∠BAD＝56°，
在△ABD中，∠B＝180°−∠BAD−∠ADB＝180°−56°−56°＝68°．
故答案为68．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记各性质与定理是解题的关键．
22．4.8 ；
【详解】解：如图所示．连接AP，作AH⊥BC于H点PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．∵AB=AC=5，BC=6，∴BH=CH=3，∴AH==4．∵S△ABC=S△ABP+S△ACP，∴×6×4=×5×PD+，∴PD+PE=4.8．故答案为4.8．

点睛：本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理．①过顶点作底边上的高是解决等腰三角形问题时常作的辅助线；②此题运用了等积转换的思路解题．
23．36°
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【详解】∵等腰三角形的一个底角为，
∴等腰三角形的顶角，
故答案为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
24．50°
【分析】利用三角形的外角和定理求得∠ABC的度数，然后根据等腰三角形的性质，以及三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，则∠CAD的度数即可得到，然后根据平行线的性质求得∠E的度数即可.
【详解】∵∠BDE是△BAD的外角，，∠BDE＝100°，∠BAD＝70°
∴∠ABC=30°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC=∠ACB=30°
∴∠BAC=120°，∠CAD=50°，
∵AC//BE
∴∠E=∠CAD=50°
故答案为50°
【点睛】本题考查三角形的内角和、外角和以及等腰三角形的性质，平行线的性质的综合应用，正确求得∠CAD的度数是解题关键．
25．10°.
【详解】试题分析：根据翻折变换的性质得出∠ACD=∠BCD=45°，∠CDA=∠CDA′=85°，进而利用三角形内角和定理得出∠ADC=∠A′DC=85°，再利用平角的定义，即可得∠BDA'=180°﹣85°﹣85°=10°．
故答案为10°．
考点：三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．
26．40°．
【分析】设顶角的度数为x，表示出底角的度数．根据三角形内角和定理列方程求解．
【详解】设顶角的度数为x°，则底角的度数为（x+30）°．根据题意得：
x+2（x+30）＝180
解得：x＝40．
故答案为40°．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质和三角形内角和定理，属基础题．
27．15
【分析】根据轴对称的性质可证∠MON=2∠AOB=60°；再利用OM=ON=OP，即可求出的周长．
【详解】解：根据题意可画出下图，

∵OA垂直平分PM，OB垂直平分PN．
∴∠MOA=∠AOP，∠NOB=∠BOP；OM=OP=ON=5cm．
∴∠MON=2∠AOB=60°．
∴为等边三角形。
△MON的周长=3×5=15．
故答案为：15．
【点睛】此题考查了轴对称的性质及相关图形的周长计算，根据轴对称的性质得出∠MON=2∠AOB=60°是解题关键．
28．88°
【详解】试题解析：设底角为x°，则顶角为（x+42）°，
∵x°+ x°+（x+42）°=180°，
∴3 x°=138°，
∴x°=46°，
∴顶角为46°+42°=88°.
故答案为88°.
29．10cm或6cm
【详解】如图∵BD是腰AC的中线，
∴AD=CD，

①当△ABD的周长与△BCD的周长差为2时，即AB+AD+BD-(BD+BC+CD)=2,
∴AB-BC=2,
∵BC=8cm，
∴AB=10cm.
②当△BCD的周长与△ABD的周长差为2时，即BD+BC+CD -(AB+AD+BD)=2,
∴BC - AB =2,
∵BC=8cm，
∴AB=6cm.
所以等腰三角形的腰长为10cm或6cm.
点睛：本题主要考查了三角形中线的性质，解决本题时要注意分情况讨论．
30．72°或54°
【分析】先求出与这个外角相邻的内角的度数，再分这个内角是顶角与底角两种情况讨论求解即可．
【详解】等腰三角形的一个外角为108°，
∴与这个外角相邻的内角是180°-108°=72°，
①72°角是顶角时，底角为（180°-72°）=54°，
②72°角是底角时，底角为72°，
综上所述，其底角的度数为54°或72°．
故答案为54°或72°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解决本题时要注意分情况讨论，不要漏解．
31．（1），（3），，证明见解析
【详解】试题分析：根据两直线平行，同位角相等、内错角相等，得到∠B=∠C相等，再利用等角对等边即可求解．
题目：已知是的外角， （1） ， （3） （填序号）
求证：.
证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∵∠1=∠2，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC.
32．27cm．
【分析】已知DE是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得DA=DC，AC=2AE=10cm，再由AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=17cm，由此即可求得△ABC的周长．
【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，AC=2AE=10cm，
∵△ABD的周长为17cm，
∴AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=17cm，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=27cm．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并求出AB+BC=17是解题的关键．
33．(1)详见解析；(2)垂直平分；(3)3.
【分析】（1）根据轴对称图形的性质画出对称图形即可；（2）根据轴对称的性质：对称轴垂直平分对应点的连线判断即可；（3）利用△ABC所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解；
【详解】（1）如图所示；

(2)∵点 C 与点 C′关于直线 l 对称，
∴线段 CC′被直线 l 垂直平分．
故答案为垂直平分；
(3)S△ABC=4−=3
故答案为：3.
【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置，熟记轴对称的性质是解题的关键．
34．
【分析】根据等边三角形的性质，可得B点坐标，根据关于x轴对称的点的纵坐标互为相反数，横坐标相等，可得答案．
【详解】如图所示，
由等边三角形，得：
B点的横坐标为3，
，
即B点的坐标为
由等边三角形OAB关于x轴对称的图形是等边三角形，得：
点的坐标为
【点睛】考查关于轴对称的点的坐标，利用等边三角形得出点的坐标是解题的关键，关于轴对称的点，横坐标相等，纵坐标互为相反数.
35．说明见解析.
【详解】试题分析：要证明△CEF是等腰三角形，需证明有两角相等即可．利用角平分线、直角三角形及三角形外角的性质，进行等量代换，可求证．
解：∵∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°.
∵CD⊥AB，
∴∠CAD＋∠ACD＝90°.∴∠ACD＝∠B.
∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝∠EAB.
∵∠EAB＋∠B＝∠CEA，∠CAE＋∠ACD＝∠CFE，
∴∠CFE＝∠CEF.∴CF＝CE.
∴△CEF是等腰三角形．
36．【解答】（1）（﹣3，0）；（2）（﹣1.5，2）；（3）12.
【分析】⑴根据平面直角坐标系的性质直接求解；⑵根据平面直角坐标系的性质直接求解；⑶根据面积公式即可求解.
【详解】（1）如图，点B1的坐标为（﹣3，0）；
故答案为（﹣3，0）；
（2）如图，点A2的坐标为（﹣1.5，2）；
故答案为（﹣1.5，2）；

（3）△AB1B2的面积=4.5×6﹣×3×4﹣×1.5×6﹣×4.5×2=12．
【点睛】本题主要考查图形的旋转、面积计算，掌握相关性质是解决本题的关键.
37．见解析
【分析】根据等边对等角得到∠B＝∠C，∠AEF＝∠AFE，再根据AAS证明△ABF≌△ACE即可得出结论．
【详解】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．
∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE．
在△ABF与△ACE中，∵AB＝AC，∠B＝∠C，∠AFE＝∠AEF，∴△ABF≌△ACE(AAS)，∴∠BAF＝∠CAE．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质．解题的关键是掌握等腰三角形的性质．
38．（1）证明见解析；（2）∠DFC＝60°；（3）△FMN为等边三角形，理由见解析．
【详解】试题分析：（1）求证∆ABD≅∆CAE即可证明AD＝CE；（2）由三角形外角的性质可以得到∠DFC＝∠FAC＋∠ACE＝∠FAC＋∠BAD＝60°；（3）与（2）同样的道理可证∠FMN=∠FNM=∠DFC=60°,即可证得△FMN是等边三角形．
解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，AB＝AC.
又∵AE＝BD，
∴△AEC≌△BDA(SAS)．
∴AD＝CE.
(2)由(1)知△AEC≌△BDA，
∴∠ACE＝∠BAD.
∴∠DFC＝∠FAC＋∠ACE＝∠FAC＋∠BAD＝60°.
(3)△FMN为等边三角形，由(2)知∠DFC＝60°，
同理可求得∠AMG＝60°，∠BNF＝60°.
∴△FMN是等边三角形．
39．（1）见解析；（2）BC=AE+CF或AE=CF+BC；（3）18或6．
【分析】（1）延长，交于点M．利用AAS证明，得到ME=BC，并利用角平分线加平行的模型证明CF=MF，AE=EF，从而得证；
（2）延长，EF交于点M．类似于（1）的方法可证明当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，BC=AE+CF，当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，AE=CF+BC；
（3）先求出AE，AB，即可利用线段的和差求出答案．
【详解】（1）如图①，延长，交于点M．

∵，
∴∠A=∠BCA=∠EFA，
∴AE=EF
∴
∴∠MED=∠B， ∠M=∠BCD
又∵∠FCM=∠BCM，
∴∠M=∠FCM
∴CF=MF
又∵BD=DE
∴
∴ME=BC
∴CF=MF=ME+EF=BC+AE
即AE+BC=CF；
（2）当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，BC=AE+CF，
如图②，延长，EF交于点M．

由①同理可证，
∴ME=BC
由①证明过程同理可得出MF=CF，AE=EF，
∴BC=ME=EF+MF=AE+CF；
当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，AE=CF+BC.
如图③，延长交EF于点M，

由上述证明过程易得，BC=EM，
CF=FM，
又∵AB=BC，
∴∠ACB=∠CAB=∠FAE
∵
∴∠F=∠FCB，
∴EF=AE，
∴AE=FE=FM+ME=CF+BC
（3）CF=18或6
当DE=2AE=6时，图①中，由（1）得：AE=3，BC=AB=BD+DE+AE=15，
∴CF=AE+BC=3+15=18；
图②中，由（2）得：AE=AD=3，BC=AB=BD+AD=9，
∴CF=BC-AE=9-3=6；
图③中，DE小于AE，故不存在．
故答案为18或6．
【点睛】本题是考查了角平分线、平行线和等腰三角形及全等三角形的综合题，关键是添加恰当的辅助线，构建角平分线加平行的模型，是一道较好的中考真题．