高中人教A版 (2019)4.2 指数函数优秀课后练习题
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一、选择题
1.若函数f(x)=(1-2a)x在实数集R上是减函数,则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),+∞)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-∞,\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2),\f(1,2)))
[解析] 由已知,得0<1-2a<1,解得0
[答案] B
2.若0.72x-1≤0.7x2-4,则x的取值范围是( )
A.[-1,3]
B.(-∞,-1]∪[3,+∞)
C.[-3,1]
D.(-∞,-3]∪[1,+∞)
[解析] ∵函数y=0.7x在R上为减函数,
且0.72x-1≤0.7 x2-4,
∴2x-1≥x2-4,即x2-2x-3≤0.
解得-1≤x≤3,故选A.
[答案] A
[解析] 构造指数函数y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))x(x∈R),由该函数在定义域内单调递减,可得b
[答案] A
4.设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时,f(x)=( )
A.e-x-1B.e-x+1
C.-e-x-1D.-e-x+1
[解析] 由题意知f(x)是奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时,-x>0,则f(-x)=e-x-1=-f(x),得f(x)=-e-x+1.故选D.
[答案] D
5.已知函数f(x)=a2-x(a>0且a≠1),当x>2时,f(x)>1,则f(x)在R上( )
A.是增函数
B.是减函数
C.当x>2时是增函数,当x<2时是减函数
D.当x>2时是减函数,当x<2时是增函数
[解析] 令2-x=t,则t=2-x是减函数,因为当x>2时,f(x)>1,所以当t<0时,at>1.所以0
[答案] A
二、填空题
6.满足方程4x+2x-2=0的x值为________.
[解析] 设t=2x(t>0),则原方程化为t2+t-2=0,
∴t=1或t=-2.
∵t>0,∴t=-2舍去.
∴t=1,即2x=1,∴x=0.
[答案] 0
7.函数y=3x2-2x的值域为________.
[解析] 设u=x2-2x,则y=3u,
u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,
所以y=3u≥3-1=eq \f(1,3),
所以函数y=3x2-2x的值域是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3),+∞)).
[答案] eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3),+∞))
8.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的eq \f(3,4),要使存留污垢不超过原来的1%,则至少要漂洗________次.
[解析] 经过第一次漂洗,存留量为总量的eq \f(1,4);经过第二次漂洗,存留量为第一次漂洗后的eq \f(1,4),也就是原来的eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2,经过第三次漂洗,存留量为原来的eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))3,…,经过第x次漂洗,存留量为原来的eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x,故解析式为y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x.由题意,eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x≤eq \f(1,100),4x≥100,2x≥10,∴x≥4,即至少漂洗4次.
[答案] 4
三、解答题
9.某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答下面的问题:
(1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式;
(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人).
(参考数据:1.0129≈1.113,1.01210≈1.127)
[解] (1)1年后该城市人口总数为:
y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%);
2年后该城市人口总数为:
y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%
=100×(1+1.2%)2;
3年后该城市人口总数为:y=100×(1+1.2%)3;
…
x年后该城市人口总数为:y=100×(1+1.2%)x.
(2)10年后该城市人口总数为:y=100×(1+1.2%)10
=100×1.01210≈112.7(万人).
10.已知函数f(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))ax2-4x+3.
(1)若a=-1时,求函数f(x)的单调增区间;
(2)如果函数f(x)有最大值3,求实数a的值.
[解] (1)当a=-1时,f(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))-x2-4x+3,
令g(x)=-x2-4x+3=-(x+2)2+7,
由于g(x)在(-2,+∞)上递减,
y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x在R上是减函数,
∴f(x)在(-2,+∞)上是增函数,即f(x)的单调增区间是(-2,+∞).
(2)令h(x)=ax2-4x+3,f(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))h(x),
由于f(x)有最大值3,所以h(x)应有最小值-1;
因此必有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0,,\f(12a-16,4a)=-1,))解得a=1,
故当f(x)有最大值3时,a的值为1.
综合运用
11.函数f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-x+3a,x<0,,ax,x≥0))(a>0,且a≠1)是R上的减函数,则a的取值范围是( )
A.(0,1) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3),1)) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(2,3)))
[解析] 由单调性定义,f(x)为减函数应满足:eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0
[答案] B
12.函数y=32x+2·3x-1,x∈[1,+∞)的值域为______________.
[解析] 令3x=t,由x∈[1,+∞),得t∈[3,+∞).
∴y=t2+2t-1=(t+1)2-2≥(3+1)2-2=14.
故所求函数的值域为[14,+∞).
[答案] [14,+∞)
13.要使y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x-1+m的图象不经过第一象限,则实数m的取值范围是________.
[解析] 解法一:函数y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x图象向右平移1个单位得到函数y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x-1的图象(如图所示过点(0,2)),当m<0时,再向下平移|m|个单位就可以得到函数y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x-1+m的图象.要使y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x-1+m的图象不经过第一象限,需要有m≤-2.
解法二:由题意得,因为0
[答案] (-∞,-2]
15.已知定义域为R的函数f(x)=a-eq \f(2,3x+1)(a∈R)是奇函数.
(1)求a的值;
(2)判断函数f(x)在R上的单调性,并证明你的结论;
(3)求函数f(x)在R上的值域.
[解] (1)若存在实数a使函数f(x)为R上的奇函数,则f(0)=0,得a=1.
当a=1时,f(x)=1-eq \f(2,3x+1).
∵f(-x)=1-eq \f(2,3-x+1)=1-eq \f(2·3x,1+3x)=1-eq \f(23x+1-2,1+3x)=-1+eq \f(2,1+3x)=-f(x),
∴f(x)为R上的奇函数.
∴存在实数a=1,使函数f(x)为R上的奇函数.
(3)f(x)=1-eq \f(2,3x+1)中,3x+1∈(1,+∞),
∴eq \f(2,3x+1)∈(0,2).
∴f(x)的值域为(-1,1).
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