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    高中人教A版 (2019)4.2 指数函数优秀课后练习题

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    这是一份高中人教A版 (2019)4.2 指数函数优秀课后练习题,共7页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    复习巩固


    一、选择题


    1.若函数f(x)=(1-2a)x在实数集R上是减函数,则实数a的取值范围是( )


    A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),+∞)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(1,2)))


    C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-∞,\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2),\f(1,2)))


    [解析] 由已知,得0<1-2a<1,解得0

    [答案] B


    2.若0.72x-1≤0.7x2-4,则x的取值范围是( )


    A.[-1,3]


    B.(-∞,-1]∪[3,+∞)


    C.[-3,1]


    D.(-∞,-3]∪[1,+∞)


    [解析] ∵函数y=0.7x在R上为减函数,


    且0.72x-1≤0.7 x2-4,


    ∴2x-1≥x2-4,即x2-2x-3≤0.


    解得-1≤x≤3,故选A.


    [答案] A





    [解析] 构造指数函数y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))x(x∈R),由该函数在定义域内单调递减,可得b0时,有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))x>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))x,故,∴a>c,故a>c>b.


    [答案] A


    4.设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时,f(x)=( )


    A.e-x-1B.e-x+1


    C.-e-x-1D.-e-x+1


    [解析] 由题意知f(x)是奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时,-x>0,则f(-x)=e-x-1=-f(x),得f(x)=-e-x+1.故选D.


    [答案] D


    5.已知函数f(x)=a2-x(a>0且a≠1),当x>2时,f(x)>1,则f(x)在R上( )


    A.是增函数


    B.是减函数


    C.当x>2时是增函数,当x<2时是减函数


    D.当x>2时是减函数,当x<2时是增函数


    [解析] 令2-x=t,则t=2-x是减函数,因为当x>2时,f(x)>1,所以当t<0时,at>1.所以0

    [答案] A


    二、填空题


    6.满足方程4x+2x-2=0的x值为________.


    [解析] 设t=2x(t>0),则原方程化为t2+t-2=0,


    ∴t=1或t=-2.


    ∵t>0,∴t=-2舍去.


    ∴t=1,即2x=1,∴x=0.


    [答案] 0


    7.函数y=3x2-2x的值域为________.


    [解析] 设u=x2-2x,则y=3u,


    u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,


    所以y=3u≥3-1=eq \f(1,3),


    所以函数y=3x2-2x的值域是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3),+∞)).


    [答案] eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3),+∞))


    8.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的eq \f(3,4),要使存留污垢不超过原来的1%,则至少要漂洗________次.


    [解析] 经过第一次漂洗,存留量为总量的eq \f(1,4);经过第二次漂洗,存留量为第一次漂洗后的eq \f(1,4),也就是原来的eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2,经过第三次漂洗,存留量为原来的eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))3,…,经过第x次漂洗,存留量为原来的eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x,故解析式为y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x.由题意,eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x≤eq \f(1,100),4x≥100,2x≥10,∴x≥4,即至少漂洗4次.


    [答案] 4


    三、解答题


    9.某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答下面的问题:


    (1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式;


    (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人).


    (参考数据:1.0129≈1.113,1.01210≈1.127)


    [解] (1)1年后该城市人口总数为:


    y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%);


    2年后该城市人口总数为:


    y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%


    =100×(1+1.2%)2;


    3年后该城市人口总数为:y=100×(1+1.2%)3;





    x年后该城市人口总数为:y=100×(1+1.2%)x.


    (2)10年后该城市人口总数为:y=100×(1+1.2%)10


    =100×1.01210≈112.7(万人).


    10.已知函数f(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))ax2-4x+3.


    (1)若a=-1时,求函数f(x)的单调增区间;


    (2)如果函数f(x)有最大值3,求实数a的值.


    [解] (1)当a=-1时,f(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))-x2-4x+3,


    令g(x)=-x2-4x+3=-(x+2)2+7,


    由于g(x)在(-2,+∞)上递减,


    y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x在R上是减函数,


    ∴f(x)在(-2,+∞)上是增函数,即f(x)的单调增区间是(-2,+∞).


    (2)令h(x)=ax2-4x+3,f(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))h(x),


    由于f(x)有最大值3,所以h(x)应有最小值-1;


    因此必有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0,,\f(12a-16,4a)=-1,))解得a=1,


    故当f(x)有最大值3时,a的值为1.


    综合运用


    11.函数f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-x+3a,x<0,,ax,x≥0))(a>0,且a≠1)是R上的减函数,则a的取值范围是( )


    A.(0,1) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3),1)) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(2,3)))


    [解析] 由单调性定义,f(x)为减函数应满足:eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0

    [答案] B


    12.函数y=32x+2·3x-1,x∈[1,+∞)的值域为______________.


    [解析] 令3x=t,由x∈[1,+∞),得t∈[3,+∞).


    ∴y=t2+2t-1=(t+1)2-2≥(3+1)2-2=14.


    故所求函数的值域为[14,+∞).


    [答案] [14,+∞)


    13.要使y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x-1+m的图象不经过第一象限,则实数m的取值范围是________.


    [解析] 解法一:函数y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x图象向右平移1个单位得到函数y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x-1的图象(如图所示过点(0,2)),当m<0时,再向下平移|m|个单位就可以得到函数y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x-1+m的图象.要使y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x-1+m的图象不经过第一象限,需要有m≤-2.





    解法二:由题意得,因为0

    [答案] (-∞,-2]


    15.已知定义域为R的函数f(x)=a-eq \f(2,3x+1)(a∈R)是奇函数.


    (1)求a的值;


    (2)判断函数f(x)在R上的单调性,并证明你的结论;


    (3)求函数f(x)在R上的值域.


    [解] (1)若存在实数a使函数f(x)为R上的奇函数,则f(0)=0,得a=1.


    当a=1时,f(x)=1-eq \f(2,3x+1).


    ∵f(-x)=1-eq \f(2,3-x+1)=1-eq \f(2·3x,1+3x)=1-eq \f(23x+1-2,1+3x)=-1+eq \f(2,1+3x)=-f(x),


    ∴f(x)为R上的奇函数.


    ∴存在实数a=1,使函数f(x)为R上的奇函数.





    (3)f(x)=1-eq \f(2,3x+1)中,3x+1∈(1,+∞),


    ∴eq \f(2,3x+1)∈(0,2).


    ∴f(x)的值域为(-1,1).





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