高中人教A版 (2019)4.2 指数函数优秀课后练习题

这是一份高中人教A版 (2019)4.2 指数函数优秀课后练习题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

复习巩固


一、选择题


1．若函数f(x)＝(1－2a)x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是( )


A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))


C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))


[解析] 由已知，得0<1－2a<1，解得0

[答案] B


2．若0.72x－1≤0.7x2－4，则x的取值范围是( )


A．[－1,3]


B．(－∞，－1]∪[3，＋∞)


C．[－3,1]


D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)


[解析] ∵函数y＝0.7x在R上为减函数，


且0.72x－1≤0.7 x2－4，


∴2x－1≥x2－4，即x2－2x－3≤0.


解得－1≤x≤3，故选A.


[答案] A





[解析] 构造指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))x(x∈R)，由该函数在定义域内单调递减，可得b0时，有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))x>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))x，故，∴a>c，故a>c>b.


[答案] A


4．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝( )


A．e－x－1B．e－x＋1


C．－e－x－1D．－e－x＋1


[解析] 由题意知f(x)是奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，－x>0，则f(－x)＝e－x－1＝－f(x)，得f(x)＝－e－x＋1.故选D.


[答案] D


5．已知函数f(x)＝a2－x(a>0且a≠1)，当x>2时，f(x)>1，则f(x)在R上( )


A．是增函数


B．是减函数


C．当x>2时是增函数，当x<2时是减函数


D．当x>2时是减函数，当x<2时是增函数


[解析] 令2－x＝t，则t＝2－x是减函数，因为当x>2时，f(x)>1，所以当t<0时，at>1.所以0

[答案] A


二、填空题


6．满足方程4x＋2x－2＝0的x值为________．


[解析] 设t＝2x(t>0)，则原方程化为t2＋t－2＝0，


∴t＝1或t＝－2.


∵t>0，∴t＝－2舍去．


∴t＝1，即2x＝1，∴x＝0.


[答案] 0


7．函数y＝3x2－2x的值域为________．


[解析] 设u＝x2－2x，则y＝3u，


u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，


所以y＝3u≥3－1＝eq \f(1,3)，


所以函数y＝3x2－2x的值域是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞)).


[答案] eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞))


8．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的eq \f(3,4)，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗________次．


[解析] 经过第一次漂洗，存留量为总量的eq \f(1,4)；经过第二次漂洗，存留量为第一次漂洗后的eq \f(1,4)，也就是原来的eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2，经过第三次漂洗，存留量为原来的eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))3，…，经过第x次漂洗，存留量为原来的eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x，故解析式为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x.由题意，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x≤eq \f(1,100)，4x≥100,2x≥10，∴x≥4，即至少漂洗4次．


[答案] 4


三、解答题


9．某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：


(1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；


(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)．


(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127)


[解] (1)1年后该城市人口总数为：


y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；


2年后该城市人口总数为：


y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%


＝100×(1＋1.2%)2；


3年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)3；


…


x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x.


(2)10年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)10


＝100×1.01210≈112.7(万人)．


10．已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))ax2－4x＋3.


(1)若a＝－1时，求函数f(x)的单调增区间；


(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值．


[解] (1)当a＝－1时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－x2－4x＋3，


令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，


由于g(x)在(－2，＋∞)上递减，


y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x在R上是减函数，


∴f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，即f(x)的单调增区间是(－2，＋∞)．


(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))h(x)，


由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1；


因此必有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,\f(12a－16,4a)＝－1，))解得a＝1，


故当f(x)有最大值3时，a的值为1.


综合运用


11．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋3a，x<0，,ax，x≥0))(a>0，且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是( )


A．(0,1) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1)) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)))


[解析] 由单调性定义，f(x)为减函数应满足：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0

[答案] B


12．函数y＝32x＋2·3x－1，x∈[1，＋∞)的值域为______________．


[解析] 令3x＝t，由x∈[1，＋∞)，得t∈[3，＋∞)．


∴y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2≥(3＋1)2－2＝14.


故所求函数的值域为[14，＋∞)．


[答案] [14，＋∞)


13．要使y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－1＋m的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围是________．


[解析] 解法一：函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x图象向右平移1个单位得到函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－1的图象(如图所示过点(0,2))，当m<0时，再向下平移|m|个单位就可以得到函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－1＋m的图象．要使y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－1＋m的图象不经过第一象限，需要有m≤－2.





解法二：由题意得，因为0

[答案] (－∞，－2]


15．已知定义域为R的函数f(x)＝a－eq \f(2,3x＋1)(a∈R)是奇函数．


(1)求a的值；


(2)判断函数f(x)在R上的单调性，并证明你的结论；


(3)求函数f(x)在R上的值域．


[解] (1)若存在实数a使函数f(x)为R上的奇函数，则f(0)＝0，得a＝1.


当a＝1时，f(x)＝1－eq \f(2,3x＋1).


∵f(－x)＝1－eq \f(2,3－x＋1)＝1－eq \f(2·3x,1＋3x)＝1－eq \f(23x＋1－2,1＋3x)＝－1＋eq \f(2,1＋3x)＝－f(x)，


∴f(x)为R上的奇函数．


∴存在实数a＝1，使函数f(x)为R上的奇函数．





(3)f(x)＝1－eq \f(2,3x＋1)中，3x＋1∈(1，＋∞)，


∴eq \f(2,3x＋1)∈(0,2)．


∴f(x)的值域为(－1,1)．