高中人教A版 (2019)第五章 三角函数5.2 三角函数的概念优秀同步达标检测题

这是一份高中人教A版 (2019)第五章 三角函数5.2 三角函数的概念优秀同步达标检测题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

复习巩固


一、选择题


1．若α是第四象限角，tanα＝－eq \f(5,12)，则sinα等于( )


A.eq \f(1,5) B．－eq \f(1,5)


C.eq \f(5,13) D．－eq \f(5,13)


[解析] 因为α是第四象限角，tanα＝－eq \f(5,12)，所以eq \f(sinα,csα)＝－eq \f(5,12).


又sin2α＋cs2α＝1.所以sinα＝－eq \f(5,13).故选D.


[答案] D


2．若csα＝eq \f(2,3)，则tanαsinα＝( )


A.eq \f(5,6) B.eq \f(2,3)


C.eq \f(4,5) D.eq \f(3,4)


[解析] 由csα＝eq \f(2,3)得|sinα|＝eq \f(\r(5),3)，所以tanαsinα＝eq \f(sin2α,csα)＝eq \f(5,9)×eq \f(3,2)＝eq \f(5,6).


[答案] A


3．若sinα＋sin2α＝1，则cs2α＋cs4α等于( )


A．0 B．1


C．2 D．3


[解析] ∵cs2α＋cs4α＝cs2α(1＋cs2α)


＝(1－sin2α)(1－sin2α＋1)


∵sinα＋sin2α＝1，∴1－sin2α＝sinα


∴原式＝sinα·(sinα＋1)＝sin2α＋sinα＝1.


[答案] B


4．化简eq \r(1－2sin1cs1)的结果为( )


A．sin1－cs1 B．cs1－sin1


C．sin1＋cs1 D．－sin1－cs1


[解析] 易知sin1>cs1，所以eq \r(1－2sin1cs1)＝eq \r(sin1－cs12)＝sin1－cs1.故选A.


[答案] A


5．已知sinα·csα＝eq \f(1,8)，且eq \f(π,4)<α

A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(3,4)


C．－eq \f(\r(3),2) D．±eq \f(\r(3),2)


[解析] (csα－sinα)2＝1－2sinαcsα＝eq \f(3,4)，因为eq \f(π,4)<αcsα，所以csα－sinα＝－eq \f(\r(3),2).故选C.


[答案] C


二、填空题


6．若eq \f(2sinα＋csα,3sinα－2csα)＝1，则tanα的值为________．


[解析] eq \f(2sinα＋csα,3sinα－2csα)＝1化为eq \f(2tanα＋1,3tanα－2)＝1，


所以2tanα＋1＝3tanα－2，所以tanα＝3.


[答案] 3


7．已知sinθ＝eq \f(12,13)，且sinθ－csθ>1，则tanθ等于________．


[解析] 因为sinθ－csθ>1，所以csθ<0，所以csθ＝－eq \r(1－sin2θ)＝－eq \f(5,13)，所以tanθ＝eq \f(sinθ,csθ)＝－eq \f(12,5).


[答案] －eq \f(12,5)


三、解答题


8．化简：eq \f(1,cs2α\r(1＋tan2α))－eq \r(\f(1＋sinα,1－sinα))(α为第二象限角)．


[解] ∵α是第二象限角，∴csα<0.


则原式＝eq \f(1,cs2α·\r(1＋\f(sin2α,cs2α)))－eq \r(\f(1＋sinα2,1－sin2α))


＝eq \f(1,cs2α)·eq \r(\f(cs2α,cs2α＋sin2α))－eq \f(1＋sinα,|csα|)


＝eq \f(－csα,cs2α)＋eq \f(1＋sinα,csα)＝eq \f(－1＋1＋sinα,csα)＝eq \f(sinα,csα)＝tanα.


9．已知eq \f(tanα,tanα－1)＝－1，求下列各式的值：


(1)eq \f(sinα－3csα,sinα＋csα)；


(2)sin2α＋sinαcsα＋2.


[解] 因为eq \f(tanα,tanα－1)＝－1，所以tanα＝eq \f(1,2).


(1)原式＝eq \f(tanα－3,tanα＋1)＝－eq \f(5,3).


(2)原式＝eq \f(sin2α＋sinαcsα,sin2α＋cs2α)＋2


＝eq \f(tan2α＋tanα,tan2α＋1)＋2＝eq \f(\f(1,4)＋\f(1,2),\f(1,4)＋1)＋2＝eq \f(13,5).


10．求证：eq \f(2sinxcsx－1,cs2x－sin2x)＝eq \f(tanx－1,tanx＋1).


[证明] 证法一：∵左边


＝eq \f(2sinxcsx－sin2x＋cs2x,cs2x－sin2x)


＝eq \f(－sin2x－2sinxcsx＋cs2x,cs2x－sin2x)＝eq \f(sinx－csx2,sin2x－cs2x)


＝eq \f(sinx－csx2,sinx－csxsinx＋csx)


＝eq \f(sinx－csx,sinx＋csx)＝eq \f(tanx－1,tanx＋1)＝右边．


∴原式成立．


证法二：∵右边＝eq \f(\f(sinx,csx)－1,\f(sinx,csx)＋1)＝eq \f(sinx－csx,sinx＋csx)；


左边＝eq \f(1－2sinxcsx,sin2x－cs2x)＝eq \f(sinx－csx2,sin2x－cs2x)


＝eq \f(sinx－csx2,sinx－csx·sinx＋csx)＝eq \f(sinx－csx,sinx＋csx).


∴左边＝右边，原式成立．


综合运用


11．若1＋sinθ·eq \r(sin2θ)＋csθ·eq \r(cs2θ)＝0成立，则角θ不可能是 ( )


A．第二、三、四象限角 B．第一、二、三象限角


C．第一、二、四象限角 D．第一、三、四象限角


[解析] 由于1＋sinθ·eq \r(sin2θ)＋csθeq \r(cs2θ)＝0，且1－sin2θ－cs2θ＝0，所以sinθ≤0，csθ≤0，故选C.


[答案] C


12．若eq \f(1＋csα,sinα)＝3，则csα－2sinα等于( )


A．－1 B．1


C．－eq \f(2,5) D．－1或－eq \f(2,5)


[解析] 若eq \f(1＋csα,sinα)＝3，则1＋csα＝3sinα，又sin2α＋cs2α＝1，所以sinα＝eq \f(3,5)，csα＝3sinα－1＝eq \f(4,5)，


所以csα－2sinα＝－eq \f(2,5).故选C.


[答案] C


13．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，0<α

[解析] ∵0<α

∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))>0，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2)＝eq \f(2\r(2),3).


[答案] eq \f(2\r(2),3)


14．已知f(tanx)＝eq \f(1,cs2x)，则f(－eq \r(3))＝________.


[解析] 因为f(tanx)＝eq \f(1,cs2x)＝eq \f(sin2x＋cs2x,cs2x)＝tan2x＋1，所以f(x)＝x2＋1，所以f(－eq \r(3))＝4.


[答案] 4


15．已知在△ABC中，sinA＋csA＝eq \f(1,5).


(1)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；


(2)求tanA的值．


[解] (1)由sinA＋csA＝eq \f(1,5)两边平方，得1＋2sinA·csA＝eq \f(1,25)，所以sinA·csA＝－eq \f(12,25)<0.


因为00,csA<0，))所以A为钝角，所以△ABC是钝角三角形．


(2)因为sinA·csA＝－eq \f(12,25)，


所以(sinA－csA)2＝1－2sinA·csA＝1＋eq \f(24,25)＝eq \f(49,25).


又因为sinA>0，csA<0，所以sinA－csA>0，


所以sinA－csA＝eq \f(7,5).


又因为sinA＋csA＝eq \f(1,5)，所以sinA＝eq \f(4,5)，csA＝－eq \f(3,5)，所以tanA＝－eq \f(4,3).