数学必修 第一册第五章 三角函数5.2 三角函数的概念课后复习题

这是一份数学必修 第一册第五章 三角函数5.2 三角函数的概念课后复习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(三十八) 同角三角函数的基本关系


(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．已知α是第三象限角，且sin α＝－eq \f(1,3)，则3cs α＋4tan α＝( )


A．－eq \r(2) B．eq \r(2)


C．－eq \r(3) D．eq \r(3)


A [因为α是第三象限角，且sin α＝－eq \f(1,3)，


所以cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))eq \s\up12(2))＝－eq \f(2\r(2),3)，


所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(1,2\r(2))＝eq \f(\r(2),4)，


所以3cs α＋4tan α＝－2eq \r(2)＋eq \r(2)＝－eq \r(2).]


2．化简sin2α＋cs4α＋sin2αcs2α的结果是( )


A.eq \f(1,4) B．eq \f(1,2)


C．1 D．eq \f(3,2)


C [原式＝sin2α＋cs2α(cs2α＋sin2α)


＝sin2α＋cs2α＝1.]


3．已知sin α＝eq \f(\r(5),5)，则sin4α－cs4α的值为( )


A．－eq \f(1,5) B．－eq \f(3,5)


C.eq \f(1,5) D．eq \f(3,5)


B [sin4α－cs4α＝(sin2α＋cs2α)(sin2α－cs2α)＝sin2α－cs2α＝2sin2α－1＝－eq \f(3,5).]


4.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tan x＋\f(1,tan x)))cs2x等于( )


A．tan x B．sin x


C．cs x D．eq \f(1,tan x)


D [原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin x,cs x)＋\f(cs x,sin x)))·cs2x


＝eq \f(sin2x＋cs2x,sin xcs x)·cs2x


＝eq \f(1,sin xcs x)·cs2x＝eq \f(cs x,sin x)＝eq \f(1,tan x).]


5．已知sin θ＋cs θ＝eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0<θ≤\f(π,4)))，则sin θ－cs θ＝( )


A.eq \f(\r(2),3) B．－eq \f(\r(2),3)


C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)


B [由(sin θ＋cs θ)2＝1＋2sin θcs θ＝eq \f(16,9)，得2sin θcs θ＝eq \f(7,9)，则(sin θ－cs θ)2＝1－2sin θcs θ＝eq \f(2,9)，由0<θ≤eq \f(π,4)，知sin θ－cs θ≤0，所以sin θ－cs θ＝－eq \f(\r(2),3).]


二、填空题


6．化简eq \f(1,\r(1＋tan220°))的结果是 ．


cs 20° [eq \f(1,\r(1＋tan220°))＝eq \f(1,\r(1＋\f(sin220°,cs220°)))


＝eq \f(1,\r(\f(cs220°＋sin220°,cs220°)))


＝eq \f(1,\r(\f(1,cs220°)))＝|cs 20°|＝cs 20°.]


7．已知cs α＋2sin α＝－eq \r(5)，则tan α＝ .


2 [由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs α＋2sin α＝－\r(5)，,sin2α＋cs2α＝1，))得(eq \r(5)sin α＋2)2＝0，


∴sin α＝－eq \f(2\r(5),5)，cs α＝－eq \f(\r(5),5)，∴tan α＝2.]


8．已知tan α＝2，则4sin2α－3sin αcs α－5cs2α＝ .


1 [4sin2α－3sin αcs α－5cs2α


＝eq \f(4sin2α－3sin αcs α－5cs2α,sin2α＋cs2α)


＝eq \f(4tan2α－3tan α－5,tan2α＋1)


＝eq \f(4×4－3×2－5,4＋1)＝eq \f(5,5)＝1.]


三、解答题


9．化简下列各式：


(1)eq \f(sin α,1＋sin α)－eq \f(sin α,1－sin α)；


(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sin α)＋\f(1,tan α)))(1－cs α)．


[解] (1)原式＝eq \f(sin α1－sin α－sin α1＋sin α,1＋sin α1－sin α)＝eq \f(－2sin2α,1－sin2α)＝eq \f(－2sin2α,cs2α)＝－2tan2α.


(2)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sin α)＋\f(cs α,sin α)))(1－cs α)


＝eq \f(1＋cs α,sin α)(1－cs α)＝eq \f(sin2α,sin α)＝sin α.


10．若eq \f(3π,2)<α<2π，求证： eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))＋eq \r(\f(1＋cs α,1－cs α))＝－eq \f(2,sin α).


[证明] ∵eq \f(3π,2)<α<2π，∴sin α<0.


左边＝eq \r(\f(1－cs α2,1＋cs α1－cs α))＋


eq \r(\f(1＋cs α2,1－cs α1＋cs α))


＝ eq \r(\f(1－cs α2,sin2α))＋ eq \r(\f(1＋cs α2,sin2α))


＝eq \f(|1－cs α|,|sin α|)＋eq \f(|1＋cs α|,|sin α|)


＝－eq \f(1－cs α,sin α)－eq \f(1＋cs α,sin α)


＝－eq \f(2,sin α)＝右边．


∴原等式成立．





11．(多选题)若sin α＝eq \f(4,5)，且α为锐角，则下列选项中正确的有( )


A．tan α＝eq \f(4,3) B．cs α＝eq \f(3,5)


C．sin α＋cs α＝eq \f(8,5) D．sin α－cs α＝－eq \f(1,5)


AB [∵sin α＝eq \f(4,5)，且α为锐角，


∴cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))eq \s\up12(2))＝eq \f(3,5)，故B正确，


∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(\f(4,5),\f(3,5))＝eq \f(4,3)，故A正确，


∴sin α＋cs α＝eq \f(4,5)＋eq \f(3,5)＝eq \f(7,5)≠eq \f(8,5)，故C错误，


∴sin α－cs α＝eq \f(4,5)－eq \f(3,5)＝eq \f(1,5)≠－eq \f(1,5)，故D错误．


故选AB.]


12.eq \f(\r(1－2sin 10°cs 10°),sin 10°－\r(1－sin210°))的值为( )


A．1 B．－1


C．sin 10° D．cs 10°


B [eq \f(\r(1－2sin 10°cs 10°),sin 10°－\r(1－sin210°))


＝eq \f(\r(cs 10°－sin 10°2),sin 10°－\r(cs210°))＝eq \f(|cs 10°－sin 10°|,sin 10°－cs 10°)


＝eq \f(cs 10°－sin 10°,sin 10°－cs 10°)＝－1.]


13．(一题两空)已知sin θ＝eq \f(m－3,m＋5)，cs θ＝eq \f(4－2m,m＋5)，则m的值为 ，tan θ＝ .


0或8 －eq \f(3,4)或－eq \f(5,12) [因为sin2θ＋cs2θ＝1，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m－3,m＋5)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4－2m,m＋5)))2＝1.


整理得m2－8m＝0，


解得m＝0或8.


又tan θ＝eq \f(sin θ,cs θ)＝eq \f(m－3,4－2m)


当m＝0时，tan θ＝－eq \f(3,4)；


当m＝8时，tan θ＝－eq \f(5,12).]


14．已知sin θ，cs θ是方程2x2－mx＋1＝0的两根，则eq \f(sin θ,1－\f(1,tan θ))＋eq \f(cs θ,1－tan θ)＝ .


±eq \r(2) [eq \f(sin θ,1－\f(1,tan θ))＋eq \f(cs θ,1－tan θ)＝eq \f(sin θ,1－\f(cs θ,sin θ))＋eq \f(cs θ,1－\f(sin θ,cs θ))＝eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs2θ,cs θ－sin θ)＝eq \f(sin2θ－cs2θ,sin θ－cs θ)＝sin θ＋cs θ，又因为sin θ，cs θ是方程2x2－mx＋1＝0的两根，所以由根与系数的关系得sin θcs θ＝eq \f(1,2)，则(sin θ＋cs θ)2＝1＋2sin θcs θ＝2，所以sin θ＋cs θ＝±eq \r(2).]





15．(1)分别计算cs4eq \f(π,6)－sin4eq \f(π,6)和cs2eq \f(π,6)－sin2eq \f(π,6)，cseq \f(π,3)的值，你有什么发现？


(2)计算cs4eq \f(π,4)－sin4eq \f(π,4)，cs2eq \f(π,4)－sin2eq \f(π,4)，cseq \f(π,2)的值，你有什么发现．


(3)证明：∀x∈R，cs2x－sin2x＝cs4x－sin4x.


(4)推测∀x∈R，cs2x－sin2x与cs 2x的关系，不需证明．


[解] (1)cs4eq \f(π,6)－sin4eq \f(π,6)


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(π,6)＋sin2\f(π,6)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(π,6)－sin2\f(π,6)))


＝cs2eq \f(π,6)－sin2eq \f(π,6)＝eq \f(3,4)－eq \f(1,4)＝eq \f(1,2)＝cseq \f(π,3).


(2)cs4eq \f(π,4)－sin4eq \f(π,4)


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(π,4)＋sin2\f(π,4)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(π,4)－sin2\f(π,4)))


＝cs2eq \f(π,4)－sin2eq \f(π,4)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)＝0＝cseq \f(π,2).


(3)证明：cs4x－sin4x＝(cs2x＋sin2x)(cs2x－sin2x)＝cs2x－sin2x.


(4)推测cs2x－sin2x＝cs 2x.