人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念达标测试

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念达标测试，共3页。试卷主要包含了下列等式中恒成立的个数为等内容，欢迎下载使用。

1．下列等式中恒成立的个数为( )


①sin21＝1－cs21；


②sin2α＋cs2α＝sin23＋cs23；


③sinα＝tanαcsαeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).


A．1 B．2


C．3 D．0


[解析] ①②③都正确，故选C.


[答案] C


2．已知α是第四象限角，csα＝eq \f(12,13)，则sinα等于( )


A.eq \f(5,13) B．－eq \f(5,13)


C.eq \f(5,12) D．－eq \f(5,12)


[解析] ∵sin2θ＋cs2θ＝1，∴sin2θ＝1－cs2θ＝1－eq \f(144,169)＝eq \f(25,169)，又∵α是第四象限角，∴sinα<0，即sinθ＝－eq \f(5,13).


[答案] B


3．化简eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sinα)＋\f(1,tanα)))(1－csα)的结果是( )


A．sinα B．csα


C．1＋sinα D．1＋csα


[解析] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sinα)＋\f(1,tanα)))(1－csα)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sinα)＋\f(csα,sinα)))(1－csα)＝eq \f(1－cs2α,sinα)＝eq \f(sin2α,sinα)＝sinα.


[答案] A


4．已知sinα＝eq \f(\r(5),5)，则sin4α－cs4α的值为( )


A．－eq \f(1,5) B．－eq \f(3,5)


C.eq \f(1,5) D.eq \f(3,5)


[解析] sin4α－cs4α＝sin2α－cs2α＝2sin2α－1


＝eq \f(2,5)－1＝－eq \f(3,5).


[答案] B


5．若tanθ＝－2，求sinθcsθ.


[解] ∵sinθcsθ＝eq \f(sinθcsθ,sin2θ＋cs2θ)＝eq \f(\f(sinθcsθ,cs2θ),\f(sin2θ＋cs2θ,cs2θ))


＝eq \f(tanθ,tan2θ＋1)，而tanθ＝－2，


∴原式＝eq \f(－2,－22＋1)＝－eq \f(2,5).


课内拓展 课外探究


sinα±csα与sinαcsα关系的应用


sinα＋csα，sinα－csα，sinαcsα三个式子中，已知其中一个，可以求其它两个，即“知一求二”，它们之间的关系是(sinα±csα)2＝1±2sinαcsα.


【典例】 已知sinα＋csα＝eq \f(1,5)，α∈(0，π)，求：


(1)sinαcsα；(2)sinα－csα；(3)sin3α＋cs3α.


[解] (1)由sinα＋csα＝eq \f(1,5)，


平方得2sinαcsα＝－eq \f(24,25)，∴sinαcsα＝－eq \f(12,25).


(2)∵(sinα－csα)2＝1－2sinαcsα＝1＋eq \f(24,25)＝eq \f(49,25)，


∴sinα－csα＝±eq \f(7,5).


又由(1)知sinαcsα<0，∴α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，


∴sinα>0，csα<0，∴sinα－csα＝eq \f(7,5).


(3)∵sin3α＋cs3α


＝(sinα＋csα)(sin2α－sinαcsα＋cs2α)


＝(sinα＋csα)(1－sinαcsα)，


由(1)知sinαcsα＝－eq \f(12,25)，且sinα＋csα＝eq \f(1,5)，


∴sin3α＋cs3α＝eq \f(1,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(12,25)))


＝eq \f(1,5)×eq \f(37,25)＝eq \f(37,125).


[点评] (1)已知sinα±csα，sinαcsα中的一个，求其它两个的问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解，涉及的三角恒等式有：


①(sinα＋csα)2＝1＋2sinαcsα；


②(sinα－csα)2＝1－2sinαcsα；


③(sinα＋csα)2＋(sinα－csα)2＝2；


④(sinα－csα)2＝(sinα＋csα)2－4sinαcsα.


(2)求sinα＋csα或sinα－csα的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号．