高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数精品第2课时2课时教学设计

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第2课时 对数函数的性质及其应用








1．掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法．


2．会解简单的对数不等式．


3．掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法．


4．了解反函数的概念及它们的图象特点．





1．对数函数值的符号规律


(1)a>1时，当x>1时，y>0；当0

(2)00；当x>1时，y<0.


可简记为“底真同，对数正；底真异，对数负”，“同”指同大于1或同小于1，“异”指一个大于1一个小于1.


2．对称关系


(1)函数y＝与y＝lgax的图象关于x轴对称．


(2)函数y＝ax与y＝lgax的图象关于直线y＝x对称．


3．反函数


指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)和对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数．





1．函数y＝ax与y＝lgax中，它们的定义域、值域、单调性有何关系？


[答案] 指数函数y＝ax的定义域R是函数y＝lgax的值域，函数y＝ax的值域是函数y＝lgax的定义域，且a>1时，y＝ax与y＝lgax均为增函数，0

2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)函数y＝lg0.2x的图象与函数y＝－lg0.2x的图象关于y轴对称．( )


(2)若01，则lgab<0.( )


(3)函数y＝lg3x与y＝3x互为反函数．( )


(4)若lgax>lgbx，则a>b.( )


[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×





题型一 比较对数值的大小


【典例1】 比较下列各组中两个值的大小：


(1)ln0.3，ln2；


(2)lg30.2，lg40.2；


(3)lg3π，lgπ3；


(4)lga3.1，lga5.2(a>0，且a≠1)．


[思路导引] 利用对数单调性比较大小．


[解] (1)因为函数y＝lnx是增函数，且0.3<2，


所以ln0.3

(2)解法一：因为0>lg0.23>lg0.24，所以eq \f(1,lg0.23)




解法二：如图所示，


由图可知lg40.2>lg30.2.


(3)因为函数y＝lg3x是增函数，且π>3，所以lg3π>lg33＝1.


因为函数y＝lgπx是增函数，且π>3，


所以lgπ3

所以lg3π>lgπ3.


(4)当a>1时，函数y＝lgax在(0，＋∞)上是增函数，又3.1<5.2，所以lga3.1

当0lga5.2.











比较对数值大小时常用的4种方法


(1)同底的利用对数函数的单调性，如典例1(1)．


(2)同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化，如典例1(2)．


(3)底数和真数都不同，找中间量，如典例1(3)．


(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论，如典例1(4)．





[针对训练]


1．比较下列各题中两个值的大小：


(1)lg6，lg8；(2)lg0.56，lg0.54；





[解] (1)因为函数y＝lgx在(0，＋∞)上是增函数，且6<8，所以lg6

(2)因为函数y＝lg0.5x在(0，＋∞)上是减函数，且6>4，所以lg0.56




(4)取中间值1，


∵lg23>lg22＝1＝lg55>lg54，


∴lg23>lg54.


题型二 求解对数不等式


【典例2】 (1)已知lgaeq \f(1,2)>1，求a的取值范围；


(2)已知lg0.7(2x)

[解] (1)由lgaeq \f(1,2)>1得lgaeq \f(1,2)>lgaa.


①当a>1时，有a

②当0

∴a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).


(2)∵函数y＝lg0.7x在(0，＋∞)上为减函数，


∴由lg0.72x

得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x>0，,x－1>0，,2x>x－1，))解得x>1.


∴x的取值范围是(1，＋∞)．











常见对数不等式的2种解法


(1)形如lgax>lgab的不等式，借助y＝lgax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0

(2)形如lgax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝lgax的单调性求解.





[针对训练]


2．不等式lg2(2x＋3)>lg2(5x－6)的解集为( )


A．(－∞，3) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3))


C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(6,5))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，3))


[解析] 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3>0，,5x－6>0，,2x＋3>5x－6，))得eq \f(6,5)

[答案] D


3．已知lga(3a－1)恒为正，求a的取值范围．


[解] 由题意知lga(3a－1)>0＝lga1.


当a>1时，y＝lgax是增函数，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－1>1，,3a－1>0，))解得a>eq \f(2,3)，


∴a>1；


当0

∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－1<1，,3a－1>0，))解得eq \f(1,3)

∴eq \f(1,3)

综上所述，a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))∪(1，＋∞).


题型三 形如y＝lgaf(x)的函数的单调性


【典例3】 求函数y＝lg0.7(x2－3x＋2)的单调区间．


[思路导引] 先求定义域，再根据复合函数的单调性求解．


[解] 因为x2－3x＋2>0，所以x<1或x>2.所以函数的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)，令t＝x2－3x＋2，则y＝lg0.7t，显然y＝lg0.7t在(0，＋∞)上是单调递减的，而t＝x2－3x＋2在(－∞，1)，(2，＋∞)上分别是单调递减和单调递增的，所以函数y＝lg0.7(x2－3x＋2)的单调递增区间为(－∞，1)，单调递减区间为(2，＋∞)．











求对数型函数单调区间的方法


(1)求形如y＝lgaf(x)的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由f(x)>0，先求定义域．


(2)求此类型函数单调区间的两种思路：①利用定义求解；②借助函数的性质，研究函数t＝f(x)和y＝lgat在定义域上的单调性，利用“同增异减”的结论，从而判定y＝lgaf(x)的单调性．





[针对训练]


4．求函数y＝ (1－x2)的单调区间．


[解] 要使y＝ (1－x2)有意义，则1－x2>0，


∴x2<1，则－1

令t＝1－x2，x∈(－1,1)．


当x∈(－1,0]时，x增大，t增大，y＝ t减小，


∴x∈(－1,0]时，y＝ (1－x2)是减函数；


当x∈[0,1)时，y＝ (1－x2)是增函数．


故函数y＝ (1－x2)的单调增区间为[0,1)，函数的单调递减区间为(－1,0].


题型四 与对数函数有关的值域问题


【典例4】 求下列函数的值域：


(1)y＝lg2(|x|＋4)；


(2)f(x)＝lg2(－x2－4x＋12)．


[思路导引] 求出真数的范围，利用对数函数的单调性求解．


[解] (1)因为|x|＋4≥4，所以lg2(|x|＋4)≥lg24＝2，所以函数的值域为[2，＋∞)．


(2)因为－x2－4x＋12＝－(x＋2)2＋16≤16，所以0<－x2－4x＋12≤16，故lg2(－x2－4x＋12)≤lg216＝4，函数的值域为(－∞，4]．


[变式] 若本例(2)函数改为“f(x)＝－3x，x∈[2,4]”，如何求解？


[解] 令t＝x，


则y＝t2－3t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(3,2)))2－eq \f(9,4)，


∵2≤x≤4，


即－2≤t≤－1.


可知y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(3,2)))2－eq \f(9,4)在[－2，－1]上单调递减．


∴当t＝－2时，y取最大值为10；


当t＝－1时，y取最小值为4.


∴原函数的值域为[4,10]．











对数型函数值域的求解技巧


(1)求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解．


(2)形如y＝lgaf(x)，y＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c型的函数值域求解常用换元法、配方法等解题技巧．





[针对训练]


5．求函数y＝lgeq \f(1,3)(－x2＋4x－3)的值域．


[解] 由－x2＋4x－3>0，解得1

设u＝－x2＋4x－3(1

∵1

6．求函数y＝lg2(2x)·lg2xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)≤x≤2))的最大值和最小值．


[解] y＝lg2(2x)·lg2x＝(1＋lg2x)·lg2x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2x＋\f(1,2)))2－eq \f(1,4).


∵eq \f(1,2)≤x≤2，即－1≤lg2x≤1，


∴当lg2x＝－eq \f(1,2)时，ymin＝－eq \f(1,4)；


当lg2x＝1时，ymax＝2.


课堂归纳小结


1．比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性．若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a>1和0

2.解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用.





1．若函数y＝f(x)是函数y＝3x的反函数，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))的值为( )


A．－lg23B．－lg32


C.eq \f(1,9) D.eq \r(3)


[解析] 由题意可知f(x)＝lg3x，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝lg3eq \f(1,2)＝－lg32，故选B.


[答案] B


2．设a＝lg43，b＝lg53，c＝lg45，则( )


A．a>c>bB．b>c>a


C．c>b>aD．c>a>b


[解析] a＝lg43lg44＝1，由对数函数的性质可知lg53

[答案] D


3．关于函数f(x)＝ (1－2x)的单调性的叙述正确的是( )


A．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))内是增函数


B．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))内是减函数


C．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))内是增函数


D．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))内是减函数


[解析] 由于底数eq \f(1,2)∈(0,1)，所以函数f(x)＝ (1－2x)的单调性与y＝1－2x的单调性相反．由1－2x>0，得x

[答案] C


4．不等式的解集为________．


[解析] 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5＋x>0，,1－x>0，,5＋x>1－x，))得－2

[答案] {x|－2

5．求函数y＝(lg2x)2－4lg2x＋5(1≤x≤2)的最值．


[解] 令t＝lg2x，则0≤t≤1且y＝t2－4t＋5，由二次函数的图象可知，函数y＝t2－4t＋5在[0,1]上为减函数，∴2≤y≤5.故ymax＝5，ymin＝2.


课内拓展 课外探究


对数函数与函数的单调性、奇偶性


对数函数本身不具有奇偶性，但由对数函数复合而成的某些函数具有奇偶性，这类函数的单调性由对数函数的单调性决定．


【典例】 已知函数f(x)＝lgaeq \f(1＋x,1－x)(a>0，且a≠1)．


(1)求f(x)的定义域；


(2)判断函数的奇偶性；


(3)求使f(x)>0的x的取值范围．


[解] (1)由eq \f(1＋x,1－x)>0，得－1

故f(x)的定义域为(－1,1)．


(2)∵f(－x)＝lgaeq \f(1－x,1＋x)＝－lgaeq \f(1＋x,1－x)＝－f(x)，


又由(1)知f(x)的定义域关于原点对称，∴f(x)是奇函数．


(3)当a>1时，由lgaeq \f(1＋x,1－x)>0＝lga1，


得eq \f(1＋x,1－x)>1.所以0

当00＝lga1，


得0

所以－1

故当a>1时，x的取值范围是{x|0

[点评] 对数函数是一类具有特殊性质的初等函数，利用函数的图象和性质可以研究符合对数函数的图象性质的综合问题．








课后作业(三十二)


复习巩固


一、选择题


1．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是( )


A．(－∞，7]B．(2,7]


C．[7，＋∞)D．(2，＋∞)


[解析] ∵lg(2x－4)≤1，∴0<2x－4≤10，解得2

[答案] B


2．已知实数a＝lg45，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0，c＝lg30.4，则a，b，c的大小关系为( )


A．b

C．c

[解析] 由题知，a＝lg45>1，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0＝1，c＝lg30.4<0，故c

[答案] D


3．已知，则( )


A．n

C．1

[解析] 因为0n>1，故选D.


[答案] D


4．函数f(x)＝的单调递增区间是( )


A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))B．(0,1]


C．(0，＋∞)D．[1，＋∞)


[解析]





f(x)的图象如右图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．


[答案] D


5．函数f(x)＝lg2(x2－4x＋12)的值域为( )


A．[3，＋∞)B．(3，＋∞)


C．(－∞，－3)D．(－∞，－3]


[解析] ∵u＝x2－4x＋12＝(x－2)2＋8≥8，且2>1


∴f(x)≥lg28＝3.


[答案] A


二、填空题


6．设函数y＝ax的反函数为f(x)，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是________．


[解析] 因为y＝ax的反函数为f(x)，∴f(x)＝lgax.当a>1时，a＋1>2, f(x)＝lgax是单调递增函数，则f(a＋1)>f(2)；当0f(2)．综上f(a＋1)>f(2)．


[答案] f(a＋1)>f(2)


7．设a>1，函数f(x)＝lgax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为eq \f(1,2)，则a＝________.


[解析] ∵a>1，


∴f(x)＝lgax在[a,2a]上递增，


∴lga(2a)－lgaa＝eq \f(1,2)，


即lga2＝eq \f(1,2)，∴＝2，a＝4.


[答案] 4


8．函数f(x)＝ (eq \r(2)－|x|)的单调递增区间为________．


[解析] 由eq \r(2)－|x|>0，得－eq \r(2)

∵函数u＝eq \r(2)－|x|在[0，eq \r(2))上为减函数，且函数y＝u为减函数，


∴函数f(x)的单调递增区间为[0，eq \r(2))．


[答案] [0，eq \r(2))


三、解答题


9．求函数f(x)＝lg2(4x)·lg4eq \f(2,x)，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，4))的值域．


[解] f(x)＝lg2(4x)·lg4eq \f(2,x)


＝(lg2x＋2)·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)1－lg2x))


＝－eq \f(1,2)[(lg2x)2＋lg2x－2]．


设lg2x＝t.


∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，4))，∴t∈[－1,2]，


则有y＝－eq \f(1,2)(t2＋t－2)，t∈[－1,2]，


因此二次函数图象的对称轴为t＝－eq \f(1,2)，


∴它在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2)))上是增函数，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2))上是减函数，


∴当t＝－eq \f(1,2)时，有最大值，且ymax＝eq \f(9,8).


当t＝2时，有最小值，且ymin＝－2.


∴f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，\f(9,8))).


10．已知y＝lga(2－ax)在[0,1]上是x的减函数，求a的取值范围．


[解] 设t＝2－ax，则y＝lgat.∵a>0，∴t＝2－ax为定义域上的减函数，由复合函数单调性，得y＝lgat在定义域上为增函数，∴a>1，又函数t＝2－ax>0在[0,1]上恒成立，则2－a≥0即可．


∴a≤2.综上，a的取值范围是(1,2]．


综合运用


11．函数f(x)＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x2＋1)＋x)))的奇偶性是( )


A．奇函数B．偶函数


C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数


[解析] f(x)的定义域为R，


∵f(－x)＋f(x)＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x2＋1)－x)))＋lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x2＋1)＋x)))＝lgeq \f(1,x2＋1－x2)＝lg1＝0，∴f(x)为奇函数，选A.


[答案] A


12．若函数f(x)＝lga(2x＋1)(a>0，且a≠1)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))内恒有f(x)>0，则f(x)的单调减区间是( )


A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞))


C．(－∞，0)D．(0，＋∞)


[解析] 当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))时，2x＋1∈(0,1)，


所以0

又因为f(x)的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞))，y＝2x＋1在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞))上为增函数，所以f(x)的单调减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)).


[答案] B


13．已知f(x)＝lgeq \f(1＋x,1－x)，x∈(－1,1)，若f(a)＝eq \f(1,2)，则f(－a)＝________.


[解析] 因为f(x)＝lgeq \f(1＋x,1－x)＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－x,1＋x)))－1，


所以f(－x)＋f(x)＝0，


f(－a)＋f(a)＝0，故f(－a)＝－eq \f(1,2).


[答案] －eq \f(1,2)


14．函数y＝的单调递减区间是________．


[解析] y＝lgeq \f(1,3)u，u＝－x2＋4x＋12.


令u＝－x2＋4x＋12>0，得－2

∴x∈(－2,2)时，u＝－x2＋4x＋12为增函数，


∵y＝lgeq \f(1,3)u在定义域上为减函数，


∴函数的单调减区间是(－2,2)．


[答案] (－2,2)


15．已知函数f(x)＝lga(1－x)＋lga(x＋3)，其中0

(1)求函数f(x)的定义域；


(2)若函数f(x)的最小值为－4，求a的值．


[解] (1)要使函数有意义，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x>0，x＋3>0，))


解得－3

(2)函数可化为：f(x)＝lga(1－x)(x＋3)＝lga(－x2－2x＋3)＝lga[－(x＋1)2＋4]，因为－3

因为0

即f(x)min＝lga4，由lga4＝－4，得a－4＝4，所以a＝4－eq \f(1,4)＝eq \f(\r(2),2).