人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数优秀第1课时教学设计

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第四章 指数函数与对数函数


4．1 指数


第1课时 根式








1．理解n次方根、n次根式的概念．


2．正确运用根式运算性质化简、求值．


3．体会分类讨论思想、符号化思想的作用．





1．根式的概念


一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.


(1)当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号eq \r(n,a)表示．


(2)当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，记为±eq \r(n,a)，负数没有偶次方根．


(3)0的任何次方根都是0，记作eq \r(n,0)＝0.


式子eq \r(n,a)叫做根式，其中n(n>1，且n∈N*)叫做根指数，a叫做被开方数．


2．根式的性质


根据n次方根的意义，可以得到：


(1)(eq \r(n,a))n＝a.


(2)当n是奇数时，eq \r(n,an)＝a；当n是偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a<0.))


温馨提示：(eq \r(n,a))n中当n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，而(eq \r(n,an))中a∈R.





1．若x4＝3，这样的x有几个，如何表示？


[答案] 有2个，表示为±eq \r(4,3)


2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)任意实数的奇次方根只有一个．( )


(2)正数的偶次方根有两个且互为相反数．( )


(3)当n∈N*时，(eq \r(n,－16))n都有意义．( )


(4)eq \r(3－π2)＝π－3.( )


[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√





题型一 根式的意义


【典例1】 下列说法正确的个数是( )


①16的4次方根是2；②eq \r(4,16)的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，eq \r(n,a)对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，eq \r(n,a)只有当a≥0时才有意义．


A．1B．2


C．3D．4


(2)已知m10＝2，则m等于( )


A.eq \r(10,2)B．－eq \r(10,2)


C.eq \r(210)D．±eq \r(10,2)


[思路导引] 利用n次方根的概念求解．


[解析] (1)①16的4次方根应是±2；②eq \r(4,16)＝2，所以正确的应为③④.


(2)∵m10＝2，∴m是2的10次方根．


∴m＝±eq \r(10,2).


[答案] (1)B (2)D





n(n>1)次方根的个数及符号的确定


(1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个．


(2)根式eq \r(n,a)的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定：


①当n为偶数时，eq \r(n,a)为非负实数；


②当n为奇数时，eq \r(n,a)的符号与a的符号一致．


[针对训练]


1．16的平方根为________，－27的5次方根为________．


[解析] ∵(±4)2＝16，∴16的平方根为±4.－27的5次方根为eq \r(5,－27).


[答案] ±4 eq \r(5,－27)


2．若eq \r(4,x－2)有意义，则实数x的取值范围是________．


[解析] 要使eq \r(4,x－2)有意义，则需x－2≥0，即x≥2.因此实数x的取值范围是[2，＋∞)．


[答案] [2，＋∞)


题型二 简单根式的化简与求值


【典例2】 化简下列各式：


(1) eq \r(5,－25)；(2) eq \r(4,－104)；(3) eq \r(4,－92)；


(4) eq \r(4,a－b4).


[思路导引] 利用eq \r(n,an)的性质进行化简．


[解] (1) eq \r(5,－25)＝－2.


(2) eq \r(4,－104)＝|－10|＝10.


(3) eq \r(4,－92)＝eq \r(4,34)＝3.


(4) eq \r(4,a－b4)＝|a－b|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－ba≥b，,b－aa




根式的化简求值注意以下2点


(1)首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．


(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．


[针对训练]


3．计算下列各式的值：


(1) eq \r(3,－43)；


(2) eq \r(6,3－π6)；


(3) eq \r(3,1＋\r(2)3)＋eq \r(4,1－\r(2)4)；


(4) eq \r(4,2x＋y4).


[解] (1) eq \r(3,－43)＝－4.


(2) eq \r(6,3－π6)＝|3－π|＝π－3.


(3) eq \r(3,1＋\r(2)3)＋eq \r(4,1－\r(2)4)＝(1＋eq \r(2))＋(eq \r(2)－1)＝2eq \r(2).


(4) eq \r(4,2x＋y4)＝|2x＋y|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y，y≥－2x，,－2x－y，y<－2x.))


题型三 有限制条件的根式化简


【典例3】 设x∈[1,2]，化简(eq \r(4,x－1))4＋eq \r(6,x2－4x＋43).


[思路导引] 借助根式的性质去掉根号并化简．


[解] (eq \r(4,x－1))4＋eq \r(6,x2－4x＋43)


＝(eq \r(4,x－1))4＋eq \r(6,x－26)


∵1≤x≤2，∴x－1≥0，x－2≤0.


∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝(x－1)＋(2－x)＝1.


[变式] 若本例中的“x∈[1,2]”改为“x∈[2,3]”，其他条件不变，化简求值．


[解] (eq \r(4,x－1))4＋eq \r(6,x2－4x＋43)＝(eq \r(4,x－1))4＋eq \r(6,x－26)


∵2≤x≤3，∴x－1>0，x－2≥0，


∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝x－1＋x－2＝2x－3.





有限制条件根式的化简策略


(1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．


(2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．


[针对训练]


4．若n

A．2mB．2n


C．－2mD．－2n


[解析] 原式＝eq \r(m＋n2)－eq \r(m－n2)＝|m＋n|－|m－n|，∵n0，∴原式＝－(m＋n)－(m－n)＝－2m.


[答案] C


5．设－2

[解] 原式＝eq \r(x－12)－eq \r(x＋22)＝|x－1|－|x＋2|，


∵－2

∴当－2

原式＝－(x－1)－(x＋2)＝－2x－1，


当1≤x<2时，原式＝x－1－(x＋2)＝－3，


∴原式＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x－1，－2




课堂归纳小结


1．一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数或偶数这两种情况．n为奇数时，n次方根只有一个；n为偶数时，正数的n次方根有两个，负数没有偶次方根.


2.掌握两个公式：(1)(eq \r(n,a))n＝a；(2)n为奇数，eq \r(n,an)＝a，n为偶数，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a<0.))











1．以下说法正确的是( )


A．正数的n次方根是正数


B．负数的n次方根是负数


C．0的n次方根是0(n∈N*)


D．a的n次方根是eq \r(n,a)


[解析] 当n为偶数时，正数的n次方根为一正一负，故A错误；当n为偶数时，负数的n次方根无意义，故B错误；当n∈N*时，0的n次方根为0，故C正确；当n为偶数，a<0时，eq \r(n,a)无意义，故D错误．


[答案] C


2．81的4次方根是( )


A．2B．±2


C．3D．±3


[解析] ∵(±3)4＝81，∴81的4次方根为±3.


[答案] D


3．下列各式正确的是( )


A.eq \r(6,－32)＝eq \r(3,－3) B.eq \r(4,a4)＝a


C.eq \r(6,22)＝eq \r(3,2)D．a0＝1


[解析] eq \r(6,－32)＝eq \r(6,32)＝eq \r(3,3)，eq \r(4,a4)＝|a|，a0＝1，条件为a≠0.故A、B、D错．


[答案] C


4．已知 eq \r(4a＋12)＝－4a－1，则实数a的取值范围是________．


[解析] ∵eq \r(4a＋12)＝|4a＋1|＝－4a－1，


∴4a＋1≤0，∴a≤－eq \f(1,4).


[答案] eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,4)))


5．已知eq \r(4,a4)＋eq \r(4,b4)＝－a－b，求eq \r(4,a＋b4)＋eq \r(3,a＋b3)的值．


[解] 因为eq \r(4,a4)＋eq \r(4,b4)＝－a－b.


所以eq \r(4,a4)＝－a，eq \r(4,b4)＝－b，


所以a≤0，b≤0，所以a＋b≤0，


所以原式＝|a＋b|＋a＋b＝－(a＋b)＋a＋b＝0.


课后作业(二十五)


复习巩固


一、选择题


1．已知x5＝6，则x等于( )


A.eq \r(6) B.eq \r(5,6)


C．－eq \r(5,6)D．±eq \r(5,6)


[解析] 由x5＝6可知x＝eq \r(5,6).


[答案] B


2．下列各式正确的是( )


A.eq \r(－32)＝－3 B.eq \r(a2)＝a


C.eq \r(22)＝2 D.eq \r(3,－23)＝2


[解析] 由于eq \r(－32)＝3，eq \r(a2)＝|a|, eq \r(3,－23)＝－2，故A、B、D错误．


[答案] C


3.eq \r(a－b2)＋eq \r(5,a－b5)的值是( )


A．0B．2(a－b)


C．0或2(a－b)D．a－b


[解析] 若a≥b，则原式＝a－b＋a－b＝2(a－b)，


若a

[答案] C


4．若2

A．5－2aB．2a－5


C．1D．－1


[解析] 由于20，


所以原式＝a－2＋3－a＝1.故选C.


[答案] C


5．当eq \r(2－x)有意义时，化简eq \r(x2－4x＋4)－eq \r(x2－6x＋9)的结果为( )


A．2x－5B．－2x－1


C．－1D．5－2x


[解析] 由eq \r(2－x)有意义得x≤2.所以eq \r(x2－4x＋4)－eq \r(x2－6x＋9)＝|x－2|－|x－3|＝(2－x)－(3－x)＝－1.


[答案] C


二、填空题


6．若x≠0，则|x|－eq \r(x2)＋eq \f(\r(x2),|x|)＝________.


[解析] ∵x≠0，∴原式＝|x|－|x|＋eq \f(|x|,|x|)＝1.


[答案] 1


7．化简： eq \r(b－2\r(b)－1)(1

[解析] 原式＝eq \r(\r(b)－12)＝eq \r(b)－1(1

[答案] eq \r(b)－1


8．若 eq \r(2a－12)＝eq \r(3,1－2a3)，则实数a的取值范围为________．


[解析] eq \r(2a－12)＝|2a－1|，eq \r(3,1－2a3)＝1－2a.


因为|2a－1|＝1－2a，故2a－1≤0，所以a≤eq \f(1,2).


[答案] eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))


三、解答题


9．化简：


(1) eq \r(e＋e－12－4)＋eq \r(e－e－12＋4)(e≈2.7)；


(2) eq \r(x－22)＋eq \r(6,x＋26).


[解] (1)原式＝eq \r(e2＋2＋e－2－4)＋eq \r(e2－2＋e－2＋4)


＝eq \r(e－e－12)＋eq \r(e＋e－12)


＝e－e－1＋e＋e－1


＝2e≈5.4.


(2)原式＝|x－2|＋|x＋2|.


当x≤－2时，原式＝(2－x)＋[－(x＋2)]＝－2x；


当－2

当x≥2时，原式＝(x－2)＋(x＋2)＝2x.


综上，原式＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x，x≤－2，,4，－2

10．已知a1，n∈N*，化简eq \r(n,a－bn)＋eq \r(n,a＋bn).


[解] ∵a

当n是奇数时，原式＝(a－b)＋(a＋b)＝2a；


当n是偶数时，原式＝|a－b|＋|a＋b|＝(b－a)＋(－a－b)＝－2a.


∴eq \r(n,a－bn)＋eq \r(n,a＋bn)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a，n为奇数，,－2a，n为偶数.))


综合运用


11．下列式子中成立的是( )


A．aeq \r(－a)＝eq \r(－a3)B．aeq \r(－a)＝－eq \r(a3)


C．aeq \r(－a)＝－eq \r(－a3)D．aeq \r(－a)＝eq \r(a3)


[解析] 要使aeq \r(－a)有意义，则a≤0，故aeq \r(－a)＝－(－a)eq \r(－a)＝－eq \r(－a2－a)＝－eq \r(－a3)，故选C.


[答案] C


12.eq \r(7＋4\r(3))＋eq \r(7－4\r(3))等于( )


A．－4B．2eq \r(3)


C．－2eq \r(3)D．4


[解析] eq \r(7＋4\r(3))＋eq \r(7－4\r(3))＝eq \r(2＋\r(3)2)＋eq \r(2－\r(3)2)＝(2＋eq \r(3))＋(2－eq \r(3))＝4.


[答案] D


13．化简(eq \r(a－1))2＋eq \r(1－a2)＋eq \r(3,1－a3)的结果是( )


A．1－aB．2(1－a)


C．a－1D．2(a－1)


[解析] ∵eq \r(a－1)有意义，∴a－1≥0，即a≥1.


∴(eq \r(a－1))2＋eq \r(1－a2)＋eq \r(3,1－a3)＝(a－1)＋|1－a|＋(1－a)＝(a－1)＋(a－1)＋(1－a)＝a－1，故选C.


[答案] C


14．设f(x)＝eq \r(x2－4)，若0

[解析] feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))2－4)＝eq \r(a2＋\f(1,a2)－2)


＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,a)))2)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,a))).


由于0

[答案] eq \f(1,a)－a


15．求使等式eq \r(a－3a2－9)＝(3－a)eq \r(a＋3)成立的实数a的取值范围．


[解] ∵eq \r(a－3a2－9)


＝eq \r(a－3a－3a＋3)


＝eq \r(a－32a＋3)＝|a－3|eq \r(a＋3).


∴要使等式eq \r(a－3a2－9)＝(3－a)·eq \r(a＋3)成立，


必须有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|a－3|＝3－a，,a＋3≥0，))


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－a≥0，,a＋3≥0，))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤3，,a≥－3，))⇒－3≤a≤3.


故a的取值范围是[－3,3]．