人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数一等奖第1课时教案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数一等奖第1课时教案，共14页。

第1课时 对数函数及其图象








1．理解对数函数的概念．


2．掌握对数函数的图象和简单性质．


3．了解对数函数在生产实际中的简单应用．





1．对数函数的概念


函数y＝lgax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．


温馨提示：(1)对数函数y＝lgax是由指数函数y＝ax反解后将x、y互换得到的．


(2)无论是指数函数还是对数函数，都有其底数a>0且a≠1.


2．对数函数的图象及性质








温馨提示：底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0

3．当底数不同时对数函数图象的变化规律


作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得b>a>1>d>c>0.








1．作出函数y＝lg2x和y＝lgeq \f(1,2)x的图象如下：





(1)函数y＝lg2x的定义域、值域、函数值的情况及单调性如何？


(2)函数y＝的定义域、值域、函数值的情况及单调性如何？


(3)若将函数y＝lg2x与y＝的图象画在同一坐标系中，其图象有什么关系？


[答案] (1)定义域为(0，＋∞)，值域为R，在(0，＋∞)上是增函数


(2)定义域为(0，＋∞)，值域为R，在(0，＋∞)上是减函数


(3)关于x轴对称


2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)对数函数的定义域为R.( )


(2)y＝lg2x2与lgx3都不是对数函数．( )


(3)对数函数的图象一定在y轴的右侧．( )


(4)对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)，在定义域上是增函数．( )


[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×








题型一 对数函数的概念


【典例1】 指出下列函数哪些是对数函数？


(1)y＝3lg2x；(2)y＝lg6x；


(3)y＝lgx3；(4)y＝lg2x＋1.


[思路导引] 紧扣对数函数的定义判断．


[解] (1)lg2x的系数是3，不是1，不是对数函数．


(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．


(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．


(4)对数式lg2x后又加1，不是对数函数．











依据3个形式特点判断对数函数


判断一个函数是对数函数必须是形如y＝lgax(a>0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：


(1)系数为1.


(2)底数为大于0且不等于1的常数．


(3)对数的真数仅有自变量x.





[针对训练]


1．若对数函数y＝f(x)满足f(4)＝2，则该对数函数的解析式为( )


A．y＝lg2xB．y＝2lg4x


C．y＝lg2x或y＝2lg4xD．不确定


[解析] 设对数函数的解析式为y＝lgax(a>0，且a≠1)，由题意可知lga4＝2，


∴a2＝4，∴a＝2.


∴该对数函数的解析式为y＝lg2x.


[答案] A


题型二 对数型函数的定义域


【典例2】 求下列函数的定义域．


(1)y＝eq \r(3,lg2x)；(2)y＝eq \r(lg0.54x－3)；


(3)y＝eq \r(lg0.54x－3－1)；(4)y＝lg(x＋1)(2－x)．


[解] (1)定义域为(0，＋∞)．


(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－3>0，,4x－3≤1，))解得eq \f(3,4)

∴定义域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1)).


(3)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－3>0，,4x－3≤\f(1,2)，))解得eq \f(3,4)

∴定义域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，\f(7,8))).


(4)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1>0，,x＋1≠1，,2－x>0，))解得－1

∴定义域为(－1,0)∪(0,2)．














求对数函数定义域的注意事项


求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1.





[针对训练]


2．求下列函数的定义域．


(1)y＝eq \f(\r(lg0.4x－1),2x－1)；(2)y＝eq \f(1,\r(lg0.5x－1))；


(3)y＝eq \r(lga4x－3)(a>0且a≠1)．


[解] (1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1>0，,lg0.4x－1≥0，,2x－1≠0，))解得1

∴定义域为{x|1

(2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1>0，,lg0.5x－1>0，))解得1

∴定义域为{x|1

(3)当0

当a>1时，4x－3≥1⇒x≥1，∴定义域为{x|x≥1}.


题型三 对数函数的图象


【典例3】 (1)已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝


lga(－x)的图象只能是( )





(2)函数y＝lga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．


[思路导引] 利用对数函数的图象特征求解．


[解析] (1)解法一：若01，则函数y＝ax的图象上升且过点(0,1)，而函数y＝lga(－x)的图象下降且过点(－1,0)，只有B中图象符合．


解法二：首先指数函数y＝ax的图象只可能在上半平面，函数y＝lga(－x)的图象只可能在左半平面，从而排除A、C；再看单调性，y＝ax与y＝lga(－x)的单调性正好相反，排除D.只有B中图象符合．


(2)因为函数y＝lgax (a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x＋1＝1得x＝0，此时y＝lga(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝lga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2)．


[答案] (1)B (2)(0，－2)


[变式] 若本例(2)的函数改为“y＝lgaeq \f(2x＋1,x－1)＋2”，则图象恒过定点坐标是________．


[解析] 令eq \f(2x＋1,x－1)＝1，得x＝－2，此时y＝2，


∴函数y＝lgaeq \f(2x＋1,x－1)＋2过定点(－2,2)．


[答案] (－2,2)











处理对数函数图象问题的3个注意点


(1)明确图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．


(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a>1，还是0

(3)牢记特殊点．对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象经过点：(1,0)，(a,1)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，－1)).





[针对训练]


3．函数y＝lg(x＋1)的图象大致是( )





[解析] 由底数大于1可排除A、B，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lgx的图象向左平移1个单位．(或令x＝0得y＝0，而且函数为增函数)


[答案] C


4.如图，若C1，C2分别为函数y＝lgax和y＝lgbx的图象，则( )





A．0

B．0

C．a>b>1


D．b>a>1








[解析] 作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0

[答案] B














1．对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为( )





[解析] 设对数函数为y＝lgax(a>0，且a≠1)，由于对数函数的图象过点M(16,4)，所以4＝lga16，得a＝2.所以对数函数的解析式为y＝lg2x，故选D.


[答案] D


2．若f(x)＝，则f(x)的定义域为( )


A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))∪(0，＋∞)


C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2))


[解析] 根据题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1>0，,2x＋1≠1，))解得x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))∪(0，＋∞)．故选B.


[答案] B


3．若函数f(x)是定义在R上的奇函数，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝1，当x<0时，f(x)＝lg2(－x)＋m，则实数m＝( )





A．－1B．0


C．1D．2


[解析] ∵f(x)是定义在R上的奇函数，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝1，且x<0时，f(x)＝lg2(－x)＋m，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＝lg2eq \f(1,4)＋m＝－2＋m＝－1，∴m＝1.故选C.


[答案] C


4．已知函数y＝lga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．


[解析] y＝lgax的图象恒过点(1,0)，令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1.


[答案] (4，－1)


5．已知f(x)＝lga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．





[解] 因为f(－5)＝1，所以lga5＝1，即a＝5，故f(x)＝lg5|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg5x，x>0，,lg5－x，x<0.))


所以函数y＝lg5|x|的图象如下图所示．


课后作业(三十一)


复习巩固


一、选择题


1．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋lg22－x，x<1，,2x－1，x≥1，))则f(－2)＋f(lg212)＝( )


A．3B．6


C．9D．12


[解析] 由于f(－2)＝1＋lg24＝3，f(lg212)＝＝6，所以f(－2)＋f(lg212)＝9.故选C.


[答案] C


2．函数y＝lga(3x－2)(a>0，a≠1)的图象过定点( )


A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)))B．(1,0)


C．(0,1) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，0))


[解析] 根据对数函数过定点(1,0)，令3x－2＝1，得x＝1，∴过定点(1,0)．


[答案] B


3．函数f(x)＝lg2(x2＋8)的值域为( )


A．RB．[0，＋∞)


C．[3，＋∞)D．(－∞，3]


[解析] 设t＝x2＋8，则t≥8，又函数y＝lg2t在(0，＋∞)上为增函数，所以f(x)≥lg28＝3.故选C.


[答案] C





4．已知m，n∈R，函数f(x)＝m＋lgnx的图象如右图，则m，n的取值范围分别是( )


A．m>0,0

C．m>0，n>1 D．m<0，n>1


[解析] 由图象知函数为增函数，故n>1.


又当x＝1时，f(x)＝m>0，故m>0.


[答案] C


5．已知函数f(x)＝alg2x＋blg3x＋2，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2019)))＝4，则f(2019)的值为( )


A．－4B．－2


C．0D．2


[解析] f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝alg2x＋blg3x＋2＋alg2eq \f(1,x)＋blg3eq \f(1,x)＋2＝4，所以f(2019)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2019)))＝4，又因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2019)))＝4，所以f(2019)＝0.


[答案] C


二、填空题


6．函数f(x)＝eq \r(1－2lg5x)的定义域为________．


[解析] 由1－2lg5x≥0，得lg5x≤eq \f(1,2)，故0

[答案] (0，eq \r(5)]


7．函数f(x)＝lga(x＋2)＋3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点________．


[解析] 令x＋2＝1，解得x＝－1.因为f(－1)＝3，所以f(x)的图象恒过定点(－1,3)．


[答案] (－1,3)


8．若f(x)是对数函数且f(9)＝2，当x∈[1,3]时，f(x)的值域是________．


[解析] 设f(x)＝lgax，因为lga9＝2，所以a＝3，即f(x)＝lg3x.又因为x∈[1,3]，所以0≤f(x)≤1.


[答案] [0,1]


三、解答题


9．若函数y＝lga(x＋a)(a>0且a≠1)的图象过点(－1,0)．


(1)求a的值；


(2)求函数的定义域．


[解] (1)将(－1,0)代入y＝lga(x＋a)(a>0，且a≠1)中，有0＝lga(－1＋a)，则－1＋a＝1，所以a＝2.


(2)由(1)知y＝lg2(x＋2)，由x＋2>0，解得x>－2，


所以函数的定义域为{x|x>－2}．


10．若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg(x＋1)，求f(x)的表达式，并画出大致图象．


[解] ∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0.


又当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，


∴f(－x)＝lg(1－x)．


又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－lg(1－x)，





∴f(x)的解析式为f(x)


＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lgx＋1，x>0，,0，x＝0，,－lg1－x，x<0.))


f(x)的大致图象如图所示．


综合运用


11．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x，x≤0，,lg2x，x>0，))那么feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))))的值为( )


A．27 B.eq \f(1,27) C．－27 D．－eq \f(1,27)


[解析] feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))＝lg2eq \f(1,8)＝lg22－3＝－3，


feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))))＝f(－3)＝3－3＝eq \f(1,27).


[答案] B


12．下列函数中，值域是[0，＋∞)的是( )


A．f(x)＝lg2(x－1)B．f(x)＝eq \r(lg2x－1)


C．f(x)＝lg2(x2＋2)D．f(x)＝lg2eq \r(x－1)


[解析] A、D中因为真数大于0，故值域为R，C中因为x2＋2≥2，故f(x)≥1.只有B中lg2(x－1)≥0，f(x)的值域为[0，＋∞)．


[答案] B


13．若函数f(x)＝lga(x＋b)的图象如图，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是( )








[解析] 由函数f(x)＝lga(x＋b)的图象可知，函数f(x)＝lga(x＋b)在(－b，＋∞)上是减函数．


∴0

[答案] D


14．设函数f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)，若f(x1x2…x2019)＝8，则f(xeq \\al(2,1))＋f(xeq \\al(2,2))＋f(xeq \\al(2,3))＋…＋f(xeq \\al(2,2019))的值等于________．


[解析] ∵f(xeq \\al(2,1))＋f(xeq \\al(2,2))＋f(xeq \\al(2,3))＋…＋f(xeq \\al(2,2019))


＝lgaxeq \\al(2,1)＋lgaxeq \\al(2,2)＋lgaxeq \\al(2,3)＋…＋lgaxeq \\al(2,2019)


＝lga(x1x2x3…x2019)2


＝2lga(x1x2x3…x2019)


＝2f(x1x2x3…x2019)，


∴原式＝2×8＝16.


[答案] 16


15．已知函数f(x)＝的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，m))，值域为[0,1]，则m的取值范围为________．


[解析]





作出f(x)＝的图象(如图)可知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝f(2)＝1，f(1)＝0，由题意结合图象知：1≤m≤2.


[答案] [1,2]


16．已知函数f(x)＝lga(x－1)的图象过点(3,1)．


(1)求函数f(x)的解析式；


(2)若f(m)≤f(2)，求m的取值集合．


[解] (1)由函数f(x)＝lga(x－1)的图象过点(3,1)，得a＝2.所以函数解析式为f(x)＝lg2(x－1)．


(2)若f(m)≤f(2)，由f(x)在(1，＋∞)上单调递增，得1

所以m的取值集合为{m|1