人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数优质第1课时教学设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数优质第1课时教学设计，共14页。

第1课时 指数函数及其图象性质








1．通过实例理解指数函数的概念，了解指数函数在生活中的应用．


2．掌握指数函数图象和性质．


3．会应用指数函数的性质求函数的定义域、值域．





1．指数函数的定义


一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.


温馨提示：指数函数解析式的3个特征：


(1)底数a为大于0且不等于1的常数．


(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.


(3)ax的系数是1.


2．指数函数的图象和性质





温馨提示：(1)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a>1时，指数函数的图象是“上升”的；当0

(2)指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象恒过点(0,1)，(1，a)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a)))，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的大致图象．





1．观察下列从数集A到数集B的对应：


①A＝R，B＝R，f：x→y＝2x；


②A＝R，B＝(0，＋∞)，f：x→y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x.


(1)这两个对应能构成函数吗？


(2)这两个函数有什么特点？


[答案] (1)能 (2)底数为常数，指数为自变量


2．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象与y＝2x的图象有何关系？


[答案] 关于y轴对称


3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)y＝x2是指数函数．( )


(2)指数函数的图象位于x轴的上方．( )


(3)函数y＝ax－1的图象过定点(0，－1)．( )


(4)函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x的值域是[0，＋∞)．( )


[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×





题型一 指数函数的概念


【典例1】 (1)下列函数：


①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.


其中，指数函数的个数是( )


A．0B．1


C．2D．3


(2)函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则( )


A．a＝1或a＝3B．a＝1


C．a＝3D．a>0且a≠1


[思路导引] 形如“y＝ax(a>0，且a≠1)”的函数为指数函数．


[解析] (1)形如“y＝ax(a>0，且a≠1)”的函数为指数函数，只有③符合，选B.


(2)由指数函数的概念可知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－22＝1，,a>0，,a≠1，))得a＝3.


[答案] (1)B (2)C





判断一个函数是指数函数的方法


(1)看形式：只需判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征．


(2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数．


[针对训练]


1．函数f(x)＝(m2－m＋1)ax(a>0，且a≠1)是指数函数，则m＝________.


[解析] ∵函数f(x)＝(m2－m＋1)ax是指数函数，


∴m2－m＋1＝1，解得m＝0或1.


[答案] 0或1


2．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝9，则f(－2)＝________，f(1)＝________.


[解析] 设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，


∵f(2)＝9，


∴a2＝9，a＝3，即f(x)＝3x.


∴f(－2)＝3－2＝eq \f(1,9)，f(1)＝3.


[答案] eq \f(1,9) 3


题型二 指数函数的图象


【典例2】 (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )





A．a>1，b<0 B．a>1，b>0


C．00 D．0

(2)函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．


[解析] (1)从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有00，即b<0.


(2)因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝ax－3＋3的图象过定点(3,4)．


[答案] (1)D (2)(3,4)





处理指数函数图象问题的3个策略


(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．


(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．


(3)利用函数的奇偶性与单调性：奇偶性确定函数图象的对称情况，单调性决定函数图象的走势．


[针对训练]


3．函数y＝2－|x|的大致图象是( )





[解析] y＝2－|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x≥0.,2x，x<0，))画出图象，可知选C.


[答案] C


4．函数y＝2ax＋3＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点________．


[解析] 令x＋3＝0得x＝－3，


此时y＝2a0＋2＝2＋2＝4.


即函数y＝2ax＋3＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点(－3,4)．


[答案] (－3,4)


题型三 指数函数的定义域与值域


【典例3】 求下列函数的定义域和值域：





[思路导引] 利用整体换元的方法求解．


[解] (1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，


因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，


故函数y＝eq \r(1－3x)的定义域为(－∞，0]．


因为x≤0，所以0<3x≤1，


所以0≤1－3x<1，


所以eq \r(1－3x)∈[0,1)，


即函数y＝eq \r(1－3x)的值域为[0,1)．

















“y＝af(x)”型函数定义域、值域的求法


(1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围，即函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．


(2)值域问题，应分以下两步求解：


①由定义域求出u＝f(x)的值域；


②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域．


[针对训练]


5．求下列函数的定义域、值域：


(1)y＝3eq \r(5x－1)；(2)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x2－2x－3.


[解] (1)由5x－1≥0，得x≥eq \f(1,5)，


所以所求函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≥\f(1,5))).


由eq \r(5x－1)≥0，得y≥1，


所以所求函数的值域为[1，＋∞)．


(2)定义域为R.


∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，


∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x2－2x－3≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－4＝16.


又∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x2－2x－3>0，


∴函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x2－2x－3的值域为(0,16]．





课堂归纳小结


1．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.


2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的性质分底数a>1,0

3．由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域为R，即x


∈R，所以函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)与函数f(x)的定义域相同．


4．求函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的值域的方法如下：


(1)换元，令t＝f(x)，并求出函数t＝f(x)的定义域；


(2)求t＝f(x)的值域t∈M；


(3)利用y＝at的单调性求y＝at在t∈M上的值域.











1．下列各函数中，是指数函数的是( )


A．y＝(－3)xB．y＝－3x


C．y＝3x－1D．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x


[解析] 由指数函数的定义知a>0且a≠1，故选D.


[答案] D


2．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))x的图象可能是( )





[解析] 0

[答案] C


3．y＝2x，x∈[1，＋∞)的值域是( )


A．[1，＋∞)B．[2，＋∞)


C．[0，＋∞)D．(0，＋∞)


[解析] y＝2x在R上是增函数，且21＝2，故选B.


[答案] B


4．指数函数f(x)＝ax的图象经过点(2,4)，则f(－3)的值是________．


[解析] 由题意知4＝a2，所以a＝2，因此f(x)＝2x，故f(－3)＝2－3＝eq \f(1,8).


[答案] eq \f(1,8)


5．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x2－1的值域是________．


[解析] ∵x2－1≥－1，


∴y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x2－1≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－1＝2，又y>0，


∴函数值域为(0,2]．


[答案] (0,2]


课后作业(二十七)


复习巩固


一、选择题


1．下列函数中，指数函数的个数为( )


①y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－1；②y＝ax(a>0，且a≠1)；③y＝1x；④y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2x－1.


A．0个B．1个


C．3个D．4个


[解析] 由指数函数的定义可判定，只有②正确．


[答案] B


2．函数y＝eq \r(2x－1)的定义域是( )


A．(－∞，0)B．(－∞，0]


C．[0，＋∞)D．(0，＋∞)


[解析] 由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0.


[答案] C


3．当a>0，且a≠1时，函数f(x)＝ax＋1－1的图象一定过点( )


A．(0,1)B．(0，－1)


C．(－1,0)D．(1,0)


[解析] 当x＝－1时，显然f(x)＝0，因此图象必过点(－1,0)．


[答案] C


4．函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图象大致是( )





[解析] 当a>1时，函数f(x)＝ax单调递增，当x＝0时，g(0)＝a>1，此时两函数的图象大致为选项A.


[答案] A


5．若函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )


A．00B．a>1，且b>0


C．01，且b<0


[解析] 函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象是由函数y＝ax的图象经过向上或向下平移而得到的，因其图象不经过第一象限，所以a∈(0,1)．若经过第二、三、四象限，则需将函数y＝ax(0

[答案] C


二、填空题


6．若函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，则a＝________.


[解析] 由指数函数的定义得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－2a＋2＝1，,a＋1>0，,a＋1≠1，))解得a＝1.


[答案] 1


7．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f(－2)的值为________．


[解析] 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1＋b＝5，,a0＋b＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2)，,b＝3，))


所以f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋3，所以f(－2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－2＋3＝4＋3＝7.


[答案] 7


8．若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x<0，,－2－x，x>0，))则函数f(x)的值域是________．


[解析] 由x<0，得0<2x<1；由x>0，∴－x<0,0<2－x<1，∴－1<－2－x<0，∴函数f(x)的值域为(－1,0)∪(0,1)．


[答案] (－1,0)∪(0,1)


三、解答题


9．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))，其中a>0且a≠1.


(1)求a的值；


(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．


[解] (1)∵f(x)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))，


∴a2－1＝eq \f(1,2)，则a＝eq \f(1,2).


(2)由(1)知，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－1，x≥0.


由x≥0，得x－1≥－1，


于是0

所以函数y＝f(x)(x≥0)的值域为(0,2]．








(2)令u＝x2－2x＋2，则y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))u，


又u＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，∵0≤x≤3，


∴当x＝1时，umin＝1，当x＝3时，umax＝5.


故1≤u≤5，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))5≤y≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1，


故所求函数的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,32)，\f(1,2))).


综合运用


11．下列函数值域为(0，＋∞)的是( )


A．y＝4eq \f(1,2－x)B．y＝eq \r(1－2x)


C．y＝eq \r(3x－1)D．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))1－x


[解析] ∵1－x∈R，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))1－x∈(0，＋∞)，故选D.


[答案] D


12．已知0




[解析] 由于0

[答案] C


13．若定义运算a⊙b＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a

[解析] 当x>0时，3x>3－x, f(x)＝3－x，f(x)∈(0,1)；当x＝0时，f(x)＝3x＝3－x＝1；当x<0时，3x<3－x，f(x)＝3x，f(x)∈(0,1)．综上， f(x)的值域是(0,1]．


[答案] (0,1]


14．方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．


[解析] 作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a与图象的交点只有一个，∴a≥1或a＝0.








[答案] [1，＋∞)∪{0}


15．已知－1≤x≤2，求函数f(x)＝3＋2×3x＋1－9x的最大值和最小值．


[解] 设t＝3x，∵－1≤x≤2，∴eq \f(1,3)≤t≤9，则f(x)＝g(t)＝－(t－3)2＋12，故当t＝3，即x＝1时，f(x)取得最大值12；当t＝9，即x＝2时，f(x)取得最小值－24.