高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数优质教学设计

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1．尝试将实际问题转化为函数模型．


2．了解指数函数、对数函数及一次函数等函数模型的增长差异．


3．会根据函数的增长差异选择函数模型．





1．指数函数、对数函数、一次函数的性质








2.指数函数、对数函数、一次函数的增长差异


(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝lgax(a>1)和y＝kx(k>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个“档次”上．


(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a>1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，而y＝lgax(a>1)的增长速度则会越来越慢．


(3)存在一个x0，使得当x>x0时，有lgax1，k>0)．





1．已知函数f(x)＝2x，g(x)＝2x，h(x)＝lg2x.


(1)函数f(x)，g(x)，h(x)随着x的增大，函数值有什么共同的变化趋势？


(2)函数f(x)，g(x)，h(x)增长的速度有什么不同？


[答案] (1)函数f(x)，g(x)，h(x)随着x的增大，函数值增大


(2)各函数增长的速度不同，其中f(x)＝2x增长得最快，其次是g(x)＝2x，最慢的是h(x)＝lg2x


2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)函数y＝3x比y＝2x增长的速度更快些．( )


(2)当x>100时，函数y＝10x－1比y＝lgx增长的速度快．( )


(3)能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a>0，b>1)表达的函数模型，称为指数型函数模型，也常称为“爆炸型”函数．( )


(4)当a>1，k>0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有lgax

[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×





题型一 不同函数增长的差异


【典例1】 (1)当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )


A．y＝10000xB．y＝lg2x


C．y＝x1000D．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(e,2)))x


(2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：





关于x呈指数函数变化的变量是________．


[思路导引] 借助指数函数、对数函数、一次函数的增长差异作出判断．


[解析] (1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(e,2)))x增长速度最快．


(2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化．


[答案] (1)D (2)y2














常见的函数模型及增长特点


(1)线性函数模型


线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．


(2)指数函数模型


指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．


(3)对数函数模型


对数函数模型y＝lgax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．


(4)幂函数模型


幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．





[针对训练]


1．下列函数中，增长速度最慢的是( )


A．y＝6xB．y＝lg6x


C．y＝x6D．y＝6x


[解析] 对数函数的增长速度越来越慢．选B.


[答案] B


2．有一组数据如下表：


现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( )


A．v＝lg2t


C．v＝eq \f(t2－1,2)D．v＝2t－2


[解析] 从表格中看到此函数为单调增函数，排除B，增长速度越来越快，排除A和D，选C.


[答案] C


函数模型的选择问题


【典例2】 芦荟是一种经济作物，可以入药，有美容、保健的功效．某人准备栽培并销售芦荟，为了解行情，进行市场调研．从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/千克)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：


(1)根据表中数据，从下列选项中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数式：


①Q＝at＋b，②Q＝at2＋bt＋c，③Q＝a·bt，④Q＝algbt；


(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市时间及最低种植成本．


[思路导引] 要选择最能反映芦荟种植成本与上市时间之间的变化关系的函数式，应该分析各函数的变化情况，通过研究这些函数的变化趋势与表格提供的实际数据是否相符来判断哪个函数是最优函数模型．


[解] (1)由表中所提供的数据可知，反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，故用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝algbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，而上面三个函数均为单调函数，这与表格提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．将表格所提供的三组数据分别代入函数Q＝at2＋bt＋c，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(15.0＝2500a＋50b＋c，,10.8＝12100a＋110b＋c，,15.0＝62500a＋250b＋c，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2000)，,b＝－\f(3,20)，,c＝\f(85,4).))所以反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q＝eq \f(1,2000)t2－eq \f(3,20)t＋eq \f(85,4).故选②.


(2)当t＝150(天)时，芦荟种植成本最低，为Q＝eq \f(1,2000)×1502－eq \f(3,20)×150＋eq \f(85,4)＝10(元/千克)．











不同函数模型的选取标准


(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律．


(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律．


(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律．


(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．





[针对训练]


3．某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝lg5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？


[解] 作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝lg5x，y＝1.02x的图象(如下图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝lg5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝lg5x进行奖励才符合学校的要求．





题型三 指数函数、对数函数与幂函数模型的比较


【典例3】 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1

(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数．


(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)的大小．





[思路导引] 利用指数函数和幂函数的图象和性质进行判断．


[解] (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.


(2)因为f(1)>g(1)，f(2)g(10)，所以1

由图可知g(6)>f(6)．


[变式] 若本例条件不变，(2)中结论改为“试结合图象，判断f(8)，g(8)，f(2019)，g(2019)的大小”，如何求解？


[解] 因为f(1)>g(1)，f(2)g(10)，所以1x2，从图象上可以看出，当x1x2时，f(x)>g(x)，所以f(2019)>g(2019)．又因为g(2019)>g(8)，所以f(2019)>g(2019)>g(8)>f(8)．














由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法


根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．





[针对训练]


4．当2

A．2x>x2>lg2xB．x2>2x>lg2x


C．2x>lg2x>x2D．x2>lg2x>2x


[解析] 解法一：在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝lg2x，y＝x2，y＝2x，在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝lg2x的图象，所以x2>2x>lg2x.


解法二：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，经检验易知选B.


[答案] B


5．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是( )





[解析] 设该林区的森林原有蓄积量为a，


由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝lg1.104x(x≥1)，


∴y＝f(x)的图象大致为D中图象．


[答案] D


课堂归纳小结


1．四类不同增长的函数模型


(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．


(2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型．


(3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型．


(4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型.


2.函数模型的应用


(1)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论．


(2)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题.





1．下图反映的是下列哪类函数的增长趋势( )





A．一次函数B．幂函数


C．对数函数D．指数函数


[解析] 从图象可以看出这个函数的增长速率越来越慢，反映的是对数函数的增长趋势．


[答案] C


2．四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝lg2x，f4(x)＝2x.如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是( )


A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝2x


C．f3(x)＝lg2xD．f4(x)＝2x


[解析] 由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大，故选D.


[答案] D


3．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足( )


A．y＝a(1＋5%x)B．y＝a＋5%x


C．y＝a(1＋5%)x－1D．y＝a(1＋5%)x


[解析] 经过1年，y＝a(1＋5%)，经过2年，y＝a(1＋5%)2，…，经过x年，y＝a(1＋5%)x.


[答案] D


4．某种病菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知这种病菌的繁殖规律为y＝ekt(k为常数，t为时间，单位：小时)，y表示病菌个数，则k＝________，经过5小时，1个病菌能繁殖为________个．


[解析] 设病菌原来有1个，则半小时后为2个，得2＝，解得k＝2ln2，y(5)＝e(2ln2)·5＝e10ln2＝210＝1024(个)．


[答案] 2ln2 1024


5．某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，如果只能购买一种债券，你认为应购买哪种？


[解] A种债券的收益是每100元一年到期收益3元；B种债券的半年利率为eq \f(51.4－50,50)，所以100元一年到期的本息和为100eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(51.4－50,50)))2≈105.68(元)，收益为5.68元；C种债券的利率为eq \f(100－97,97)，100元一年到期的本息和为100eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(100－97,97)))≈103.09(元)，收益为3.09元．通过以上分析，购买B种债券．


课后作业(三十三)


复习巩固


一、选择题


1．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：


则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近(其中a，b为待定系数)( )


A．y＝a＋bxB．y＝a＋bx


C．y＝ax2＋bD．y＝a＋eq \f(b,x)


[解析] 在坐标系中描出各点，可知函数y＝a＋bx更接近．


[答案] B


2．甲从A地到B地，途中前一半路程的行驶速度是v1，后一半路程的行驶速度是v2(v1




[解析] ∵v1

[答案] B


3．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设2016年的湖水量为m，从2016年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为( )





[答案] C


4．下面对函数f(x)＝在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法正确的是( )


A．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快，h(x)的衰减速度越来越慢


B．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢，h(x)的衰减速度越来越快


C．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢，h(x)的衰减速度越来越慢


D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快，h(x)的衰减速度越来越快


[解析]





函数f(x)＝，g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x与h(x)＝在区间(0，＋∞)上的大致图象如右图所示．


观察图象，可知函数f(x)的图象在区间(0,1)上衰减较快，但衰减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上衰减较慢，且衰减速度越来越慢．同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上衰减较慢，且衰减速度越来越慢．函数h(x)的图象在区间(0,1)上衰减较快，但衰减速度越来越慢；在区间(1，＋∞)上衰减较慢，且衰减速度越来越慢，故选C.


[答案] C


5．下列函数关系中，可以看作是指数型函数y＝kax(k∈R，a>0且a≠1)的模型的是( )


A．竖直向上发射的信号弹，从发射开始到信号弹到达最高点，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)


B．我国人口年自然增长率为1%时，我国人口总数与年份的关系


C．如果某人t s内骑车行进了1 km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系


D．信件的邮资与其重量间的函数关系


[解析] A中的函数模型是二次函数；B中的函数模型是指数型函数；C中的函数模型是反比例函数；D中的函数模型是一次函数．故选B.


[答案] B


二、填空题


6．小明2017年用8100元买一台笔记本．电子技术的飞速发展，笔记本成本不断降低，每过一年笔记本的价格降低三分之一．三年后小明这台笔记本还值________元．


[解析] 三年后的价格为8100×eq \f(2,3)×eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝2400(元)．


[答案] 2400


7．函数y＝x2与函数y＝xlnx在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．


[解析] 当x变大时，x比lnx增长要快，∴x2要比xlnx增长得要快．


[答案] y＝x2


8.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．





以下四种说法：


①前三年产量增长的速度越来越快；


②前三年产量增长的速度越来越慢；


③第三年后这种产品停止生产；


④第三年后产量保持不变．


其中说法正确的序号是________．


[解析] 由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y＝xa(0

[答案] ②③


三、解答题


9．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施．


方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；


方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费，问：


(1)工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；


(2)若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？


[解] 设工厂每月生产x件产品时，选择方案一的利润为y1，选择方案二的利润为y2，由题意知


y1＝(50－25)x－2×0.5x－30000＝24x－30000.


y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.


(1)当x＝3000时，y1＝42000，y2＝54000，


∵y1

(2)当x＝6000时，


y1＝114000, y2＝108000，


∵y1>y2，∴应选择方案一处理污水．


10．函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图．





(1)指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数；


(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．


[解] (1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，


C2对应的函数为f(x)＝lgx.


(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；


当x∈(x1，x2)时，g(x)

当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)．


综合运用


11．三个变量y1，y2，y3，随着自变量x的变化情况如下表：


则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为 ( )


A．y1，y2，y3B．y2，y1，y3


C．y3，y2，y1D．y1，y3，y2


[解析] 通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度成倍增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x的变化符合此规律，故选C.


[答案] C


12．一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了，下列各图中能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是( )





[解析] 观察选项A中的图象，体温逐渐降低，不符合题意；选项B中的图象不能反映“下午他的体温又开始上升”这一过程；选项D中的图象不能体现“下午他的体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫了”的过程．


[答案] C


13.向高为H的水瓶内注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )








[解析]





取OH的中点(如图)E作h轴的垂线，由图知当水深h达到容量一半时，体积V大于一半．易知B符合题意．


[答案] B


14．若已知16

[解析] 作出f(x)＝xeq \f(1,2)和g(x)＝lg2x的图象，如图所示：





由图象可知，在(0,4)内，>lg2x；


x＝4或x＝16时，＝lg2x；


在(4,16)内lg2x.


[答案] >lg2x


15．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52,54,58.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型


y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y＝p·qx＋r，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数．结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66,82,115，你认为谁选择的模型较好？


[解] 依题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a·12＋b·1＋c＝52，,a·22＋b·2＋c＝54，,a·32＋b·3＋c＝58，))


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＋c＝52，,4a＋2b＋c＝54，,9a＋3b＋c＝58，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－1，,c＝52，))


所以甲：y1＝x2－x＋52，


又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(p·q1＋r＝52，,p·q2＋r＝54，,p·q3＋r＝58，))eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(①,②,③))


②－①，得p·q2－p·q1＝2，④


③－②，得p·q3－p·q2＝4，⑤


⑤÷④，得q＝2.


将q＝2代入④式，得p＝1.


将q＝2，p＝1代入①式，得r＝50，


所以乙：y2＝2x＋50.


计算当x＝4时，y1＝64，y2＝66；


当x＝5时，y1＝72，y2＝82；


当x＝6时，y1＝82，y2＝114.


可见，乙选择的模型较好．


t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.5
4.04
7.5
12
18.01
上市时间t
50
110
250
种植成本Q
15.0
10.8
15.0
x
－2.0
－1.0
0
1.00
2.00
3.00
y
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1715
3645
6655
y2
5
29
245
2189
19685
177149
y3
5
6.10
6.61
6.985
7.2
7.4