数学必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合1.1.1 集合及其表示方法精品导学案

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1.1 集合


1.1.1 集合及其表示方法








知识点1 集合及相关概念


1.把一些能够确定的、不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象组成的集合(有时简称为集)，组成集合的每个对象都是这个集合的元素.


2.集合与元素的表示：集合通常用英文大写字母A，B，C，…表示，集合的元素通常用英文小写字母a，b，c，…表示.


3.元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就记作a∈A，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，就记作a∉A，读作“a不属于A”.


4.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作∅.


5.集合元素的特点


①确定性：集合的元素必须是确定的.


②互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的.


③无序性：集合中的元素是没有顺序的.


6.集合的分类


根据集合元素个数分为两类：含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集.


空集是有限集.


[微体验]


1.思考辨析


(1)空集可以用{∅}表示.( )


(2)空集中只有元素0，而无其余元素.( )


答案 (1)× (2)×


2.下列四个集合中，是空集的为( )


A.{0} B.{x|x＞8，且x＜5}


C.{x∈N|x2－1＝0} D.{x|x＞4}


B [满足x＞8且x＜5的实数不存在，故{x|x＞8，且x＜5}＝∅.]


[微思考]


(1)本班所有的“帅哥”能否构成一个集合？


(2)一个集合中可以有相同的元素吗？


提示 (1)某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”没有明确的标准.


(2)根据集合元素的互异性可知，集合中不能有相同的元素.


知识点2 几种常见的数集


[微体验]


用符号“∈”或“∉”填空.


(1)1_______N*；(2)－3_______N；(3)eq \f(1,3)_______Q；


(4)π________Q；(5)－eq \f(1,2)________R.


答案 (1)∈ (2)∉ (3)∈ (4)∉ (5)∈


知识点3 列举法表示集合


1.把集合的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法.


2.用列举法表示集合的几个注意点


(1)用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序.


(2)如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不致于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.


(3)无限集有时也可用列举法表示.


[微体验]


1.思考辨析


(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1，2,3}.( )


(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.( )


答案 (1)× (2)×


2.方程x2＝4的解集用列举法表示为( )


A.{(－2,2)} B.{－2,2}


C.{－2} D.{2}


B [由x2＝4得x＝±2，故用列举法可表示为{－2,2}.]


知识点4 描述法表示集合


一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质. 此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}. 这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法.


[微体验]


集合A＝{x∈Z|－2＜x＜3}的元素个数为( )


A.1 B.2 [来源:]


C.3 D.4


D [因为A＝{x∈Z|－2＜x＜3}，所以x的取值为－1，0,1,2，共4个.]


知识点5 区间及其表示


(1)习惯上，如果a




(2)如果用“＋∞”表示“正无穷大”，用“－∞”表示“负无穷大”，则：实数集R可表示为区间(－∞，＋∞).


(3)特殊区间的表示





[微体验]


1.下列区间与集合{x|x<－2或x≥0}相对应的是( )


A.(－2,0) B.(－∞，－2]∪[0，＋∞)


C.(－∞，－2)∪[0，＋∞) D.(－∞，－2]∪(0，＋∞)


C [集合{ x|x<－2或x≥0}可表示为 (－∞，－2)∪[0，＋∞).]


2.{x|x＞1且x≠2}用区间表示为________.


(1,2)∪(2，＋∞) [{x|x＞1且x≠2}用区间表示为(1,2)∪(2，＋∞).]





探究一 集合的基本概念


考察下列每组对象，能构成集合的是( )


①中国各地最美的乡村；


②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；


③不小于3的自然数；


④2020年第32届奥运会所设比赛项目.


A.③④ B.②③④


C.②③ D.②④


B [①中“最美”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合.]


[方法总结]


判断一组对象能否组成集合的标准及其关注点


(1)标准：判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性.如果该组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.


(2)关注点：利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合，应注意集合中元素的特性，即确定性、互异性和无序性.


[跟踪训练1] 考察下列每组对象能否构成一个集合.


(1)不超过20的非负数；


(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；


(3)某校2016年在校的所有高个子同学；


(4)eq \r(3)的近似值的全体.


解 (1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；


(2)能构成集合；


(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；


(4)“eq \r(3)的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数，如“2”，是不是它的近似值，所以不能构成集合.


探究二 元素与集合之间的关系


(1)下列所给关系中正确的个数是( )


①π∈R；②eq \r(3)∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*.


A.1 B.2


C.3 D.4


(2)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为( )


A.2 B.2或4


C.4 D.0


(1)B [根据各数集的意义可知，①②正确，③④错误.]


(2)B [集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A，所以a＝2，或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，所以a＝4，综上所述，a＝2或4.]


[方法总结]


判断元素和集合关系的两种方法


(1)直接法：


①使用前提：集合中的元素是直接给出的.


②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可.


(2)推理法：


①使用前提：对于某些不便直接表示的集合.


②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.


[跟踪训练2] (1)已知集合A中元素满足2x＋a＞0，a∈R，若1∉A,2∈A，则( )


A.a＞－4 B.a≤－2


C.－4＜a＜－2 D.－4＜a≤－2


D [由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2×1＋a≤0，,2×2＋a＞0，))解得－4＜a≤－2.]


(2)设集合D是满足方程y＝x2的有序数对(x，y)的集合，则－1____D，(－1,1)____D.(填“∈”或“∉”)


∉ ∈ [因为集合D中的元素是有序数对(x，y)，而－1是数，所以－1∉D，(－1,1)∈D.]


探究三 列举法表示集合


用列举法表示下列给定的集合.


(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；


(2)小于8的质数组成的集合B；


(3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C；


(4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图像的交点组成的集合D.


解 (1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以A＝{0,2,4,6,8,10}.


(2)小于8的质数有2,3,5,7，所以B＝{2,3,5,7}.


(3)方程2x2－x－3＝0的实数根为－1，eq \f(3,2)，所以C＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，\f(3,2))).


(4)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋3，,y＝－2x＋6，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝4.))


所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1,4)，


所以D＝{(1,4)}.


[方法总结]


列举法表示集合的步骤


(1)分清元素：列举法表示集合，要分清是数集还是点集.


(2)书写集合：列元素时要做到不重复、不遗漏.


提醒：二元方程组的解集，函数的图像点形成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开，如{(2,3)，(5，－1)}. ,


[跟踪训练3] 用列举法表示下列集合.


(1)由bk中的字母组成的集合；


(2)方程(x－2)2＋|y＋1|＝0的解集.


解 (1)由bk中的字母组成的集合为{b，，k}.


(2)由方程(x－2)2＋|y＋1|＝0可知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2＝0，,y＋1＝0，))


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－1.))从而方程的解集为{(2，－1)}.


探究四 描述法表示集合


用描述法表示下列集合.


(1)所有正偶数组成的集合；


(2)不等式3x－2＞4的解集；


(3)在平面直角坐标系中，第一、三象限内点的集合.


解 (1)正偶数都能被2整除，所以正偶数可以表示为x＝2n，(n∈N*)的形式.


于是这个集合可以表示为{x|x＝2n，n∈N*}.


(2)由3x－2＞4，得x＞2，故不等式的解集为{x|x＞2}.


(3)第一、三象限中的点(x，y)满足xy＞0，于是这个集合可以表示为{(x，y)|xy＞0}.


[变式探究] 若将本例(3)改为“坐标平面内坐标轴上的点组成的集合”，如何用描述法表示？


解 坐标平面内，x轴上的点纵坐标为0，横坐标为任意实数；y轴上的点横坐标为0，纵坐标为任意实数.故坐标轴上的点满足xy＝0.用集合表示为{(x，y)|xy＝0}.


[方法技巧]


描述法表示集合的步骤


(1)确定集合中元素的特征.


(2)给出其满足的性质.


(3)根据描述法的形式写出其满足的集合.


[跟踪训练4] 用适当的方法表示下列集合.


(1)由大于5，且小于9的所有正整数组成的集合；


(2)使y＝eq \f(\r(2－x),x)有意义的实数x的集合；


(3)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；


(4)直线y＝x上去掉原点的点的集合.


解 (1)列举法：{6,7,8}.


(2)描述法：{x|x≤2，且x≠0，x∈R}.


(3)列举法：{(0,0)，(2,0)}.


(4)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}.








1.集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素.


2.集合中的元素是确定的，某一元素a要么有a∈A，要么有a∉A，两者必居其一.这也是判断一组对象能否构成集合的依据.符号“∈”和“∉”只是表示元素与集合之间的关系.


3.对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的，因此，当集合中元素含字母并要求对其求值时，求出的值一定要加以检验，看是否符合集合中元素的互异性.


4.(1)寻找适当的方法来表示集合时，应该“先定元，再定性”.一般情况下，元素个数无限的集合不宜采用列举法，因为不能将元素一一列举出来，而描述法既适合元素个数无限的集合，也适合元素个数有限的集合.


(2)用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合.


5.用区间表示数集应注意的几个问题


(1)区间左端点值小于右端点值；


(2)区间两端点之间用“，”隔开；


(3)注意数集中的符号“≤”“≥”“＜”及“＞”与区间中的符号“[”“]”“(”“)”的对应关系；


(4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用“(”“)”；


(5)用数轴表示区间时，注意端点的虚实；


(6)区间之间可以用集合的运算符号连接.





课时作业(一) 集合及其表示方法





1.下面有四个语句：


①集合N*中最小的数是0；


②－a∉N，则a∈N；


③a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2；


④x2＋1＝2x的解集中含有两个元素.


其中正确语句的个数是( )


A.0 B.1


C.2 D.3


A [N*是不含0的自然数，所以①错误；取a＝eq \r(2)，则－eq \r(2)∉N，eq \r(2)∉N，所以②错误；对于③，当a＝b＝0时，a＋b取得最小值0，而不是2，所以③错误；对于④，解集中只含有元素1，故④错误.]


2.如果A＝{x|x＞－1}，那么( )


A.－2∈A B.{0}∈A


C.－3∈A D.0∈A


D [因为0＞－1，故0∈A.]


3.集合A＝{x||x|＜2，x∈Z}用列举法表示正确的是( )


A.{－2，－1,0,1,2} B.{－2，－1,1,2}


C.{－1,0,1} D.{－1,1}


C [因为|x|＜2，x∈Z，所以－2＜x＜2，故用列举法表示为{－1,0,1}.]


4.(多选题)下列集合中表示数集的是( )


A.{0} B.{y|y2＝0}


C.{x|x＝0} D.{x＝0}


ABC [A，B，C中的元素都是数，且只有一个元素0，D中的元素是式子x＝0.故D不是数集，A，B，C是数集.]


5.P(1,3)和集合A＝{(x，y)|y＝x＋2}之间的关系是________.


P∈A [集合A是点集，P(1,3)的坐标满足集合A，所以P∈A.]


6.用列举法表示集合A＝{(x，y)|(x＋2)2＋|y－3|＝0，x∈R，y∈R}＝________.


{(－2,3)} [(x＋2)2＋|y－3|＝0，只有x＋2＝0与y－3＝0同时成立，即x＝－2，y＝3.集合A＝{(－2,3)}.]


7.集合B＝{1,3,4}，若a∈B，且8－a∈B，那么a的值为________.


4 [当a＝1时，8－a＝7∉B不满足题意.


当a＝3时，8－a＝5∉B不满足题意.


当a＝4时，8－a＝4满足题意.所以a的值为4.]


8.若两个集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，a，\f(b,a)))，B＝{0，a2，a＋b}的元素相同，求a＋b的值.


解 依题意0∈A，所以b＝0.


所以B＝{0，a2，a}，又1∈B，且a≠1.


所以a2＝1，所以a＝－1，所以a＋b＝－1.


9.用另一种方法表示下列集合.


(1){绝对值不大于2的整数}；[来源:Z§xx§k.Cm]


(2){能被3整除，且小于10的正数}；


(3){x|x＝|x|，x＜5，且x∈Z}；


(4){(x，y)|x＋y＝6，x∈N*，y∈N*}；


(5){－3，－1,1,3,5}.


解 (1){－2，－1,0,1,2}.


(2){3,6,9}.


(3)因为x＝|x|，所以x≥0.又因为x∈Z，且x＜5，


所以x＝0或1或2或3或4.


所以集合可以表示为{0,1,2,3,4}.


(4){(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)}.


(5){x|x＝2k－1，－1≤k≤3，k∈Z}.





1.已知x，y，z为非零实数，代数式eq \f(x,|x|)＋eq \f(y,|y|)＋eq \f(z,|z|)＋eq \f(|xyz|,xyz)的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是( )


A.0∉M B.2∈M


C.－4∉M D.4∈M


D [结合x，y，z的取值情况，可知当x＞0，y＞0，z＞0时，代数式的值为4，所以4∈M.]


2.下列集合表示同一集合的是( )


A.M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}


B.M＝{3,2}，N＝{2,3}


C.M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}


D.M＝{2,3}，N＝{(2,3)}


B [A中两个坐标不同，C，D中一个点集一个数集.]


3.若集合A＝{x|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝( )


A.4 B.2


C.0 D.0或4


A [当a＝0时，1≠0，此时方程无解.当a≠0时，Δ＝a2－4a＝0即a＝4，此时满足A中只有一个元素x＝－eq \f(1,2).]


4.集合A＝{1,4,9,16,25，…}，若m∈A，n∈A，则mΔn∈A，“Δ”是一种运算，则“Δ”可以是________.(①加法；②减法；③乘法；④除法)


③ [因为两个整数的平方的乘积必为一个整数的平方.所以③正确.]


5.已知集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}，M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，a∈P，b∈M，设c＝a＋b，则c与集合M有什么关系？


解 因为a∈P，b∈M，c＝a＋b，


所以设a＝2k1，k1∈Z，b＝2k2＋1，k2∈Z.


所以c＝2k1＋2k2＋1＝2(k1＋k2)＋1.


又k1＋k2∈Z，所以c∈M.


6.(拓广探索)已知集合A中的元素全为实数，且满足：若a∈A，则eq \f(1＋a,1－a)∈A.


(1)若a＝2，求出A中其他所有元素；


(2)0是不是集合A中的元素？请说明理由.


解 (1)由2∈A，得eq \f(1＋2,1－2)＝－3∈A.


又由－3∈A，得eq \f(1－3,1＋3)＝－eq \f(1,2)∈A.


再由－eq \f(1,2)∈A，得eq \f(1－\f(1,2),1＋\f(1,2))＝eq \f(1,3)∈A.


由eq \f(1,3)∈A，得eq \f(1＋\f(1,3),1－\f(1,3))＝2∈A.


故A中除2外，其他所有元素为－3，－eq \f(1,2)，eq \f(1,3).


(2)0不是集合A中的元素.理由如下：


若0∈A，则eq \f(1＋0,1－0)＝1∈A，而当1∈A时，eq \f(1＋a,1－a)不存在，


故0不是集合A中的元素.


课程标准
学科素养
1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.
通过对集合概念及其表示方法的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”的核心素养.
2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.
3.在具体情境中，了解空集的含义.
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a开区间
(a，b)
{x|a≤x半闭半开区间
[a，b)
{x|a半开半闭区间
(a，b]
定义
区间
数轴表示[来源:ZXXK]
{x|x≥a}
[a，＋∞)
{x|x>a}
(a，＋∞)
{x|x≤b}
(－∞，b]
{x|x(－∞，b)