北师大版（2024）九年级上册（2024）1 认识一元二次方程优秀同步训练题

这是一份北师大版（2024）九年级上册（2024）1 认识一元二次方程优秀同步训练题，共38页。试卷主要包含了一元二次方程的解，阅读理解，84，21等内容，欢迎下载使用。

知识点01 认识一元二次方程1）一元二次方程的概念
只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程（quadratic equatin with ne unknwn）。
2）一元二次方程的一般形式：
一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。
其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
注： = 1 \* GB3 ①化为一般式时，右边为0； = 2 \* GB3 ②习惯上将二次项系数a化为正数。
3.一元二次方程的解
1）能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。
注意：一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。
常考点:利用根的概念求代数式的值；
2）一元二次方程近似解：两端逼近法（二分法）。
步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。
3.一元二次方程根的重要结论（特征根问题）
1）若a+b+c=0，则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立。
2）若a-b+c=0，则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立。
3）若c=0，则一元二次方程有一个根x=0；反之也成立。
其他常见特征根（如：±2，±3，±），同学们可以自行推导。
【即学即练】
1．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）．
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·广东中山·期中）若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的取值是（ ）
A．任意实数B．1或C．1D．
3．（25-26九年级上·河南开封·期末）方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
4．（25-26八年级下·安徽淮南·月考）若关于x的一元二次方程，系数a，b，c满足，，则一元二次方程的根为（ ）
A．， B．， C．， D．，
5．（25-26九年级上·山东德州·期末）若是方程的一个根，则的值为（ ）
A．2025 B．C．2026 D．
6．（2026·山东聊城·模拟预测）根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（ ）
A． B． C． D．
7.（25-26成都·九年级校级期中）如图，将边长为12的正方形纸片，沿两边各剪去一个一边长为x的长方形，剩余的部分面积为64，则根据题意可列出方程为 ．（方程化为一般式）
,
题型01 一元二次方程的定义（概念辨析）
【典例1】（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26八年级下·上海·月考）下列关于的方程，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26八年级下·浙江舟山·期中）下列方程中是一元二次方程的是（）
A． B． C． D．
【变式3】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
题型02 根据一元二次方程的定义求参数
【典例1】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（25-26八年级下·浙江绍兴·专题练习）若是关于的一元二次方程，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（25-26九年级上·云南保山·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（25-26九年级上·广东湛江·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m应满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
题型03 一元二次方程的一般式
【典例1】（25-26九年级上·河北保定·期末）将方程化为一元二次方程的一般形式后，其一次项和常数项分别是（ ）
A．，B．，10C．8x，D．8x，10
【变式1】（25-26九年级上·广东珠海·期末）一元二次方程的一次项系数是（ ）
A．3B．C．D．0
【变式2】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）若一元二次方程的二次项系数为4，则常数项为（ ）
A．B．2C．5D．
【变式3】（25-26九年级上·湖北武汉·月考）将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．B．C．D．
题型04 判断一元二次方程的解
【典例1】（25-26九年级下·江西鹰潭·月考）下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）在下列方程中，是方程的根的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26九年级上·福建厦门·期中）若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（25-26八年级上·福建福州·期末）已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为( )
A．B．C．或D．或
题型05 由一元二次方程的解求参数
【典例1】（2026·江苏扬州·一模）若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（）
A．3B．2C．1D．0
【变式1】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程 有一根为0，则________．
【变式2】（2026·江西上饶·三模）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______．
【变式3】（2026·湖南·模拟预测）已知方程的一个根是，则_____．
题型06 由一元二次方程的解求代数式的值
【典例1】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）若为一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（25-26九年级上·山西晋城·期末）已知为一元二次方程的一个根，则的值为___________．
【变式2】（25-26九年级下·福建福州·月考）已知是一元二次方程的根，则的值为______．
【变式3】（2025·重庆·模拟预测）已知是方程的一个根，则______．
题型07 一元二次方程的特征根
【典例1】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式1】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）若一元二次方程满足，则这个方程必有一个根是（ ）
A． B． C．D．
【变式2】（25-26九年级上·江西南昌·期中）若一元二次方程中的满足，则方程必有根（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（25-26九年级上·江苏苏州·月考）若，则必有一个根是（ ）
A．0B．C．D．
题型08 一元二次方程的解的估算
【典例1】（25-26九年级上·山东青岛·月考）输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表：
分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26九年级上·山东青岛·期末）根据表格中的信息，估计一元二次方程（、、为常数，）的一个解的范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（25-26九年级上·河南·期末）根据下表：
确定方程的解的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【变式3】（25-26九年级上·广东佛山·期末）观察下列表格，可得出一元二次方程的一个近似解是（ ）
A． B． C． D．
题型09 根据题意列一元二次方程
【典例1】（2026·福建漳州·模拟预测）某电池企业为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级．若原电极材料的能量密度为a，经过两次迭代升级，每次升级后的能量密度都是升级前的倍，最终能量密度达到，则可列方程为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）我国古代井田形制多为正方形，现对一块正方形井田修整，在田地四周向外修筑等宽田埂，四周每一侧均向外拓宽2丈，拓宽后整块田地仍为正方形，且新增开垦的田地面积恰好是原有井田面积的．设原正方形井田的边长为丈，则下列所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，某试验小组要在长25米，宽22米的矩形试验田中开辟一横一纵两条等宽的小道，使得剩余部分（即阴影部分）的面积是460平方米，若设每条小道的宽为x米，则根据题意可列方程为____．
1．（25-26九年级上·湖南永州·期末）方程中，，，是一元二次方程有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
2．（25-26九年级上·湖北咸宁·期末）关于的一元二次方程常数项是（ ）．
A．B．C．D．
3．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）一元二次方程的一次项系数为（ ）
A．B．C．2D．
4．（25-26九年级上·福建漳州·期末）是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．为任意实数B．C．D．
5．（25-26·江苏苏州市·九年级期中）定义运算：．若a，b是方程的两根，则的值是（ ）
A．0B．C．2D．2m
6．（25-26八年级下·浙江杭州·月考）将一元二次方程化为一般形式为______，其一次项为______．
7．（25-26九年级上·广东深圳·期末）若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________．
8．（25-26九年级上·四川泸州·月考）请你写一个一元二次方程，使其中一个解等于1，它是____________．
9．（25-26九年级上·浙江台州·期中）小明用“试根法”探索关于的一元二次方程的解．当的值分别取时，该方程等号左、右两边的整式的值分别如下表所示，则该方程的解为______．
10．（25-26九年级上·江西南昌·月考）在一个物理实验中，有一个电路的电阻变化规律可以用方程来描述，其中表示电阻值（单位：欧姆）．若是该方程的一个根，现在要计算一个与该电阻相关的电学量的值（该电学量的单位是焦耳），求这个值是____________．
11．（25-26八年级下·江苏南通·期末）南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步，只云阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步．设阔步，根据题意可列方程为___________．
1．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）根据下列表格对应值，判断关于x的方程的一个解x的范围是（ ）
A． B． C．D．
2．（25-26九年级上·广西贵港·期中）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中所记载的“开方作法本源图”（即杨辉三角）蕴含一元二次方程的系数规律．若一元二次方程的两根为，，的值为（ ）
A．4B．C．3D．
3．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如果一元二次方程满足，那么，我们称这个方程为“凤凰方程”，已知是“凤凰”方程且有一个解为，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，C．，D．
4．（25-26九年级上·福建泉州·期末）若关于的方程（）有一个实数根为，则方程（）必有实数根为（ ）
A．B．C．D．
5．（25-26九年级上·河南南阳·月考）已知a是方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．B．C．D．2024
6．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）对于一元二次方程，有下列说法：
①若a是该一元二次方程的二次项系数，则一次项系数是b；
②若，则是方程的根；
③若是方程的一个根，且，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则．
其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）若是关于x的一元二次方程，则k的值为______．
8．（25-26九年级上·山东青岛·月考）在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________．
9．（25-26八年级上·上海松江·期末）写出满足条件的一元二次方程，使这个方程的二次项系数是1，常数项是6，其中一个根是，满足条件的方程是______．
10．（25-26八年级下·浙江杭州·月考）已知a是一元二次方程的一个根：
(1)求的值 (2)求的值．
11.（25-26•南岗区九年级校级月考）阅读理解：
定义：如果关于x的方程a1x2+b1x+c1=0（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与a2x2+b2x+c2=0（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”．
请用以上方法解决下面问题：（1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是 ．
（2）若关于x的方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值．
教学目标
1.理解一元二次方程的概念，掌握三个特征：整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为 2，能够判断一个方程是不是一元二次方程。
2.掌握一元二次方程一般形式，能把方程整理化为一般形式，准确识别二次项、一次项、常数项以及对应系数。
3.了解一元二次方程解的意义，会估算简单一元二次方程的解；能根据实际问题中的等量关系列出一元二次方程。
4.经历从实际问题抽象、列出方程，对比一元一次方程，归纳概括一元二次方程概念的过程，体会从具体到抽象的研究方法。
5.体会方程是刻画现实数量关系的数学模型，发展符号意识、模型观念；通过估算方程的解，感受夹逼取值的思想，提升估算推理能力。
教学重难点
1.重点
（1）一元二次方程的概念以及识别。
（2）一元二次方程的一般形式，分清二次项、一次项、常数项和各项系数，理解(a≠0) 的隐含条件。
（3）根据实际问题列一元二次方程；理解一元二次方程解的含义。
2.难点
（1）从实际问题情境中找出等量关系，抽象列出一元二次方程。
（2）整理化简方程为一般形式，容易忽略二次项系数(a≠0)；含参数方程的辨析。
（3）理解估算一元二次方程解的思路，体会夹逼的思想方法。
x
1.1
1.2
1.3
1.4
0.84
2.29
3.76
20.5
20.6
20.7
20.8
20.9
输出
3.44
9.21
x
…
4
5
6
13
5
…
5
13
x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
0.84
2.29
3.76
5.25
的值
…
0
1
2
3
…
等号左边的值
…
0
2
5
9
…
等号右边的值
…
1
3
5
7
…
x