北师大版（2024）九年级上册（2024）3 一元二次方程的根与系数的关系精品课时训练

这是一份北师大版（2024）九年级上册（2024）3 一元二次方程的根与系数的关系精品课时训练，共38页。

知识点01 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
韦达定理的推导可以借助求根公式解的两根，再求出两根之积，两根之和即可。
1）设是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根，则，
注意：对于而言，当满足①、②时，才能用韦达定理。
2）常用推导变形：
② ③ 等
3）设是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根
则：时，有; 时，有
时，有
【即学即练】
1．（2026·河北石家庄·一模）已知一元二次方程，则该方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．两根之和为2C．两根之积为3D．两根之和为1
2．（2026·河北沧州·模拟预测）关于的一元二次方程中，，则方程的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．有两个正实数根 C．两根之和为 D．两根之积为
3．（2026·河南周口·模拟预测）关于的一元二次方程的一个根为3，则另一个根为（ ）
A．3B．C．5D．
4．（2026·河南周口·一模）已知关于x的方程有两个实数根且 则k的值为（ ）
A．B．1C．或1D．3
5．（2026·四川乐山·模拟预测）设、是关于的方程的两个根，且，则的值是（ ）
A．2B．4C．D．
6．（25-26九年级上·甘肃平凉·月考）先阅读，再回答问题：
如果是关于的一元二次方程的两个根，那么与系数的关系是：．例如：若是方程的两个根，则．
(1)若是方程的两个根，则___________，___________；
(2)若是方程的两个根，求的值．
题型01 利用根与系数的关系求方程的根
【典例1】（25-26九年级下·江西南昌·月考）若关于的一元二次方程有两个实数根，其中一根，则另一根__________．
【变式1】（25-26九年级下·江苏常州·月考）若关于x的一元二次方程有一个根为，则另一个根为______．
【变式2】（25-26八年级下·山东泰安·期中）已知：关于的方程有一个根是2，则__________，另一个根是__________．
【变式3】（2026·湖北鄂州·模拟预测）下列一元二次方程中，两实数根之和为的是（ ）
A．B．C．D．
题型02 利用根与系数的关系求有关根的代数式的值
【典例1】（25-26·江苏南通市·九年级期中）方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，则+2x1x2++2020＝_____．
【变式1】（2026·山东东营·一模）若，是方程的两根，则的值为_____．
【变式2】（25-26九年级下·湖北武汉·月考）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值是____．
【变式3】（25-26·陕西西安·九年级校考期末）若方程的两根为，，则_____．
题型03 利用根与系数的关系及代根法综合求值
【典例1】（25-26八年级下·山东淄博·期末）已知α，β是方程的两个根，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式1】（25-26八年级下·浙江金华·月考）如果，是一元二次方程的两个实数根，那么多项式的值是（ ）
A．12B．10C．2D．0
【变式2】（25-26九年级下·四川绵阳·期中）已知方程的两根分别为、，则的值为__________．
【变式3】（25-26九年级下·广东中山·月考）已知a、b是方程的两根，则_______ ．
题型04 利用根与系数的关系求参数值（对称型）
【典例1】（25-26九年级下·陕西西安·期中）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，求的值．
【变式1】（2025·四川成都·二模）若关于的一元二次方程两根为、，且，则的值为 ．
【变式2】（2026·河北石家庄·一模）已知，是关于的一元二次方程的两个根且，则的值是（ ）
A．B．C．2D．8
【变式3】（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，．(1)求的取值范围；(2)若，求的值．
题型05 利用根与系数的关系求参数值（非对称型）
【典例1】（25-26九年级上·河南鹤壁·期末）已知关于x的一元二次方程.方程两实数根分别为，，且满足，则_________．
【变式1】（24-25八年级下·浙江金华·月考）设是方程的两个根，且，求常数的值．
【变式2】（2025·四川成都·二模）关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且满足，则的值为 ．
【变式3】（2025·四川成都·一模）关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（ ）
A．B．1C．3D．9
题型06 构造一元二次方程求代数式的值
【典例1】（25-26八年级下·安徽合肥·月考）阅读以下材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题：已知实数a，b满足，，则可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根．
(1)材料理解：已知实数a，b满足，，且，求的值．
(2)思维拓展：已知实数a，b满足，，且，求的值．
【变式1】（25-26八年级下·浙江金华·月考）如果、是两个不相等的实数，且满足，，则__________．
【变式2】（2025·成都·模拟预测）若实数a，b满足，，则的值为（ ）
A．B．或20C．2或D．
【变式3】（25-26九年级下·福建莆田·开学考试）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程必有两个不相等的实数根；
(2)若实数m，n满足，且，求的值．
题型07 根与系数的关系与三角形综合
【典例1】（2022·内蒙古呼和浩特·一模）已知，是一元二次方程的两实根.
(1)如果，求的值；(2)如果等腰一边长为7，另两边为，，求的周长．
【变式1】（25-26八年级下·浙江金华·月考）已知等腰三角形的三边分别为m、n、4，且m、n是关于x的一元二次方程的两根，则p的值是___________．
【变式2】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
(1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号）①；②．
(2)已知关于x的方程是“差根方程”，求的值．
(3)已知是直角三角形，，的长为，若的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程．
题型08 根与系数的关系与四边形综合
【典例1】（25-26九年级上·河北沧州·期末）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，在平行四边形中，已知，，则对角线长的最大整数值为______．
【变式1】（2026·河北衡水·模拟预测）若平行四边形的底和其对应的高的长分别是一元二次方程的两个根，则该平行四边形的面积为______．
【变式2】（25-26八年级下·浙江·月考）若长方形的长和宽分别是关于x的方程的两个根，则长方形的周长是______．
【变式3】（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为________________ ．
【变式4】（25-26九年级上·广东佛山·期末）综合与实践
从“特殊”到“一般”是研究数学问题的一种常用策略．某综合实践小组以特殊四边形为背景，就“倍矩形（其周长为原矩形周长的倍，其面积亦为原矩形面积的倍）存在性问题”展开探究．
设原矩形长为，宽为．
【特例感知】（1）已知原矩形，，其2倍矩形长为______，宽为______；
【类比探究】（2）上述第（1）问中原矩形的倍矩形存在吗？说明理由；
【一般验证】（3）求证：无论原矩形，取何值，其2倍矩形一定存在．
题型09 根与系数关系中的新定义问题
【典例1】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程和为“同伴方程”，则m的值为________．
【变式1】（25-26八年级下·浙江金华·月考）若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论：
①如果是的倒方程的一个解，则．
②一元二次方程与它的倒方程有相同的根，那么这个根是．
③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解．
④若，则与它的倒方程都有两个实数根．
上述结论正确的是___________．
【变式2】（25-26九年级上·四川成都·期末）若关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根，且其中一个根与另一个根的差为3，那么称这样的方程为“差3方程”．若方程是“差3方程”，则的值为___________．
【变式3】（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）如果关于的一元二次方程（不为0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，我们称这样的方程为倍根方程．
(1)判断关于的方程是不是倍根方程___________（是或不是）
(2)若关于的方程是倍根方程，则___________．
(3)关于的一元二次方程（不为0）是倍根方程，且，请求出此方程的两个根．
题型09 一元二次方程根的分布（拓展）
【典例1】（2025·成都·模拟预测）设关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知实数，，（），且满足，．(1)求证：的值为定值；(2)若，同号，求的取值范围．
【变式2】（2026·安徽合肥·一模）若关于x的方程的正数根只有一个，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2025·成都·模拟预测）已知关于x的方程的一个根比1大且另一个根比1小，则a的取值范围正确的是（ ）
A．B．C．D．

1．（2026·湖北·模拟预测）已知，是方程的两个实数根，则＝（ ）
A．B．C．D．
2．（2026·广东佛山·一模）若，是方程的两个根，则的值是（ ）
A．B．C．D．
3.（2026·山东济南·一模）若关于的方程的两根互为相反数，则的值是（ ）
A．B．C．D．
4．（2026·山西临汾·一模）关于的方程（为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根B．两个负根C．一个正根，一个负根D．无实数根
5．（2025·成都·校考一模）已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是 ．
6．（2025·成都·一模）若是关于x的方程的两实数根，且满足，则k的值为 ．
7．（2025·四川成都·模拟预测）已知m，n是一元二次方程的两根，且满足，则k的值为 ．
8．（25-26九年级下·山东东营·开学考试）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则m的取值范围为______________．
9．（2026·四川南充·一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求实数的取值范围；(2)若，求实数的值．
10．（25-26九年级下·福建福州·开学考试）已知关于的一元二次方程，
(1)求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的两个根是一个矩形的两边长，矩形对角线长为5，试求的值．
11．（25-26九年级上·四川自贡·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，．(1)求k的取值范围；(2)若，求k的值．(3)在（2）的条件下，求的值．
12．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知一元二次方程．
(1)若方程有两个实数根，求的范围；(2)若方程的两个实数根为，且，求的值．
1．（2025·成都·模拟预测）关于的一元二次方程的两根是和，若，则下列选项正确的是（ ）
A．、B．C．D．
2．（25-26九年级下·江苏南通·自主招生）关于的方程，有下列四个命题：（ ）
甲：是该方程的根； 乙：是该方程的根；
丙：该方程两根之和为2； 丁：该方程两根之积小于0．
如果只有一个假命题，则该命题是
A．甲B．乙C．丙D．丁
3．（2025·四川成都·一模）关于x的方程有两个实数根，，满足，则m的值为
4．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则
5．（2025·四川成都·二模）若，是已知关于的方程的两个实数根，且，则的值为 ．
6．（25-26九年级上·山东济宁·期末）先阅读下列的解答过程，然后再解答：
阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是、．那么，．
例如：已知方程的两根分别为、．则：，．
请同学阅读后完成以下问题：(1)已知方程的两根分别为，，求和的值．
(2)设，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
(3)关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，且，求的值．
7．（25-26九年级下·福建泉州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
．(1)求m的取值范围；(2)若为整数，求整数m的值．
8．（24-25八年级下·浙江金华·月考）按要求完成问题
(1)已知实数，是方程的两根，求的值；
(2)已知实数，满足，，且，求的值；
(3)若两个不相等的实数，满足，，求的值．
9．（25-26八年级下·安徽滁州·月考）已知，是一元二次方程的两个实数根．
(1)求的取值范围；(2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请你说明理由；(3)若的值为负整数，求实数的整数值．
10．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，则称这个方程为“差1方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因为，所以一元二次方程为“差1方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断：一元二次方程 “差1方程”（填“是”或“不是”）；
(2)若关于x的一元二次方程是“差1方程”，求k的值．教学目标
1.理解一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的推导过程。
2.掌握当ax2＋bx+c=0 (a≠0)，两根为时，，。
3.能根据两根构造一元二次方程；已知方程一根，求另一根以及方程中字母参数的值。
4.会利用根与系数的关系，不解方程求两根之和、两根之积，以及两根的简单代数式的值、已知两根相关的等量关系求参数；在运用韦达定理求代数式的值时，体会整体代入的数学思想，提升代数变形、推理运算能力。
5.知道根与系数关系成立的前提条件：方程必须有实数根，即。
教学重难点
1.重点
（1）掌握一元二次方程根与系数的关系，熟记两根和、两根积公式。
（2）不解方程，利用韦达定理求两根之和、两根之积以及相关代数式的值、已知两根相关的等量关系求参数。
（3）已知一根求另一根、求参数；根据两根构造一元二次方程。
2.难点
（1）理解韦达定理推导过程，注意公式中的负号，是高频易错点。
（2）灵活变形代数式，会整体代入。
（3）容易忽略使用前提：方程有实数根，含参数题目求出参数后要检验判别式。