初中数学北师大版九年级上册1 认识一元二次方程课后练习题

2.1认识一元二次方程讲义

同步教材划重点

知识点01一元二次方程的有关概念

1．一元二次方程的概念：

通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

【点石成金】

识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.

2．一元二次方程的一般形式：

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

【点石成金】

(1)只有当时，方程才是一元二次方程；

(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

4.一元二次方程根的重要结论

（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.

（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.

（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.

知识点02一元二次方程的解法

1．直接开方法解一元二次方程：

(1)直接开方法解一元二次方程：

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.

(2)直接开平方法的理论依据：

平方根的定义.

(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：

①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.

若a＞0，则；表示为，有两个不等实数根；

若a=0，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；

若a＜0，则方程无实数根．

②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是

【点石成金】

用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.

【典例分析】

1．判定下列方程是否关于x的一元二次方程：

(1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a；  　　(2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1．

【解析】

(1)经整理，得它的一般形式

(a2+2)x2+(a-3)x-a(a+1)=0，

其中，由于对任何实数a都有a2≥0，于是都有a2+2＞0，由此可知a2+2≠0，所以可以判定：

对任何实数a，它都是一个一元二次方程．

(2)经整理，得它的一般形式

(m2-1)x2+(2-2m)x+(m3+1)=0，

其中，当m≠1且m≠-1时，有m2-1≠0，它是一个一元二次方程；当m=1时方程不存在，

当m=-1时，方程化为4x=0，它们都不是一元二次方程．

【总结】对于含有参数的一元二次方程，要十分注意二次项系数的取值范围，在作为一元二次方程进行   研究讨论时，必须确定对参数的限制条件．如在第(2)题，对参数的限定条件是m≠±1．

例如，一个关于x的方程，若整理为(m-4)x2+mx-3=0的形式，仅当m-4≠0，即m≠4时，才是一元二次方程(显然，当m=4时，它只是一个一元一次方程4x-3=0)．又如，当我们说：“关于x的一元二次方程(a-1)x2+(2a+1)x+a2-1=0……”时，实际上就给出了条件“a-1≠0”，也就是存在一个条件“a≠1”．由于这个条件没有直接注明，而是隐含在其他的条件之中，所以称它为“隐含条件”．

【变式】判断下列各式哪些是一元二次方程．

①；②；③ ；④ ；

⑤ ；⑥ ；⑦ ．

【答案】②③⑥.

【解析】①不是方程；④ 不是整式方程；⑤ 含有2个未知数，不是一元方程；⑦ 化简后没有二次项，不是2次方程. ②③⑥符合一元二次方程的定义．

2. 已知关于y的一元二次方程m2(y2+m)-3my=y(8y-1)+1，求出它各项的系数，并指出参数m的取值范围．

【解析】

将原方程整理为一般形式，得(m2-8)y2-(3m-1)y+m3-1=0，

由于已知条件已指出它是一个一元二次方程，所以存在一个隐含条件

m2-8≠0，即 m≠±．

可知它的各项系数分别是

a=m2-8(m≠±)，b=-(3m-1)，c=m3-1．

参数m的取值范围是不等于±的一切实数．

【总结】在含参数的方程中，要认定哪个字母表示未知数，哪个字母是参数，才能正确处理有关的问题．

【变式】把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：

(1)-3x2-4x+2=0；    (2)．

【解析】

(1)两边都乘-1，就得到方程

3x2+4x-2=0．

各项的系数分别是： a=3，b=4，c=-2．

(2)两边同乘-12，得到整数系数方程

6x2-20x+9=0．

各项的系数分别是：．

【总结】一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程．

值得注意的是，确定各项的系数时，不应忘记系数的符号，如(1)题中c=-2不能写为c=2，

(2)题中不能写为．

3. 如果关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝1，那么p，q的值分别是(   )

A．-3，2      B．3，-2      C．2，-3      D．2，3

【答案】A；

【解析】∵  x＝2是方程x2+px+q＝0的根，

∴  22+2p+q＝0，即2p+q＝-4     ①

同理，12+p+q＝0，即p+q＝-1     ②

联立①，②得  解之得：

【总结】由方程根的定义得到关于系数的方程(组)，从而求出系数的方法称为待定系数法，是常用的数学解题方法．即分别用2，1代替方程中未知数x的值，得到两个关于p、q的方程，解方程组可求p、q的值．

【变式】若x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，设M=1﹣ac，N=（ax0+1）2，则M与N的大小关系正确的为（　　）

A．M＞N  B．M=N  C．M＜N D．不确定

【点拨】把x0代入方程ax2+2x+c=0得ax02+2x0=﹣c，作差法比较可得．

【答案】B；

【解析】解：∵x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，

∴ax02+2x0+c=0，即ax02+2x0=﹣c，

则N﹣M=（ax0+1）2﹣（1﹣ac）

=a2x02+2ax0+1﹣1+ac

=a（ax02+2x0）+ac

=﹣ac+ac

=0，

∴M=N，

故选：B．

【总结】本题主要考查一元二次方程的解得概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．

4.求下列x的值

（1）x2﹣25=0

（2）（x+5）2=16．

【点拨】（1）移项后利用直接开方法即可解决．（2）利用直接开方法解决．

【解析】

  解：（1）∵x2﹣25=0，

∴x2=25，

∴x=±5．

（2）∵（x+5）2=16，

∴x+5=±4，

∴x=﹣1或﹣9．　　

【总结】应当注意，形如=k或（nx+m）2=k(k≥0)的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法．“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一．

【变式】如果关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝1，那么p，q的值分别是(   )

A．-3，2      B．3，-2      C．2，-3      D．2，3

【答案】A；

【解析】∵  x＝2是方程x2+px+q＝0的根，

∴  22+2p+q＝0，即2p+q＝-4     ①

同理，12+p+q＝0，即p+q＝-1     ②

联立①，②得  解之得：

【总结】由方程根的定义得到关于系数的方程(组)，从而求出系数的方法称为待定系数法，是常用的数学解题方法．即分别用2，1代替方程中未知数x的值，得到两个关于p、q的方程，解方程组可求p、q的值．

5.解方程(x-3)2=49．

【解析】

把x-3看作一个整体，直接开平方，得

x-3=7或x-3=-7．

由x-3=7，得 x=10．

由x-3=-7，得 x=-4．

所以原方程的根为x=10或x=-4．

【总结】应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的方  程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n可成为任何一元二次方程变形的目标．

【变式】用直接开平方法求下列各方程的根：

(1)x2=361； 　　　(2)2y2-72=0；   　(3)5a2-1=0；　　　(4)-8m2+36=0．

【答案】

∵ x2=361，

∴ x=19或x=-19．

(2)∵2y2-72=0，

2y2=72，

y2=36，

∴ y=6或y=-6．

(3)∵5a2-1=0，

5a2=1，

a2=，

∴a=或a=-．

(4)∵-8m2+36=0，

-8m2=-36，

m2=，

(1)    ∴m=或m=-．

【跟踪训练】

1．若方程是关于x的一元二次方程，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C．且 D．

【答案】D

【分析】

根据一元二次方程的定义列式求出m的值，即可进行选择．

【详解】

解：∵(m-1)x2+x+=0是关于x的一元二次方程，

∴m-1≠0，

解得m≠1，

故选：D．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．

2．若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值是（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】B

【详解】

把代入得，解得．

3．若关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3ax+a﹣2＝0的常数项为0，则a的值为（　　）

A．0 B．﹣2 C．2 D．3

【答案】C

【分析】

根据题意列出方程即可求出a的值．

【详解】

解：由题意可知：a﹣2＝0，

∴a＝2，

∵a+2≠0，

∴a的值为2，

故选：C．

【点睛】

本题考查一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式，理解基本定义是解题关键．

4．下列是一元二次方程的是（　　）

A．﹣5x+2＝1 B．2x2﹣y+1＝0 C．x2+2x＝0 D．x2﹣＝0

【答案】C

【分析】

根据一元二次方程的定义逐一判断即可．

【详解】

A、含有一个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；

B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；

C、是一元二次方程，故此选项符合题意；

D、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．

故选：C．

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”，“一个未知数，“未知数的最高次数是2”，“二次项的系数不等于0”，“整式方程”．

5．下列方程中，一元二次方程共有（    ）

①；②；③；④；

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】

含有一个未知数，且未知数的最高次数是 这样的整式方程是一元二次方程，根据定义逐一判断即可得到答案．

【详解】

解：是一元二次方程，

是二元二次方程，

是分式方程，

是一元二次方程，

所以一元二次方程有两个，

故选：

【点睛】

本题考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．

6．下列方程中，一元二次方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

依题意，依据一元二次方程的定义及一般形式：，即可；

【详解】

由题知：A、，对照一元二次方程一般形式，缺少的条件，故不正确；

B、，对照一元二次方程的一般形式，未知数个数为2个，故不正确；

C、，对照一元二次方程的一般形式，完全满足条件，故正确；

D、，对照一元二次方程的一般形式，未知数位于分母上，故不正确；

故选：C；

【点睛】

本题考查一元二次方程定义及一般形式，关键在熟练一元二次方程的形式和性质；

7．一元二次方程4x2﹣3x﹣1＝0的二次项系数a、一次项系数b和常数c分别是 （　　）

A．a＝4，b＝3，c＝﹣1 B．a＝4，b＝1，c＝3

C．a＝4，b＝﹣3，c＝﹣1 D．a＝4，b＝﹣3，c＝1

【答案】C

【分析】

一元二次方程的一般形式是： (a，b，c是常数且a≠0)．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，据此作答．

【详解】

解：一元二次方程4x2﹣3x﹣1＝0的二次项系数a、一次项系数b和常数c分别是：a＝4，b＝﹣3，c＝﹣1，

故选：C．

【点睛】

此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为（a≠0）．

8．将方程x2﹣8x＝10化成一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，常数项为（　　）

A．﹣8 B．8 C．10 D．﹣10

【答案】D

【分析】

通过移项将右边常数项变号后移到左边即可．

【详解】

解：方程整理得：x2﹣8x﹣10＝0，其中二次项系数为1，常数项为﹣10．

故选：D．

【点睛】

本题考查了学生的一元二次方程一般形式的理解与应用，要求学生能牢记一元二次方程一般形式下的二次项、一次项、常数项的特征，每一项均包含前面的符号，其中常数项不含未知数，根据特点即可得到准确答案．

9．已知是关于的一元二次方程的解，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

将代入方程求解．

【详解】

解：∵是关于的一元二次方程的解

∴，即

故选：C．

【点睛】

本题考查一元二次方程的解，理解概念，正确代入计算是解题关键．

10．关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x﹣a2+4＝0的一个根为0，则a的值是（　　）

A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．1

【答案】C

【分析】

根据一元二次方程的解定义把x＝0代入一元二次方程得﹣a2+4＝0，解得a＝±2，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的a的值．

【详解】

解：把x＝0代入方程得﹣a2+4＝0，

解得a＝2或a＝﹣2，

而a﹣2≠0，

所以a的值为﹣2．

故选：C．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的 定义以及一元二次方程的根，掌握以上定义的解题的关键．

11．已知一元二次方程的常数项为4，则二次项系数和一次项系数分别为（    ）

A．3，－2 B．－3，2 C．3，2 D．－3，－2

【答案】A

【分析】

直接利用一元二次方程中各项系数的确定方法分析得出答案．

【详解】

解：一元二次方程3x2=-4+2x化为一般形式可得：3x2-2x+4=0，

∴二次项系数、一次项系数分别为：3，-2．

故选：A．

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的一般形式，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．

12．若关于x的方程有一个根是1，则_______．

【答案】

【分析】

把 代入方程求得的值．

【详解】

把代入方程，得：

解得 ．

故答案为．

【点睛】

本题考查了方程的解的概念，将已知解代入原方程，即可求得原方程中字母的值，理解方程的解是解题的关键．

13．若关于x的方程是一元二次方程，求不等式的解集．

【答案】

【详解】

解：∵关于x的方程是一元二次方程，

∴且，

解得．

当时，，解得．

14．关于x的一元二次方程．

（1）若方程的一个根为1，求m的值；

（2）求证：方程总有两个不相等的实数根．

【答案】（1）m=1；（2）见解析．

【分析】

（1）代入x=1求出m值即可；

（2）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＞0，由此可证出此方程总有两个不相等的实数根．

【详解】

解：（1）把x=1代入原方程得1+m+m-3=0  解得：m=1

（2）证明：△=m2-4（m-3）=（m-2）2+8

∵（m-2）2≥0

∴（m-2）2+8＞0，即△＞0，

∴不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．

【点睛】

本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是代入x=1求出m值，并牢记当△＞0时，方程有两个不相等的实数根．