初中数学人教版（2024）九年级上册第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系巩固练习

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考查题型一 利用根与系数的关系求代数式的值
1．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知m，n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．0B．3C．6D．13
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，得出，，代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义是解题的关键．
2．（2023·云南昆明·统考二模）一元二次方程的两个根分则为和，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】解：一元二次方程化为一般形式为
∵一元二次方程的两个根分则为和，
∴，，
∴，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系．若是一元二次方程的两根时，，．
3．（2023·山东菏泽·统考二模）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】A
【分析】结合一元二次方程根的定义，以及根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程根的定义，以及根与系数的关系，一元二次方程有两个实数根，，则，，掌握以上公式是解题关键．
4．（2023·贵州六盘水·统考二模）已知是一元二次方程的两根，则的值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】利用根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算的值．
【详解】解：根据题意得：，
所以．
故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．
5．（2023·山东泰安·统考一模）已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ ）．
A．2020B．2021C．2022D．2023
【答案】D
【分析】由根与系数的关系得，根据一元二次方程根的定义得到，则，整体代入求解即可．
【详解】解： 、是一元二次方程的两个实数根，
，
是一元二次方程的实数根，
即，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值等知识．解题的关键在于熟练掌握一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
考查题型二 根与系数的关系的应用
1．（2023·湖北随州·统考一模）关于x的一元二次方程有两个实数根，．
(1)求m的取值范围；
(2)若，求m的值．
【答案】(1)且
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程的根判别式及定义，即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
，且，
∴且；
（2）解：由根与系数的关系得，，
∵，
∴，
∴，
解得，
经检验：是方程的根，
．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解分式方程，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解决本题的关键．
2．（2023·湖北襄阳·统考一模）已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有实数根，求m的取值范围；
(2)若方程的两实数根分别为，且满足．求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据方程有实数根，得到，进行求解即可；
（2）根据根与系数的关系，利用整体思想代入求值即可.
【详解】（1）由题意得， ．
解得：；
（2）解：由一元二次方程根与系数关系可得．
∵，
∴．
解得：．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数关系，解决问题的关键是掌握一元二次方程判别式与方程根的情况的对应以及一元二次方程根与系数关系．
3．（2023·广东惠州·统考一模）若关于x的一元二次方程有两个实数根
(1)试确定实数m的取值范围；
(2)若，求m的值.
【答案】(1)且 m≠1
(2)
【分析】（1）根据判别式的意义得到，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到，再把变形为，整体代入得到，然后解m的方程可得到满足条件的m的值．
【详解】（1）∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，且，
∴且，
∴m的取值范围为且 ；
（2）根据题意得，
∵，
∴
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴m的值为．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则也考查了根的判别式．
4．（2023·湖北十堰·统考一模）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两实根为、，且，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)或
【分析】（1）表示出根的判别式，判断其正负即可作出判断；
（2）利用根与系数的关系表示出两根之积与两根之和，已知等式变形代入计算即可求出的值．
【详解】（1）证明：关于的一元二次方程，
，
，
，
，
，
则方程有两个不相等的实数根；
（2）由根与系数的关系可得：，，
，
，即，
整理得：，即，
或，
解得：或．
【点睛】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
5．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）关于的方程有两个不相等的实数根、．
(1)求的取值范围；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)的值为
【分析】（1）由要保证一元二次方程总有两个不相等的实数根，就必须使其根的判别式恒成立，即得出关于k的不等式，解出k的解集即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得出关于k的一元二次方程，再解这个方程即可．
【详解】（1）解：∵关于的方程为，
∴，，．
∵该方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：；
（2）解：∵该方程的两个实数根分别为、，
∴，．
∵，
∴，
整理，得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
∴的值为．
【点睛】本题考查由一元二次方程根的情况求参数，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．
1．（2023·四川南充·统考一模）关于的一元二次方程中，、、是的三条边，其中．
(1)求证此方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个根是、，且，求．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据求根公式，写出一元二次方程的，再根据、、是的三条边，结合，即可解答。
（2）根据韦达定理得，，再用完全平方公式化简得，代入即可解答。
【详解】（1）解：关于的一元二次方程去括号，整理为一般形式为：，
，
、、是的三条边，其中，
，
，
，
此方程有两个不相等的实数根；
（2）方程的两个根是、，
，，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式,根与系数的关系以及勾股定理的应用，掌握当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根是解题的关键．
2．（2023秋·福建泉州·九年级统考期末）阅读材料：
材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n，
∴，，则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，___________．
(2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值．
【答案】(1)3，
(2)
(3)或
【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，再根据，最后代入求值即可；
（3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而可求出，即或，最后分类讨论分别代入求值即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，．
故答案为：，；
（2）∵一元二次方程的两根分别为m、n，
∴，，
∴
；
（3）∵实数s、t满足，，
∴s、t可以看作方程的两个根，
∴，，
∵
∴或，
当时，
，
当时，
，
综上分析可知，的值为或．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．
3．已知：关于x的方程有实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）若，是方程的两个实数根，问：是否存在实数k，使其满足，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，或
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式，再求解即可；
（2）根据已知得出①，，推出，求出②，把①代入②得出，最后求出k即可.
【详解】
解：（1）当即时，方程，
，即方程有实数根，
当时，，方程有实数根，即，
综合上述：k的取值范围是．
（2）∵，是方程的两个实数根，
∴，①
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即：，②
把①代入②得：，
，
，，
由（1）可知k需满足：且，
∴或．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根的判别式、根与系数的关系等知识点的应用，灵活应用相关知识是解答本题的关键．
4．背景情境：
赛赛同学在学习《一元二次方程》中做过这样一道题：
题目：已知实数、满足，，且，求的值．
解：根据题意得
与为方程的两根，
∴，
∴
请认真阅读赛赛同学解题的方法，仔细思考．
解决问题：
（1）已知实数、满足，，且，求的值．
（2）设实数、分别满足，，且，求的值．
（3）已知关于的方程有两个根、满足．当的三边、、满足，，（a≠b）．求的值以及的面积．
【答案】（1）-6；（2）6；（3），面积为1
【分析】（1）根据题意可得，，利用完全平方公式求得的值，变形整理所求式子，然后代入求值即可；
（2）将方程等号两边同时除以b2得到，再根据题意计算求值即可；
（3）利用根与系数的关系结合求得m的值，根据题意可得与是方程的两个根，同例题整理得，得到△ABC为直角三角形，再利用三角形的面积公式求解即可.
【详解】解：（1）由题可知：与为方程的两根，
∴，，
∴，
∴；
（2）∵，
显然，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴与为方程的两根，
∴；
（3），
，，
∴，
∴
，
∴，
∴即，
即，
∵
∴与是方程的两个根，
∴，，
∴，
∴为直角三角形，
则.
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）及其应用，勾股定理的逆定理等，韦达定理：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=.