人教版（2024）九年级上册（2024）25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教案

这是一份人教版（2024）九年级上册（2024）25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教案，共18页。教案主要包含了情景导入，合作探究，板书设计等内容，欢迎下载使用。
◇教学目标◇
1.了解一元二次方程根与系数的关系.
2.能应用一元二次方程根与系数的关系解决相关问题.
3.经历一元二次方程根与系数关系的探究过程,培养学生观察思考、归纳概括的能力.
4.通过小组合作探究,发现一元二次方程根与系数的关系,增强学习的信心,培养科学探究精神.
◇教学重难点◇
教学重点
一元二次方程根与系数的关系.
教学难点
用根的判别式及根与系数的关系解题.
◇教学过程◇
一、情景导入
先填空,再找规律.
思考:观察表中的x1+x2与x1x2的值,它们与前面的一元二次方程各项系数之间有什么关系?从中你发现什么规律?
二、合作探究
探究点1 一元二次方程根与系数的关系
典例1 根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程两个根x1,x2的和与积:
(1)x2-6x-15=0;
(2)3x2+7x-9=0;
(3)5x-1=4x2.
[解析] (1)x1+x2=-(-6)=6,x1x2=-15.
(2)x1+x2=-73,x1x2=−93=-3.
(3)方程化为4x2-5x+1=0,
所以x1+x2=-−54=54,x1x2=14.
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1,x2,则x1+x2=-ba,x1x2=ca.
探究点2 根与系数的关系的应用
典例2 已知5是方程x2+mx-5=0的一个根,求m的值及方程的另一根.
[解析] 解法1:设方程的另一个根为x1,则有5+x1=-m,5·x1=-5,得x1=-1,m=-4,所以方程的另一个根为-1,m的值为-4.
解法2:由题意得52+5·m-5=0,解得m=-4.
当m=-4时,方程为x2-4x-5=0,
解得x1=-1,x2=5,
所以方程的另一个根为-1,m的值为-4.
典例3 已知x1,x2是方程2x2+14x-16=0的两实数根,那么x2x1+x1x2的值为 .
[解析] 由题意,得x1+x2=-7,x1x2=-8.
x2x1+x1x2=x12+x22x1x2=(x1+x2)2−2x1x2x1x2=-(−7)2−2×(−8)8=-658.
[答案] -658
一元二次方程根与系数的关系,常用的拓展公式有:
x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2;1x1+1x2=x1+x2x1x2;x12x2+x2x12=x1x2·(x1+x2).
变式训练 若x1,x2是关于x的方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根,且x1+x2=1-x1x2,求m的值.
[解析] 因为x1,x2是关于x的方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根,
所以x1+x2=2m,x1·x2=m2-m-1.
因为x1+x2=1-x1x2,
所以2m=1-(m2-m-1),
即m2+m-2=(m+2)(m-1)=0,
解得m1=-2,m2=1.
因为方程x2-2mx+m2-m-1=0有实数根,
所以Δ=(-2m)2-4(m2-m-1)=4m+4≥0,
解得m≥-1,所以m=1.
三、板书设计
一元二次方程的根与系数的关系
1.利用求根公式推导根与系数的关系:由ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1=−b+b2−4ac2a,x2=−b−b2−4ac2a得x1+x2=-ba,x1x2=ca.
2.利用一元二次方程的根与系数的关系求方程中未知数的值.
◇教学反思◇
本节主要探究一元二次方程根与系数的关系.在教学中主要通过填表的形式,让学生先发现规律,通过一些特殊的方程归纳出一般一元二次方程中根与系数的关系,再从理论上加以验证,经历从特殊到一般的科学探究过程.
一元二次方程
x1
x2
x1+x2
x1x2
x2+2x+1=0
x2-x=0
2x2-3x+1=0
5x+2x-3=0