北师大版（2024）九年级上册（2024）1 相似多边形优秀第1课时教案

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第1课时 比例线段及相似多边形
1.知道线段的比的概念，会计算两条线段的比．
2.理解成比例线段的概念及掌握成比例线段的判定方法．
3.理解相似的概念，会判断相似图形；理解相似三角形、相似多边形、相似比的概念，掌握相似三角形的性质．
4.通过现实情境，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学应用意识．
重点：准确计算两条线段的比；理解相似多边形、相似比的概念．
难点：成比例线段的判定；相似多边形的性质．
知识链接
我们小学就学习过比，你还记得比的有关知识点吗？
探究点一：线段的比和成比例线段
议一议：观察教材P60图3－1的图片，你能找出形状相同的图形吗？这些形状相同的图形有什么不同？
形状相同而大小不同的两个平面图形，较大的图形可以看成是由较小的图形“放大”得到的，较小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的．在这个过程中，两个图形上的相应线段也被“放大”或“缩小”．因此，对于形状相同而大小不同的两个图形，我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系．
概念引入：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB∶CD=m∶n，或写成ABCD=mn，其中，线段AB，CD分别叫作这个线段比的前项和后项．如果把mn表示成比值k，那么ABCD=k，或AB=k•CD．两条线段的比实际上就是两个数的比．
（1）若线段AB=6 cm，CD=4 cm，则ABCD= 32 ．
（2）若线段AB=8 cm，CD=2 dm，则ABCD= 25 ．
思考：两条线段长度的比与所采用的长度单位是否有关？
有关，求两条线段的比时，所使用的长度单位应该统一．
做一做：如图，已知小方格的边长均为1，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的顶点都在格点上．
问题1：AB，AE，A′B′，A′E′的长度分别是多少？
解：AB=2，AE=22，A′B′=1，A′E′=2．
问题2：分别计算ABA′B′，BCB′C′，ABBC，A′B′B′C′的值，你发现了什么？
解：ABA′B′=21=2，BCB′C′=222=2，ABBC=222=22，A′B′B′C′=12=22，ABA′B′=BCB′C′，ABBC=ABB′C′．
概念引入：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即ab=cd，那么这四条线段a，b，c，d叫作成比例线段，简称比例线段．在图中，AB，A′B′，BC，B′C′是成比例线段，AB，BC，A′B′，B′C′也是成比例线段．
判断下列线段a，b，c，d是否是成比例线段：
（1）a=4，b=6，c=5，d=10；（2）a=2，b=5，c=215，d=53．
解：（1）∵ab=46=23，cd=510=12，∴ab≠cd．∴线段a，b，c，d不是成比例线段．
（2）∵ab=25=255，cd=21553=255，∴ab=cd．∴线段a，b，c，d是成比例线段．
思考：如果a，b，c，d四个数成比例，即ab=cd，那么ad=bc吗？如果ad=bc，那么等式ab=cd还成立吗？与同伴交流．
归纳总结：如果ab=cd，那么ad=bc．如果ad=bc（a，b，c，d都不等于0），那么ab=cd．
探究点二：相似多边形的定义与性质
观察图，你认为五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的形状相同吗？
问题1：在这两个多边形中，是否有对应相等的内角？设法验证你的猜想．
可以使用度量法测量每个角的大小．∠A与∠A′，∠B与∠B′，∠C与∠C′，∠D与∠D′，∠E与∠E′分别相等，称为对应角．
问题2：在这两个多边形中，相等内角的两边是否成比例？
AB与A′B′，BC与B′C′，CD与C′D′，DE与D′E′，EA与E′A′的比都相等，称为对应边．
概念引入：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫作相似多边形．五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′相似，记作：五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，“∽”读作“相似于”．相似多边形的对应边的比叫作相似比．
下列各选项中的矩形与如图所示的矩形不相似的是（A）
如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求角α，β的大小和EH的长度x．
解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，∴它们的对应角相等．由此可得∠α=∠C=83°，∠A=∠E=118°．在四边形ABCD中，∠β=360°－（78°＋83°＋118°）=81°．∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，∴它们的对应边成比例，由此可得EHAD=EFAB，即x21=2418，解得x=28.
思考：
（1）两个全等三角形相似吗？为什么？
相似．两个全等三角形对应角相等，对应边相等，它们是相似比为1的相似三角形．
（2）任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形呢？任意两个正n边形呢？
已知等边三角形的每个角都为60°，三边都相等．所以满足边数相等，对应角相等，以及对应边的比相等．同理，任意两个正方形也相似．任意两个边数相等的正多边形都相似．
（3）任意的两个菱形相似吗？
任意的两个菱形不一定相似，因为各内角不一定都相等．
做一做：一块长3.1 m、宽1.5 m的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5 cm．边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？
不相似．因为两个矩形的边不成比例．
1.下列线段中，能成比例的是( D )
A.3cm，6cm，8cm，9cm
B.3cm，5cm，6cm，9cm
C.3cm，6cm，7cm，9cm
D.3cm，6cm，9cm，18cm
2.已知2x＝3y，则下列比例式成立的是( C )
A.x2＝3yB.x2＝y3
C.x3＝y2D.xy＝23
3.如图，点B是线段AC上的一点，且线段AB∶BC＝2∶3，则线段AB∶AC等于( A )
A.2∶5B.5∶2
C.3∶5D.5∶3
4.下列图形一定相似的是( D )
A.所有的三角形
B.所有的菱形
C.所有的矩形
D.所有的正方形
5.已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，下列四个矩形中与矩形ABCD相似的是( A )