初中数学冀教版（2024）九年级上册（2024）第二十四章 一元二次方程24.3 一元二次方程根与系数的关系精品第3课时综合训练题

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本课核心问题
一元二次方程的两根之和、两根之积与系数之间存在怎样的确定关系？借助这个关系，能不解方程就解决哪些问题？
一、学习目标
1. 掌握一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=-ba，x1·x2=ca，并知道它的成立条件是 a≠0 且 b²-4ac≥0
2. 能不解方程，先判别根的情况，再根据系数直接求出两根的和与积
3. 会运用根与系数的关系求含参数方程中参数的值与方程的根，能用两种方法由两根写出方程
二、重点
• 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）及其成立条件
• 不解方程求两根之和与积的规范步骤与符号处理
三、难点
• 逆向应用：由两根之间的数量关系建立含参数的等式求参数，并代回检验
学习支架
两根之和、两根之积与系数的对照表
一元二次方程根与系数的关系
最常见的符号错误
用根与系数的关系求两根和与积的步骤
1. 把方程化为一般形式，写出 a、b、c（注意符号）
2. 计算 b²-4ac，判断是否有实数根
3. 代入 x1+x2=-ba、x1·x2=ca 求出和与积
4. （需要时）代回原方程检验
由两根构造方程（二次项系数为1）
四、知识要点
1. 从具体方程中观察、猜想根与系数的关系
先求根，再比较。方程 x²-7x+10=0 的两根为 x1=2，x2=5。两根之和：2+5=7，恰好是一次项系数 -7 的相反数；两根之积：2×5=10，恰好等于常数项 10。再看方程 2x²+3x-9=0，由求根公式求得两根为 x1=32，x2=-3。两根之和：32+(-3)=-32，等于 -ba=-32；两根之积：32×(-3)=-92，等于 ca=-92。猜想：对于 ax²+bx+c=0（a≠0），若两根为 x1、x2，则
x1+x2=-ba，x1·x2=ca。
2. 用求根公式验证，得到根与系数的关系
设 b²-4ac≥0，方程 ax²+bx+c=0 的两根为
x1=(−b+b2−4ac)(2a)，x2=(−b−b2−4ac)(2a)。x1+x2=[(−b+b2−4ac)+(−b−b2−4ac)](2a)=(−2b)(2a)=-ba；x1·x2=[(−b)2−(b2−4ac)2](4a2)=(b2−(b2−4ac))(4a2)=(4ac)(4a2)=ca。于是得到一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：如果一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）的两根分别为 x1、x2，且 b²-4ac≥0，那么
x1+x2=-ba，x1·x2=ca。成立条件：① a≠0；② 方程必须有实数根，即 b²-4ac≥0。
3. 不解方程，求两根的和与积
应用步骤：第一步：把方程化为一般形式 ax²+bx+c=0，写清 a、b、c 的值（注意符号）；第二步：计算 b²-4ac，判断根的情况；第三步：只有当 b²-4ac≥0 时，才可用 x1+x2=-ba、x1·x2=ca 直接求出和与积。例：方程 x²-3x-8=0 中 a=1，b=-3，c=-8，b²-4ac=(-3)²-4×1×(-8)=41>0，所以 x1+x2=3，x1·x2=-8。根的情况与判别式对应：b²-4ac>0 时方程有两个不相等的实数根，b²-4ac=0 时有两个相等的实数根，b²-4ac0，方程有两个不相等的实数根。由根与系数的关系：x1+x2=-ba=-(−5)1=5；x1·x2=ca=-61=-6。求 x1²+x2²：x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1·x2=5²-2×(-6)=25+12=37。
【点拨】不解方程求 x1²+x2² 的关键，是把平方和配凑成"和的平方减去两倍积"。这是根与系数的关系与整式变形结合的典型用法。
【例2】
已知关于 x 的一元二次方程 x²-6x+k=0（k 为常数）的两个实数根分别为 x1、x2，且 3x1+x2=10，求 x1、x2 及 k 的值。
【解答】由根与系数的关系：x1+x2=6，x1·x2=k。又已知 3x1+x2=10。两式相减：(3x1+x2)-(x1+x2)=10-6，得 2x1=4，即 x1=2。代入 x1+x2=6，得 x2=4。所以 k=x1·x2=2×4=8。检验：把 k=8 代回原方程得 x²-6x+8=0，其两根为 2 和 4，且 3×2+4=10，满足附加条件；判别式 (-6)²-4×1×8=4>0，符合"有两个实数根"的条件。
【点拨】先由根与系数的关系建立等式，再与题目给出的附加条件联立。求出的参数一定要代回检验判别式，防止出现不满足"有实数根"的无效解。
【例3】
已知一元二次方程的两个根分别为 -1 和 4，请用两种不同的方法写出这个方程。
【解答】方法一（因式形式展开）：以 -1、4 为根的因式形式为 (x+1)(x-4)=0，展开得 x²-3x-4=0。方法二（利用根与系数的关系）：x1+x2=-1+4=3，x1·x2=-1×4=-4，所以二次项系数为 1 的方程为 x²-3x-4=0。两种方法得到同一个方程：x²-3x-4=0。
【点拨】注意这个方程不唯一：方程两边同乘任意非零常数（如 2x²-6x-8=0），两根仍是 -1 和 4。因此回答"写出一个方程"时，一般取系数最简、二次项系数为 1 的方程。
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 方程 x²-7x+12=0 的两根之和为（________），两根之积为（________）。
2. 方程 2x²+3x-1=0 的两根之和为（________），两根之积为（________）。
3. 若 x1、x2 是方程 ax²+bx+c=0（a≠0）的两根，则 x1+x2=ba。（ ）
4. 方程 x²+2x+5=0 的两根之和为 -2。（ ）
5. 已知方程 x²-3x+1=0 的两根分别为 x1、x2，则 x1+x2=（________），x1·x2=（________）。
6. 不解方程，判断方程 3x²-7x+2=0 根的情况，并求出两根的和与积。
7. 方程 x²+4x=0 的两根之和为（________），两根之积为（________）。
8. 若一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）有实数根，则 x1·x2=ca。（ ）
★★ 能力提升
9. 已知一元二次方程 x²-2x-k=0 的两根之积为 3，则 k 的值为（________）。
A. -3 B. 3
C. -2 D. 2
10. 若方程 x²+(k-1)x+3=0 的两根之和为 6，则 k 的值为（________）。
A. 7 B. 6
C. -5 D. -7
11. 已知关于 x 的一元二次方程 x²-4x+k=0 的两个实数根 x1、x2 满足 x1=3x2，求 k 的值及两根。
12. 已知关于 x 的一元二次方程 x²-2x+4k=0 有两个相等的实数根。（1）求 k 的值；（2）求两根的和与积。
13. 已知一元二次方程的两个根分别为 2 和 -3，用两种不同的方法写出这个方程，并说明这样的方程是否唯一。
★★★ 拓展延伸
14. 已知方程 x²-3x+1=0 的两根分别为 x1、x2，不解方程，求 x2x1+x1x2 的值。
15. 已知关于 x 的一元二次方程 x²-(k+1)x-k²=0 的两个实数根的绝对值相等，求 k 的值及方程的两个实数根。
16. 已知关于 x 的一元二次方程 2x²-5x+m=0 的两个实数根 x1、x2 满足 x1²+x2²=134，求 m 的值。
参 考 答 案
第1题：7；12
【解析】a=1，b=-7，c=12；b²-4ac=49-48=1>0，有两个不相等的实数根。x1+x2=-ba=7，x1·x2=ca=12。[错因:方法]
第2题：-1.5（即-32）；-0.5（即-12）
【解析】a=2，b=3，c=-1；b²-4ac=9+8=17>0。x1+x2=-ba=-32，x1·x2=ca=-12。[错因:计算]
第3题：×
【解析】正确结论是 x1+x2=-ba，负号不可丢。[错因:知识]
第4题：×
【解析】先判根：b²-4ac=4-20=-160。x1+x2=3，x1·x2=1。[错因:方法]
第6题：Δ=25>0，有两个不相等的实数根；x1+x2=73，x1·x2=23
【解析】a=3，b=-7，c=2；b²-4ac=(-7)²-4×3×2=49-24=25>0，所以有两个不相等的实数根。x1+x2=-ba=73，x1·x2=ca=23。[错因:计算]
第7题：-4；0
【解析】方法一：因式分解 x(x+4)=0，得两根 0、-4，和 -4，积 0。方法二：a=1，b=4，c=0，x1+x2=-4，x1·x2=0。常数项为 0 时两根之积必为 0。[错因:方法]
第8题：√
【解析】在有实数根（b²-4ac≥0）的前提下，x1·x2=ca 恒成立。[错因:知识]
第9题：A
【解析】x1·x2=ca=-k=3，所以 k=-3。[错因:计算]
第10题：C
【解析】x1+x2=-(k-1)=6，所以 k-1=-6，k=-5。[错因:计算]
第11题：x1=3，x2=1，k=3
【解析】由根与系数的关系，x1+x2=4。又 x1=3x2，代入得 3x2+x2=4，x2=1，x1=3。所以 k=x1·x2=3。检验：k=3 时方程 x²-4x+3=0 的两根为 1、3，满足 x1=3x2；判别式 16-12=4>0，符合条件。[错因:方法]
第12题：k=0.25（即14）；x1+x2=2，x1·x2=1
【解析】（1）有两个相等的实数根，则 b²-4ac=(-2)²-4×1×4k=4-16k=0，解得 k=14。（2）两根相等，由根与系数的关系：x1+x2=-ba=2，x1·x2=ca=4k=1（也可知两根同为 1）。[错因:方法]
第13题：x1+x2=-1，x1·x2=-6，故二次项系数为 1 的方程为 x²+x-6=0；用因式形式 (x-2)(x+3)=0 展开得同一方程。方程不唯一，两边同乘任意非零常数仍以 2、-3 为根。
【解析】方法一（韦达公式）：x1+x2=2+(-3)=-1，x1·x2=2×(-3)=-6，方程为 x²-(-1)x+(-6)=0，即 x²+x-6=0。方法二（因式展开）：(x-2)(x+3)=0，展开得 x²+x-6=0。两种方法殊途同归；再乘非零常数如 2，得 2x²+2x-12=0，两根仍为 2、-3，故方程不唯一。[错因:理解]
第14题：7
【解析】由根与系数的关系：x1+x2=3，x1·x2=1。x2x1+x1x2=(x12+x22)(x1·x2)=((x1+x2)2−2x1·x2)(x1·x2)=(32−2×1)1=7。全程没有解出两根，只用了和与积。数学思想：整体代换、转化化归。[错因:方法]
第15题：k=-1，方程的两个实数根为 1 和 -1
【解析】设两根为 x1、x2。|x1|=|x2| 有两种可能：情形一：x1=x2，则判别式 Δ=0。Δ=(k+1)²-4×1×(-k²)=5k²+2k+1，令其为 0，得 5k²+2k+1=0，其判别式 4-20=-160，满足条件。综上：k=-1，两根为 1 和 -1。数学思想：分类讨论必须穷举两种情形，并逐一检验。[错因:方法]
第16题：m=3
【解析】由根与系数的关系：x1+x2=52，x1·x2=m2。x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1·x2=(52)²-2×(m2)=254-m。由题意 254-m=134，解得 m=3。检验：m=3 时判别式 Δ=25-24=1>0，方程有两个实数根，符合题意。数学思想：方程思想、转化化归。[错因:计算]方程
a
b
c
两根
x1+x2
x1·x2
x²-7x+10=0
1
-7
10
2，5
7
10
2x²+3x-9=0
2
3
-9
32，-3
-32
-92
错误
正确
x1+x2=ba（漏掉负号）
x1+x2=-ba
两根
两根之和
两根之积
方程
2，3
5
6
x²-5x+6=0
-1，4
3
-4
x²-3x-4=0