初中数学冀教版（2024）九年级上册（2024）27.3 反比例函数的应用精品第3课时同步测试题

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本课核心问题
怎样从实际问题中发现反比例关系，并用函数表达式、图象和性质解决其中的求值与取值范围问题？
一、学习目标
1. 能从实际问题中识别反比例关系（两个量的乘积为定值），写出函数表达式，并确定自变量的实际取值范围
2. 能利用反比例函数的图象和性质分析实际问题中变量的变化趋势，并确定相关量的取值范围
3. 能由函数图象上的点用待定系数法确定函数表达式，并用它解决求值与解释实际意义的问题
二、重点
• 根据“两个量的乘积为定值”建立反比例函数表达式，并确定自变量的实际取值范围
• 利用反比例函数的图象和性质解决变化趋势与取值范围问题
三、难点
• 把实际问题中的限制条件转化为自变量的取值范围，并据此确定另一变量的取值范围，正确处理边界等号
学习支架
气体密度例中体积 V 与密度 p 的对应值
汽车通过 45 km 路段所用时间 t 的取值范围
p=7V 的图象（V>0）
面条总长度 y 与横截面面积 S 的关系图象
四、知识要点
1. 从实际问题中识别反比例关系、建立函数表达式
判断两个量是否成反比例关系，关键是看它们的乘积是否为定值。例：在一段长为 45 km 的公路上，行驶路程是定值。设平均速度为 v（km/h），所用时间为 t（h），则 vt=45，即 t=45v。例：质量为 7 kg 的某种气体，体积为 V（m³）、密度为 p（kg/m³），则 pV=7，即 p=7V。关键结论：当两个量的乘积是定值 k（k≠0）时，一个量是另一个量的反比例函数，表达式为 y=kx。写表达式后，还应注意变量在实际情境中的意义，如 V>0、S>0。
2. 确定自变量的实际取值范围
实际问题中的自变量，不仅要满足函数本身的要求（x≠0），还要满足实际条件的限制。例：公路上规定速度最低为 60 km/h、最高为 100 km/h，即 60≤v≤100。由 t=45v：当 v=100 时 t 最小，t=45100=0.45（h）；当 v=60 时 t 最大，t=4560=0.75（h）。所以 t 的取值范围是 0.45≤t≤0.75（h）。关键结论：把实际条件写成不等式，代入函数表达式即可求出另一变量的取值范围；注意端点是否可取等号。
3. 用图象和性质分析变化趋势与取值范围
反比例函数 y=kx（k>0，x>0）的图象是位于第一象限内的一支双曲线，在这一支上，当 x 增大时，y 随之减小。例：p=7V 的图象上，体积 V 增大，密度 p 减小。当把气体装入容积不超过 2 m³ 的储气罐时，即 00 时 y 随 x 的增大而减小），也可以由图象直观看出；范围问题必须处理边界点：V=2 时 p=3.5，等号可取。
4. 用待定系数法确定表达式并解释系数的实际意义
已知反比例函数图象经过某一点（或知道两个量的一对对应值），就可以确定表达式。例：面条的总长度 y（m）是横截面面积 S（mm²）的反比例函数，图象经过 A(4,32)。设 y=kS，把 S=4、y=32 代入，得 32=k4，解得 k=128，所以 y=128S。此时 k=128 表示面条的总体积（总长度×横截面积）为定值。由 B(m,80) 在图象上，得 80=128m，解得 m=1.6，即横截面面积为 1.6 mm² 时面条总长度为 80 m。关键结论：待定系数法分三步——设表达式、代入已知点求 k、回代求解；系数 k 通常有实际意义，解释时要回到“乘积为定值”来理解。
5. 用反比例函数模型解决多类实际问题
压强 p=FS（压力一定）、功率 P=Wt（功一定）、电流 I=UR（电压一定）等物理关系，在相关量一定时都是反比例函数模型。解题步骤：① 找出乘积为定值的两个量，写出函数表达式；② 确定自变量的实际取值范围；③ 代入求值，或利用图象、性质判断变化趋势与取值范围；④ 结合情境检验结果是否合理，用规范单位作答。关键结论：同一个反比例模型可以对应行程、密度、压强、功率、电流等多种情境，关键步骤都是识别“哪个量为定值、哪两个量相乘等于它”。
五、典型例题
【例1】
在一段长为 45 km 的公路上，规定小汽车行驶的速度最低为 60 km/h、最高为 100 km/h。设小汽车行驶的平均速度为 v（km/h），所用时间为 t（h）。（1）写出 v 与 t 之间的函数关系式，并写出 t 的取值范围；（2）某司机开车用 30 min 通过了这段公路，请判断这辆汽车是否超速，并说明理由；（3）某天由于天气原因，要求行驶速度不得超过 75 km/h，小汽车通过该路段最少要用多长时间？
【例2】
气体的密度是指单位体积内所含气体的质量。现有质量为 7 kg 的某种气体，将它注入容积为 V（m³）的储气罐中后，气体的密度为 p（kg/m³）。（1）写出用 V 表示 p 的函数表达式；（2）当把这些气体装入容积为 4 m³ 的储气罐中时，它的密度为多大？（3）要使气体的密度为 2 kg/m³，需把这些气体装入容积是多少立方米的储气罐中？（4）画出这个函数的图象，并根据图象回答：①当气体的体积增大时，它的密度将怎样变化？②把这些气体装入容积不超过 2 m³ 的储气罐中，气体的密度 p 在什么范围内？
【例3】
厨师将一定质量的面团做成粗细一致的拉面时，面条的总长度 y（m）是面条横截面面积 S（mm²）的反比例函数，其图象经过 A(4,32)、B(m,80) 两点。（1）写出 y 与 S 之间的函数关系式；（2）求出 m 的值，并解释 m 的实际意义；（3）如果厨师做出的面条最细时横截面面积能达到 3.2 mm²，那么面条总长度不超过多少米？
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 一个矩形的面积为 36 m²，设它的宽为 x m、长为 y m，则 y 与 x 的函数关系式为（________），其中自变量 x 的取值范围是（________）。
2. 小明家买了 1000 千瓦·时电。设平均每天用电 x 千瓦·时，这些电能够使用 y 天，则 y 与 x 的函数关系式为（________）；当平均每天用电 5 千瓦·时时，这些电可以用（________）天。
3. 某蓄水池的储水量为 48 m³，排水速度为 v（m3ℎ）时，t h 可将满池水全部排空。若要在 6 h 内将满池水排空，则排水速度至少为（________）m3ℎ。
4. 质量为 7 kg 的气体，体积为 V（m³）时密度为 p（kg/m³），且 p=7V。当把这些气体装入容积为 4 m³ 的储气罐中时，它的密度为（________）。
5. 已知反比例函数的图象经过点 (2,5)，则这个函数的表达式为（________）。
6. 长方形的面积一定时，它的长和宽成反比例关系。（ ）
7. 在反比例函数 y=12x（x>0）中，y 随 x 的增大而减小。（ ）
8. 当电压一定时，通过导体的电流与电阻成正比例关系。（ ）
9. 某电路中的电压为 220 V，通过电器的电流 I（A）与它的电阻 R（Ω）满足 I=220R。当 R=110 Ω 时，通过它的电流是多少？当 R=220 Ω 时呢？
10. 已知 y 与 x 成反比例，当 x=4 时 y=6。当 x=8 时，y 的值是多少？
★★ 能力提升
11. 下列说法正确的是（________）。
A. 长方形的面积 12 m² 一定时，长与宽成正比例关系
B. 气体的质量一定时，密度与体积成反比例关系
C. 路程一定时，速度与时间成正比例关系
D. 电压一定时，电流与电阻成正比例关系
12. 某蓄水池的储水量为 48 m³，当排水速度为 v（m3ℎ）时，t h 可将满池水全部排空。（1）写出 v 与 t 之间的函数关系式，并写出 t 的取值范围；（2）如果在 4 h 内将满池水排空，那么每小时至少排水多少立方米？（3）已知最大排水速度为 16 m3ℎ，那么最少用多长时间可将满池水全部排空？
13. 一台机械做功时，做功的功 W 一定，功率 P（W）是做功时间 t（s）的反比例函数，其图象经过点 A(60,60)。（1）写出用 t 表示 P 的函数表达式；（2）当 t=90 s 时，求功率 P；（3）当功率 P=120 W 时，求做功所用的时间 t。
功率 P 与做功时间 t 的图象
14. 一块重约 24 N 的物体放在地面上，受力面积为 S（m²），对地面的压强为 p（Pa）。（1）写出用 S 表示 p 的函数表达式；（2）在下面的坐标系中，列表、描点并画出这个函数的图象（S>0 部分）；（3）根据图象回答：受力面积增大时，压强怎样变化？
在坐标系中画出 p=24S 的图象（S>0）
★★★ 拓展延伸
15. 一台机床重 1200 N，它的底面是长、宽分别为 80 cm、60 cm、40 cm 的长方体（三种放置方式分别以不同面着地）。（1）写出用受力面积 S（m²）表示压强 p（Pa）的函数表达式；（2）三种放置方式下，机床对地面的压强分别是多大？（3）哪种放置方式对地面的压强最大？为什么？
16. 厨师将一定质量的面团做成粗细一致的拉面时，面条的总长度 y（m）是横截面面积 S（mm²）的反比例函数，其图象经过点 B(5,24)。（1）写出 y 与 S 之间的函数关系式，并说明系数表示的实际意义；（2）当横截面面积为 8 mm² 时，面条总长度是多少米？（3）要使面条的总长度达到 60 m，横截面面积应为多少平方毫米？（4）结合图象说明：横截面面积越大，面条总长度怎样变化？
面条总长度与横截面面积的对应值
17. 工人师傅要在刚刚浇注过的水平水泥地面上进行作业，为了不破坏地面，常常要在地面上铺垫一些木板。一名工人体重为 700 N，不计木板的重力。（1）写出用受力面积 S（m²）表示压强 p（Pa）的函数表达式；（2）如果这名工人站立时双脚与地面的接触面积约是 0.035 m²，那么他对地面的压强约是多大？（3）如果木板的面积是 1 m²，这名工人站在木板上对地面的压强是多大？（4）为什么工人师傅铺垫木板后，地面就不容易被破坏？请说明理由。
Vm3
1
2
3.5
4
7
p(kg/m3)
7
3.5
2
1.75
1
● 0.45h
● 0.6h
● 0.75h
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
S/mm²
1
1.6
2
4
8
ym
120
75
60
30
15