高中数学人教A版 (2019)必修 第一册函数的基本性质学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册函数的基本性质学案，共6页。

1.函数的单调性与导数的关系
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域;
第2步，求出导函数f'(x)的零点;
第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f'(x)≥0恒成立;若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f'(x)≤0恒成立.
2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f'(x)>0有解;若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f'(x)0，则f(x)在定义域上一定单调递增.( )
(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数.( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√
解析 (1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f'(x)≥0.
(3)反例，f(x)＝－1x，虽然f'(x)＝1x2>0，但f(x)＝－1x在其定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具有单调性.
2.(人教B选修三P95A组T1改编)已知函数f(x)的定义域为[0，2]，且y＝f'(x)的图象如图所示，则f(x)的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
答案 (0，1) (1，2)
解析 由图知，当x∈(0，1)时，f'(x)>0，
当x∈(1，2)时，f'(x)2时，由y＝x3f'(x)0得f'(x)0，则f(x) 单调递增，若f'(x)0的解集为( )
A.(1，6)B.(1，4)
C.(－∞，1)∪(6，＋∞)D.(1，4)∪(6，＋∞)
答案 (1)C (2)D
解析 (1)由y＝f'(x)的图象可得:在(－∞，b)上f'(x)≥0，在(b，＋∞)上f'(x)0⇒f'(x)·f(x)>0，
由图可知，当x∈(－∞，4)时，
f(x)单调递增，f'(x)>0;
当x∈(4，＋∞)时，f(x)单调递减，f'(x)0，
则g'(x)＝1－ex0.讨论f(x)的单调性.
解 函数f(x)＝ax2－(a＋4)x＋2ln x的定义域为(0，＋∞)，
f'(x)＝2ax－(a＋4)＋2x
＝2ax2−(a＋4)x＋2x＝(ax−2)(2x−1)x，
因为a>0，由f'(x)＝0，
可得x1＝2a，x2＝12，
①当2a>12，即00，
f'(x)＝2(2x−1)2x≥0，
即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增;
③当2a4，
当2a0，
即函数f(x)在2a，12上单调递减，
0，2a和12，＋∞上单调递增.
综上所述，当00，
所以y'>0，y＝xsin x＋cs x在0，π2上是单调递增函数，C错误;
D中，y'＝cs x－xsin x－cs x＝－xsin x，
x∈(0，π)时，sin x>0，则y'0)可满足，故B可能成立;
对于C，f(x)＝2x和f'(x)＝2xln 2可满足，故C可能成立;
对于D，因为f'(x)≥0或f'(x)≤0，所以f(x)为单调函数，故D错误.故选D.
7.函数f(x)＝ln x2x的图象大致为( )
答案 C
解析 函数f(x)＝ln x2x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝ln(−x)2−x＝－ln x2x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除A，B;
当x>0时，函数f(x)＝2lnxx，
则f'(x)＝2(1−lnx)x2，
当00恒成立，所以B正确;
C项，f'(x)＝cs x－20，
所以f(x)的单调递减区间为0，32.
11.(2025·上海模拟)已知定义在(－3，3)上的奇函数y＝f(x)的导函数是f'(x)，当x≥0时，y＝f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式f'(x)x>0的解集为 .
答案 (－3，－1)∪(0，1)
解析 依题意f(x)是奇函数，图象关于原点对称，由图象可知，f(x) 在区间(－3，－1)，(1，3)上单调递减，f'(x)0的解集为(－3，－1)∪(0，1).
12.已知函数f(x)＝13x3＋mx2＋nx＋1的单调递减区间是(－3，1)，则m＋n的值为 .
答案 －2
解析 f'(x)＝x2＋2mx＋n，
由f(x)的单调递减区间是(－3，1)，
得f'(x)0).
又由题意知f'(1)＝1−ke＝0，所以k＝1.
(2)由(1)知，f'(x)＝1x−lnx−1ex(x>0).
设h(x)＝1x－ln x－1(x>0)，
则h'(x)＝－1x2－1x0，
f(x)在(1，＋∞)上单调递增.
当a>e2时，令f'(x)＝0，x＝ln(2a)，
当10，
f(x)在(ln(2a)，＋∞)上单调递增.
综上，当0e2时，f(x)在(1，ln(2a))上单调递减，在(ln(2a)，＋∞)上单调递增.
条件
恒有
结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导
f'(x)>0
f(x)在(a，b)上单调递增
f'(x)