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    必修第一册高一上数学第三章3.2.1《第2课时函数的最大(小)值》课件+教案
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    高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.2 函数的基本性质评课ppt课件

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.2 函数的基本性质评课ppt课件,文件包含321第2课时函数的最大小值ppt、321第2课时函数的最大小值教学设计docx等2份课件配套教学资源,其中PPT共30页, 欢迎下载使用。

    人教A版(2019)高中数学必修第一册

    3.2.12课时函数的最大(小)教学设计

    课题名

    3.2.12课时函数的最大(小)值

    教学目标

    1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.

    2.会借助单调性求最值.

    3.掌握求二次函数在闭区间上的最值

    教学重点

    掌握求二次函数在闭区间上的最值

    教学难点

    理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义

    教学准备

    教师准备:幻灯片、黑板、投影

    学生准备:笔、纸、课本

    教学过程

    一、 新课引入

    下列两个函数的图象

     

     

     

     

     

    观察这两个函数图象,图中有个最高点,那么这个最高点的纵坐标叫什么呢?

    设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则对函数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小关系如何?

    二、讲授新课

    函数的最大值

    一般地,设函数yf(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:

    (1)xI,都有 f(x)≤M

    (2)x0I,使得 f(x0)M .

    那么,我们称M是函数yf(x)的最大值,记作f(x)maxM.

    函数的最小值

    一般地,设函数yf(x)的定义域为I,如果存在实数N满足: xI,都有f(x)≥N x0I,使得f(x0)N,就称N是函数yf(x)最小值,记作f(x)minN.

    思考1函数f(x)=-x2≤1总成立吗? f(x)的最大值是1吗?

    f(x)=-x2≤1总成立,但是不存在x0使f(x0)1,所以f(x)的最大值不是1,而是0.

    思考2函数的最值与函数的值域有什么关系?

    函数值域是指函数值的集合,函数最大()值一定是值域的元素.如果值域是一个闭区间,那么函数的最大()值就是闭区间两端点的值.

    【小试牛刀】

    思辨解析(正确的打“√”,错误的打“×”)

    1)因为f(x)x21≥0恒成立,所以f(x)的最小值为0.(  )

    2)任何函数都有最大().(   )

    3)函数f(x)取最大值时,对应的x可能有无限多个.(   )

    4)如果f(x)的最大值、最小值分别为Mm,则f(x)的值域为[mM](   )

    ×  ×    ×

    题型 图象法求函数的最值

    点拨:图象法求最值的一般步骤

    画出函数图象

    观察图象,找出图象的最高点和最低点;

    写出最值,最高点的纵坐标是函数的最大值,最低点的纵坐标是函数的最小值.)

    1 如图所示为函数yf(x)x[4,7]图象,指出它的最大值、最小值及单调区间.

    解:观察函数图象可以知道,图象上位置最高的点是(3,3),最低的点是(1.5,-2),所以函数yf(x)x3时取得最大值,最大值是3.x=-1.5时取得最小值,最小值是-2.函数的单调递增区间为[1.5,3)[5,6),单调递减区间为[4,-1.5)[3,5)[6,7]

     

    【跟踪训练】1

    已知函数f(x)f(x)的最大值为________

    解析f(x)图象如图:则f(x)的最大值为f(2)2.

    题型二 利用单调性求函数的最大(小)值

    点拨:1.运用函数单调性求最值是求函数最值的常用方法,特别是当函数图象不易作出时,单调性几乎成为首选方法.首先判断函数的单调性,再利用单调性求出最值.

    2.注意对问题中求最值的区间与函数的单调区间之间的关系进行辨析,注意对问题中求最值的区间的端点值的取舍.

    2 已知f(x)

    (1)判断f(x)(1,+∞)上的单调性,并加以证明.

    (2)f(x)[2,6]上的最大值和最小值.

    解:(1)函数f(x)(1,+∞)上是减函数.

    证明:任取x2>x1>1,则f(x1)f(x2)

    因为x11>0x21>0x2x1>0

    所以f(x1)f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)

    所以f(x)(1,+∞)上是减函数.

    (2)(1)可知f(x)(1,+∞)上是减函数,

    所以f(x)[2,6]上是减函数,

    所以f(x)maxf(2)1f(x)minf(6)

    f(x)minf(x)max1.

     

    【跟踪训练】2

    已知函数f(x),求函数f(x)[1,5]上的最值.

    解:先证明函数f(x)的单调性,设x1x2是区间上的任意两个实数,且x2>x1>f(x1)f(x2).

    由于x2>x1>,所以x2x1>0,且(2x11)·(2x21)>0,所以f(x1)f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在区间上是减少的,所以函数f(x)[1,5]上是减少的,因此,函数f(x)在区间[1,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值,即最大值为f(1)3,最小值为f(5).

    题型三 求二次函数的最值

    点拨:二次函数的最值问题,解题策略一般都是讨论函数的定义域与对称轴的位置关系,往往分三种情况:(1)定义域在对称轴左侧;(2)对称轴在定义域内;(3)定义域在对称轴右侧.在讨论时可结合函数图象,便于分析、理解.

    3-1定轴定区间类型)已知函数f(x)x22x3,若x[0,2],求函数f(x)的最值。

    函数f(x)x22x3开口向上,对称轴x1f(x)[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,且f(0)f(2)f(x)maxf(0)f(2)=-3f(x)minf(1)=-4.

    3-2 定轴动区间类型)已知函数f(x)x22x3,若x[tt2],求函数f(x)的最值

    解:对称轴x1

    1≥t2t1时,f(x)maxf(t)t22t3

    f(x)minf(t2)(t2)22(t2)3t22t3.

    ≤1<t2,即-1<t≤0时,f(x)maxf(t)

    t22t3f(x)minf(1)=-4.

    t≤1<,即0<t≤1时,f(x)maxf(t2)

    t22t3f(x)minf(1)=-4.

    1<t,即t>1时,f(x)maxf(t2)t22t3

    f(x)minf(t)t22t3.

    设函数f(x)的最大值为g(t),最小值为φ(t),则有

    g(t)φ(t)

    3-3动轴定区间求二次函数f(x)x22ax2[2,4]上的最小值

    函数图象的对称轴是xaa<2时,f(x)[2,4]上是增函数,f(x)minf(2)64a.

    a>4时,f(x)[2,4]上是减函数,f(x)minf(4)188a.

    2≤a≤4时,f(x)minf(a)2a2.

    f(x)min

    【跟踪训练】3 已知函数f(x)x23,求函数f(x)的最值.

    t(t≥0),则x23=t22t3.(1)yt22t 3(t≥0)[0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.t1x1时,f(x)min=-4,无最大值.

    三、课堂小结

    1.函数的最大()值的概念及其几何意义.

    2.会借助单调性求最值:注意端点值的选取.

    3.掌握求二次函数在闭区间上的最值.

    四、当堂检测

    1.函数f(x)=-x24x1x[3,3]的值域是(   )

    A(5]     B[5,+∞)    C[20,5]     D[4,5]

    解析:f(x)=-(x2)25x=-2时,函数有最大值5;当x3时,函数有最小值-20,故选C.

    2.已知函数f(x)x[8,-4),则下列说法正确的是(  )

    Af(x)有最大值,无最小值      Bf(x)有最大值,最小值

    Cf(x)有最大值,无最小值       Df(x)有最大值2,最小值

    解析:f(x)2,它在[8,-4)上单调递减,因此有最大值f(8),无最小值

    3.函数f(x)的最大值为________

    解析:x≥1时,函数f(x)为减函数,所以f(x)x1处取得最大值,为f(1)1;当x<1时,易知函数f(x)=-x22x0处取得最大值,为f(0)2.故函数f(x)的最大值为2.

    4.函数f(x)[1b](b>1)上的最小值是,则b________.

    解析:因为f(x)[1b]上是减函数,所以f(x)[1b]上的最小值为f(b),所以b4.

    5.求函数f(x)x24x4在闭区间[tt1](tR)上的最小值.

    解:f(x)x24x4(x2)28.

    f(x)[tt1]上的最小值为g(t)

    t>2时,f(x)[tt1]上是增函数,

    g(t)f(t)t24t4

    t≤2≤t1,即1≤t≤2时,g(t)f(2)=-8

    t1<2t<1时,f(x)[tt1]上是减函数,

    g(t)f(t1)t22t7.

    综上,g(t)

    6.已知函数f(x)x[3,5]

    (1)判断函数在区间[3,5]上的单调性,并给出证明;

    (2)求该函数的最大值和最小值.

     

    布置作业

    完成对应课后练习

    板书设计

    1.函数最大、最小值的概念

    2.利用单调性求最值

    3.二次函数的最值

    教学反思

    学生总体上都可以掌握这次内容,不过对于二次函数的最值这一块还需要加强,特别是动轴定区间定轴定区间等情况下求最值。

     

     

     

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