高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质精品学案

课时3.2.2 函数的奇偶性

01考点梳理

知识点一  偶函数与奇函数

1．偶函数的概念

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．

2．奇函数的概念

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，

且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．

3．奇、偶函数的图象特征

(1)奇函数的图象关于________成中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．

(2)偶函数的图象关于________对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．

知识点二  用奇偶性求解析式

如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路：

(1)“求哪个设哪个”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.

(2)要利用已知区间的解析式进行代入.

(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x).

知识点三  函数的奇偶性与单调性

1.若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上                   ，即在对称区间上单调性                     .

2.若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上为单调递增，则f(x)在[－b，－a]上                   ，即在对称区间上单调性            .

02考点解读

题型一  函数奇偶性的判断 

1．已知函数，则（    ）

A．的极值点不止一个 B．的最小值为

C．的图象关于轴对称 D．在上单调递减

题型二  由奇偶性求函数解析式 

2．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中.

（1）求函数的解析式;

（2）若函数在区间不单调，求出实数的取值范围;

（3）当时，若，不等式成立，求实数的取值范围.

题型三  函数奇偶性的应用 

3．已知函数对任意的，都有，函数是奇函数，当时，，则方程在区间内的所有零点之和为_____________.

题型四  抽象函数的奇偶性 

4．f(x)是定义在R上的函数，对x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)<0，且f(-1)=1.

（1）求f(0)，f(-2)的值；

（2）求证：f(x)为奇函数；

（3）求f(x)在[-2，4]上的最值.

03题组训练

5．一个偶函数定义在[－7，7]上，它在[0，7]上的图象如图所示，下列说法正确的是（    ）

A．这个函数仅有一个单调增区间 B．这个函数有两个单调减区间

C．这个函数在其定义域内有最大值是7 D．这个函数在其定义域内有最小值是－7

6．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是

A．奇函数

B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数

D．非奇非偶函数

7．下列判断正确的是

A．函数是奇函数 B．函数是偶函数

C．函数是偶函数 D．函数既是奇函数又是偶函数

8．设偶函数的定义域为，当时是增函数，则，，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

9．已知函数是定义域为R的奇函数，且则________.

10．判断下列函数的奇偶性:

(1);

(2);

(3).

11．（Ⅰ）若奇函数是定义在上的增函数，求不等式（3）的解集；

（Ⅱ）若是定义在上的偶函数，且在区间，上是增函数，求不等式的解集．

12．设函数（且），对任意实数，满足．

（）求和的值．

（）求证：为偶函数．

（）若在上为减函数，试求满足不等式的的取值范围．