新高考数学一轮复习考点学案第三章§3.2导数与函数的单调性(一)（含答案解析）

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1.函数的单调性与导数的关系
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数f(x)的 ；
第2步，求出导数f '(x)的 ；
第3步，用f '(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f '(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f '(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.( )
(2)函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f '(x)>0.( )
(3)在(a，b)内f '(x)≤0且f '(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减.( )
(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数.( )
2.函数y＝f(x)的导函数f '(x)的图象如图所示，则下列判断中正确的是( )
A.f(x)在(－3，1)上单调递增
B.f(x)在(1，3)上单调递减
C.f(x)在(2，4)上单调递减
D.f(x)在(3，＋∞)上单调递增
3.函数f(x)＝xln x的单调递减区间为( )
A.0，1eB.1e，＋∞
C.(1，＋∞)D.(0，1)
4.(2025·南通模拟)已知函数f(x)＝x2－ax＋ln x(a∈R)的单调递减区间为12，1，则a＝ .
谨防四个易误点
(1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间时，要坚持“定义域优先”原则.
(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增(或递减)区间写成并集形式.
(3)函数f(x)在区间(a，b)内单调递增(或递减)，可得f '(x)≥0(或f '(x)≤0)在该区间恒成立，而不是f '(x)>0
(或f '(x)0，则f(x)单调递增，若f '(x)0的解集为 ( )
A.1，6
B.1，4
C.−∞，1∪6，＋∞
D.1，4∪6，＋∞
题型二 不含参函数的单调性
例2 (1)若函数f(x)＝12x2－3x－4ln x，则函数f(x)的单调递减区间为( )
A.(－∞，－1)，(4，＋∞)
B.(－1，4)
C.(0，4)
D.(4，＋∞)
(2)若函数f(x)＝lnx＋1ex，则函数f(x)的单调递增区间为 .
思维升华 确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开.
跟踪训练2 (1)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A.f(x)＝sin 2x
B.f(x)＝xex
C.f(x)＝x3－x
D.f(x)＝－x＋ln x
(2)已知定义在区间[0，π]上的函数f(x)＝x＋2cs x，判断函数f(x)的单调性.
题型三 含参数的函数的单调性
例3 (2025·扬州模拟)已知函数f(x)＝ax2－(a＋4)x＋2ln x，其中a≠0.试讨论f(x)的单调性.
思维升华 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点.
跟踪训练3 已知函数f(x)＝aex－x，a∈R.
试讨论函数f(x)的单调性.
答案精析
落实主干知识
1.单调递增 单调递减 常数函数
2.定义域 零点
自主诊断
1.(1)√ (2)× (3)√ (4)√
2.C [当x∈(－3，0)时，f '(x)0)，
φ'(x)＝－1x2－1x0，
即f '(x)>0，
当x∈(1，＋∞)时，φ(x)0，符合题意；
对于C，f '(x)＝3x2－1，f '13＝－230，f '(x)＝2(2x−1)2x≥0，即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
③当a>4时，则00
f(x)在区间(a，b)上_______________
f '(x)