第二章 第3节　单调性与最大(小)值(一) 学案 2027届高中数学人教A版（2019）一轮复习

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1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间.
2.函数的最值
1.函数单调性的常用结论
(1)若f(x)，g(x)均在区间A上单调递增(减)，则y＝f(x)＋g(x)也在区间A上单调递增(减).
(2)函数y＝f(x)(f(x)≠0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝1f(x)的单调性相反.
2.函数最值的结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值;当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点处取得.
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)对于函数y＝f(x)，若f(1)0，则函数f(x)在区间I上是增函数.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
解析 (1)错误，应对任意的x1f(x1)，
所以函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，故选C.
(2)由题意，要使函数y＝x2＋2x−24有意义，需满足x2＋2x－24≥0，
解得x≤－6或x≥4，
又由t＝x2＋2x－24在(－∞，－6]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增，
结合复合函数的单调性的判定方法，
可得函数y＝x2＋2x−24的单调递减区间是(－∞，－6].
感悟提升 1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.
2.(1)函数单调性的判断方法:①定义法;②图象法;③利用已知函数的单调性;④导数法.
(2)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.
易错警示 函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”.
训练1 (1)(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A.f(x)＝xB.f(x)＝0.5x
C.f(x)＝x|x|D.f(x)＝x＋1x
(2)函数g(x)＝x|x－1|＋1的单调递减区间为 .
答案 (1)AC (2)12，1
解析 (1)对于A，f(x)＝x＝x12在(0，＋∞)上单调递增，故A正确;
对于B，f(x)＝0.5x在(0，＋∞)上单调递减，故B错误;
对于C，f(x)＝x|x|＝x2，x>0，
则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故C正确;
对于D，f(x)＝x＋1x，由于f13＝103，f12＝52，f13>f12，
可知f(x)在(0，＋∞)上不是单调递增函数，故D错误.
(2)g(x)＝x|x－1|＋1＝x2−x＋1，x≥1，−x2＋x＋1，x