新北师大版初中数学九上2-3 一元二次方程的根与系数的关系 教案

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）第二章 一元二次方程3 一元二次方程的根与系数的关系教案设计，共3页。教案主要包含了核心素养目标，教学重点及难点，教学过程，随堂练习，课堂小结，板书设计等内容，欢迎下载使用。
1.熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系；
2.能够运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题.
二、教学重点及难点
重点：掌握一元二次方程根与系数的关系，并能直接运用其进行简单计算.
难点：灵活运用根与系数的关系解决变形求值、参数求解等综合性问题.
三、教学过程
【新知导入】
回顾方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式.
学生回答：.
教师提出：求根公式不仅表示可以由方程的系数a、b、c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系.一元二次方程根与系数之间有什么关系呢？
设计意图：借助复习求根公式搭建知识桥梁，点明公式本身蕴含系数与根的内在关联，顺势抛出探究问题，自然引出本节课的学习内容，激发学生的求知欲.
【探究新知】
教师提出：由前面的学习我们知道，如果一元二次方程ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)(a≠0，x1，x2是实数)，那么一元二次方程ax2+bx+c=0必有两个实数根x=x1，x=x2.
反过来，如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)一定成立吗？
设计意图：从因式分解形式入手设问，建立方程、因式、根三者的逻辑联系，引导学生逆向思考等式成立性，为后续展开两根和、两根积的代数推导铺垫理论依据，铺垫韦达定理的推导根基.
教师提出：2x2-3x+1=0的两根为：x1=，x2=1，那么2x2-3x+1和2(x-)(x-1)相等吗？
学生通过计算进行比较并回答：2(x-)(x-1)=(2x-1)(x-1)=2x2-2x-x+1=2x2-3x+1，
所以2x2-3x+1和2(x-)(x-1)相等.
教师追问1：x2-2x+1=0的两根为：x1=1，x2=1，那么x2-2x+1=0和(x-1)(x-1)相等吗？
x2-5x+6=0的两根为：x1=2，x2=3，那么x2-5x+6=0和(x-2)(x-3)相等吗？
学生类比上面的方法进行计算并回答.
(x-1)(x-1)=x2-x-x+1=x2-2x+1=0，所以x2-2x+1=0和(x-1)(x-1)相等.
(x-2)(x-3)=x2-3x-2x+6=x2-5x+6，所以x2-5x+6=0和(x-2)(x-3)相等.
教师追问2：你认为ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)是否一定成立？与同伴进行交流.
学生同桌之间进行讨论，形成共识后教师选取学生代表进行回答，教师根据回答进行总结.
如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).
设计意图：先用三道具体方程实操演算，再通过同桌讨论从特殊实例归纳出一般恒等结论，
让学生直观验证ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，为后续展开两根之和、两根之积的韦达定理推导筑牢等式基础，降低抽象公式的理解难度.
教师提出：如果一元二次方程ax2+bx+c有两个实数根x1，x2，那么这两个实数根与该方程的系数有怎样的关系呢？
教师引导学生进行计算，发现结论.
ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
因为a(x-x1)(x-x2)=ax2-a(x1＋x2)x+ax1x2
所以ax2+bx+c=ax2-a(x1＋x2)x+ax1x2
所以，于是.
归纳总结一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)，学生做笔记.
如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，那么，.
教师强调：满足上述关系的前提条件：b2-4ac≥0.
设计意图：依托上一步得到的因式恒等式展开代数对比推导，通过等式两边同类项系数对应相等，顺理推出两根和、两根积与一元二次方程的系数的关系式，完整呈现韦达定理的推导过程；同步点明判别式非负的适用前提，让学生知其然更知其所以然，锻炼代数恒等变形与对比分析能力，牢固建立根与系数的数量联系.
【例题练习】
利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
(1)x2+7x+6=0；(2)2x2-3x-2=0.
教师引导学生进行分析.
(1)①找对应系数：a=1，b=7，c=6；②判断b2-4ac≥0；③确定方程根的情况；④根据根与系数的关系求解.
(2)①找对应系数：a=2，b=-3，c=-2；②判断b2-4ac≥0；③确定方程根的情况；④根据根与系数的关系求解.
解：(1)这里a=1，b=7，c=6，∆=b2-4ac=72-4×1×6=25>0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=-7，x1x2=6.
(2)这里a=2，b=-3，c=-2，∆=b2-4ac=(-3)2–4×2×(-2)=25>0，
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=-1.
设计意图：选取两道基础例题，示范运用韦达定理的标准解题四步骤，先核验判别式保证定理适用，再准确匹配a、b、c代入公式计算；通过规范板书步骤，纠正符号易错问题，夯实学生套用根与系数关系的基础运算能力，落实本节课核心应用要点.
四、随堂练习
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
设计意图：通过练习，及时巩固课堂所学，加深学生对新知的理解，牢牢掌握新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.一元二次方程的根与系数的关系；
2.运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题.
六、板书设计
一元二次方程的根与系数的关系
如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，那么，.