北师大版（2024）九年级上册6 应用一元二次方程第1课时教学设计

这是一份北师大版（2024）九年级上册6 应用一元二次方程第1课时教学设计，共6页。教案主要包含了教学目标，教学重点及难点，教学用具，相关资，教学过程，课堂小结，板书设计等内容，欢迎下载使用。

第1课时
一、教学目标
1．经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型．
2．在列方程解决实际问题的过程中，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤，进一步提高分析问题、解决问题的能力．
3．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，增强数学应用意识和能力．
二、教学重点及难点
重点：经历和体验利用一元二次方程解决实际问题的过程，建立数学模型．
难点：建立方程模型．
三、教学用具
多媒体课件.
四、相关资
《一元二次方程的应用轮船是否安全》动画、《一元二次方程的应用》微课.
五、教学过程
【复习引入】
在以前的课程中我们学习了利用一元一次方程、二元一次方程组解决实际问题，现在我们学习了一元二次方程，能不能用一元二次方程解决实际问题呢？如果能，那么解题的具体步骤是怎样的？一元二次方程的解常常都有两个，这两个解都是实际问题的答案吗？带着以上的疑问，今天我们就来研究怎样利用一元二次方程解决实际问题．
1．解一元二次方程有哪些方法？
师生活动：根据之前所学到的解一元二次方程的方法可知，有配方法、公式法、因式分解法等．
2．列一元一次方程解应用题的步骤？
师生活动：①审题；②设出未知数；③找等量关系；④列方程；⑤解方程；⑥答．
教师活动：教师出示问题，引出课题．
学生活动：学生倾听、思考，初步了解本节课所要研究的问题．
设计意图：通过类比联想，感知解应用题的思路模式．为建立数学模型打下基础．复习一元二次方程的三种解法，为本节课根据实际问题选择适当的方法解一元二次方程作铺垫；复习列一元一次方程解应用题的步骤是列一元二次方程解应用题的基础，达到由熟悉的知识过渡到本节课的新知识，从而激发了学生学习的兴趣．
【探究新知】
如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m．
如果梯子的顶端下滑1 m时，梯子底端滑动的距离大于1 m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？
（2）如果梯子的长度是13 m，梯子顶端与地面的垂直距离为12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？
学生活动：学生先独立思考，然后分组讨论，相互交流、启发．
教师活动：在学生独立思考后，教师巡视并参与到学生的讨论中，听学生的想法并及时了解学生的思路．
解：（1）设梯子顶端下滑x m时，梯子底端滑动的距离和它相等．
根据题意，得(8-x)2+(6+x)2=102．解得x1=0，x2=2．x1=0不合题意，应舍去．所以x=2．
答：当梯子顶端下滑2 m时，梯子底端滑动的距离和它相等．
（2）设梯子顶端下滑x m时，梯子底端滑动的距离和它相等．
根据题意，得(12-x)2+(5+x)2=132．解得x1=0，x2=7．x1=0不合题意，应舍去．所以x=7．
答：当梯子顶端下滑7 m时，梯子底端滑动的距离和它相等．
设计意图：以本章第一节课出现的问题作为素材，激发学生解决问题的欲望．通过引导学生分析已知量和未知量的关系，建立一元二次方程从而解决实际问题的过程，让学生进一步了解利用方程解决实际问题的步骤，以及要根据题意对方程的解进行取舍．
总结 列一元二次方程解应用题的步骤可以归纳为：审、找、设、列、解、验、答．
其具体过程是：
（1）审题：阅读题目，明确已知量与未知量；
（2）找等量关系：寻找已知量和未知量之间的联系，用运算符号和等号连接；
（3）设未知数：一是直接设所求的量为x，二是间接设与所求的量紧密相关且起着关键性作用的量为x，注意设未知数要带单位；
（4）列方程：用含有x的代数式把等量关系中的各个量表示出来，列出方程；
（5）解方程：选择合适的方法解方程；
（6）检验：检验两个解是否都符合题意，舍去不符合题意的解；
（7）写答．
【典例精析】
例 如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200 n mile处有一重要目标B，在B的正东方向200 n mile处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头．小岛F位于BC的中点．一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．
已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1 n mile）
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师适当引导．
连接DF，构造Rt△DEF，本题中的等量关系：速度等量：V军舰=2×V补给船；时间等量：t军舰=t补给船；三边数量关系：EF2+FD2=DE2．
解：连接DF．∵AD=CD，BF=CF，∴DF是△ABC的中位线．
∴DF//AB，且DF=AB．
∵AB⊥BC，AB=BC=200 n mile，∴DF⊥BC，DF=100 n mile，BF=100 n mile．
设相遇时补给船航行了x n mile，那么DE=x n mile，AB+BE=2x n mile，
EF=AB+BF-(AB+BE)=(300-2x) n mile．
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x2=1002+(300-2x)2．
整理，得3x2-1200x+100 000=0．
解这个方程，得，（不合题意，舍去）．
所以，相遇时补给船大约航行了118.4 n mile．
设计意图：培养学生审题、分析数量关系、建立方程模型解决实际问题的能力，并使学生掌握列方程解应用题的一般步骤．
【课堂练习】
1．在一幅长60 cm，宽40 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如下图所示．如果要使整个挂图的面积是2 816 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是（ ）．
A．(60+2x)(40+2x)=2 816
B．(60+x)(40+x)=2 816
C．(60+2x)(40+x)=2 816
D．(60+x)(40+2x)=2 816
2．如图，在一块长为22 m，宽为17 m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300 m2．设道路宽为x m，根据题意可列出的方程为__________________________．
3．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为___________．
A．25 B．36 C．25或36 D．-25或36
4．一个多边形有9条对角线，则这个多边形的边数为__________．
5．如图所示，在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑宽度相同的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540 m2，求道路的宽．
师生活动：教师找几名学生板演，讲解出现的问题．
参考答案
1．A．2．(22-x)(17-x)=300(或x2-39x+74=0)．
3．25或36．4．6．
5．解：题图经过平移可以转化为如下图形．
设道路的宽为x m．根据题意可列方程为(20-x)(32-x)=540．
整理，得x2-52x+100=0．
解得x1=50（不合题意，舍去），x2=2，即道路的宽为2 m．
答：道路的宽为2 m．
设计意图：让学生加深对所学知识的理解．
六、课堂小结
列一元二次方程解应用题的一般步骤：
（1）审题：阅读题目，明确已知量与未知量；
（2）找等量关系：寻找已知量和未知量之间的联系，用运算符号和等号连接；
（3）设未知数：一是直接设所求的量为x，二是间接设与所求的量紧密相关且起着关键性作用的量为x，注意设未知数要带单位；
（4）列方程：用含有x的代数式把等量关系中的各个量表示出来，列出方程；
（5）解方程：选择合适的方法解方程；
（6）检验：检验两个解是否都符合题意，舍去不符合题意的解；
（7）写答．
其中关键是找出题中的等量关系．
师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．
设计意图：帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系．
七、板书设计
2.6 应用一元二次方程（1）
1．列一元二次方程解应用题