初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）15.3.2 等边三角形一课一练

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考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一、选择题(共10题；每题2分，共20分)
1．（2分）（2024·哈尔滨月考）下列说法中：①与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形；④有一个角是60°的三角形是等边三角形．正确的说法有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【完整解答】解：①与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故原说法符合题意；
②等腰三角形的底边高、中线、顶角的角平分线互相重合，故原说法不符合题意；
③如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，
已知：如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，且 ，
求证：△ABC为直角三角形，
证明：∵AD为BC边的中线，
∴BD=CD，
∵ ，
∴AD=BD=CD，
∴∠B=∠1，∠C=∠2，
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠1+∠2=∠BAC，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC为直角三角形，故原说法符合题意；
④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故原说法不符合题意；
所以正确的说法有：①③，共2个．
故答案为：C
【思路引导】根据线段垂直平分线的判定，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形的判定，等边三角形的判定，进行分别判断即可.
2．（2分）（2024·荣县月考）下列命题：①等腰三角形的角平分线、底边中线、高线三线合一；②有一个外角等于120°的等腰三角形是等边三角形；③等腰三角形的一边长为3，另一边为7，则它的周长为13或17；④轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【完整解答】解：①等腰三角形的顶角平分线、底边中线、底边高线三线合一，故①不正确；
②有一个外角等于120°的等腰三角形是等边三角形；
当顶角外角∠EAC=120°时，根据平角定义，可得∠BAC=60°，
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
当底角的外角∠BCD=120°，可得∠ACB=180°-120°=60°，
∵AB=AC，∠ACB=60°，
∴△ABC为等边三角形，
故②正确；
③等腰三角形的一边长为3，另一边为7，
当3为底时，腰长为7，7.
∴7+7+3=17，
当3为腰时，3+3＜7，不能构成三角形，
∴三角形的周长为17，
故③不正确；
④根据在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，故任何一对对应点沿对称轴折叠互相重合，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线正确.
故④正确；
正确的个数有2个.
故答案为：B.
【思路引导】根据等腰三角形“三线合一”的性质、等边三角形的判定、等腰三角形的性质、轴对称的性质逐一判断即可.
3．（2分）（2024·镇海期中）如图，已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（ ）
A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
【答案】D
【完整解答】解：∵P1与P关于OB对称，
∴OP＝OP1，∠P1OB＝BOP，
∵P2与P关于OA对称，
∴OP＝OP2，∠P2OA＝AOP，
∴OP1＝OP2，∠P1OP2＝2∠BOA，
∵∠AOB＝30°，
∴∠P1OP2＝60°，
∴△P1OP2为等边三角形.
故答案为：D.
【思路引导】由轴对称的性质可得OP＝OP1，∠P1OB＝BOP，OP＝OP2，∠P2OA＝AOP，则OP1＝OP2，∠P1OP2＝2∠BOA=60°，据此判断.
4．（2分）（2024·拱墅期中）下列说法正确的是（ ）
A．顶角相等的两个等腰三角形全等
B．有一个角是60°的三角形是等边三角形
C．等腰三角形两底角相等
D．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
【答案】C
【完整解答】解：A、错误，缺少边相等，本选项不符合题意；
B、错误，应该是有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，本选项不符合题意；
C、正确，本选项符合题意.
D、错误，应该是等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，本选项不符合题意.
故答案为：C.
【思路引导】根据全等三角形的判定定理可判断A；根据等边三角形的判定可判断B；根据等腰三角形的性质可判断C、D.
5．（2分）（2024上·城厢期中）如图所示，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下四个结论：①△ACD≌△BCE；②AD=BE；③∠AOB=60°；④△CPQ是等边三角形．其中正确的是（ ）
A．①②③④B．②③④C．①③④D．①②③
【答案】A
【完整解答】∵△ABC和△CDE是正三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∵∠ACD=∠ACB+∠BCD，∠BCE=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ADC≌△BEC（SAS），故①符合题意，
∴AD=BE，故②符合题意；
∵△ADC≌△BEC，
∴∠ADC=∠BEC，
∴∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，故③符合题意；
∵CD=CE，∠DCP=∠ECQ=60°，∠ADC=∠BEC，
∴△CDP≌△CEQ（ASA）．
∴CP=CQ，
∴∠CPQ=∠CQP=60°，
∴△CPQ是等边三角形，故④符合题意；
故答案为：A．
【思路引导】根据等边三角形的性质，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而求得∠ACD=∠BCE，利用SAS可证△ADC≌△BEC，可得AD=BE，∠ADC=∠BEC，利用三角形外角的性质可得∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，据此判断①②③；根据ASA可证△CDP≌△CEQ，可得CP=CQ，继而得出∠CPQ=∠CQP=60°，从而可证△CPQ是等边三角形，据此判断④即可.
6．（2分）（2024上·萧山期中）下列命题中，真命题有（ ）
①有一个角为60°的三角形是等边三角形；②底边相等的两个等腰三角形全等；③有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形全等；④一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形.
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【完整解答】解：在三角形中，三个角是60°，50°，70°，故①错误；
一个等腰三角形的三边长为2，3，3，另一个等腰三角形的三边长为2，4，4，故②错误；
如果两个等腰三角形的腰相等，一个等腰三角形的底角是40°，一个等腰三角形的顶角是40°，则这两个三角形不是全等的，故③错误；
一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形，故④正确；
故答案为：A.
【思路引导】根据等边三角形的判定定理可判断①；根据全等三角形的判定定理可判断②③；根据直角三角形斜边上中线的性质可判断④.
7．（2分）（2024·阿城期末）如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．无数个
【答案】D
【完整解答】如图，
在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°，
∵OP平分∠AOB，
∴∠EOP=∠POF=60°，
∵OP=OE=OF，
∴△OPE，△OPF是等边三角形，
∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，
∴∠EPM=∠OPN，
在△PEM和△PON中，∠PEM=∠PON，PE=PO，∠EPM=∠OPN，
∴△PEM≌△PON，
∴PM=PN，
∴△PMN是等边三角形，
∴满足条件的△PMN有无数个，
故答案为：D.
【思路引导】利用反证法，在直线OA和OB上截取线段OE=OF=OP，即可证明△OPE≌△OPF，从而得出△OEP和△OFP为等边三角形；分别在线段OE和OF上选取点M和点N，可证明△PEM≌△PON，即可得出△PMN为等边三角形，所以满足条件的三角形有无数个。
8．（2分）（2024上·萧山期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O， 将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，有如下五个结论：
①AO⊥ BC； ②OD=OE； ③△OEF是等边三角形； ④△OEF≌△CEF; ⑤∠OEF=54°则上列说法中正确的个数是（ ）
A． 2B． 3C． 4D． 5
【答案】B
【完整解答】解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO=∠BAC=27°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=（180°-∠BAC）=（180°-54°）=63°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∠ABO=∠BAO=27°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=63°-27°=36°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴OB=OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
∴点O是△ABC的外心，
∴∠OCB=∠OBC=36°，AO⊥BC，故 ① 正确；
∵将∠C沿EF折叠，由折叠性质可知△OEF≌△CEF，故④正确；
∵∠EOF=∠ACB=∠ABC=63°，
∴△EOF不是等边三角形，故③错误；
∵OE=OC，
∴∠COC=∠OCE=36°，
∴∠OEC=180°-∠EOC-∠OCE=180°-36°-36°=108°，
∴∠OEF=∠CEF=54°，故⑤ 正确；
题中条件无法得到OD=OE， 故④错误；
综上，正确的有3项.
故答案为：B.
【思路引导】连接OB、OC，根据等腰三角形的性质求出∠ABC的大小，根据垂直平分线的性质得出点O是△ABC的外心，从而根据等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理可以求得有关角的大小，再由折叠的性质可以判断△OEF不是等边三角形，还可求出∠OEF的大小.
9．（2分）（2024·泰州月考）正三角形ABC所在的平面内有一点P，使得△PAB,△PBC,△PCA都是等腰三角形，则这样的P点有（ ）
A．1个B．4个C．7个D．10个
【答案】D
【完整解答】解：（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点，是三角形的外心；
（ 2 ）分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的.
每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个.
故答案为：D.
【思路引导】（1）点P在三角形的内部时，点P到△ABC的三个顶点的距离相等，所以点P是三角形的外心；
（2）点P在三角形的外部时，每条边的垂直平分线上的点只要能够使顶点这条边的两端点连接而成的三角形是等腰三角形即可．
10．（2分）（2024·江北期末）如图，点D是正△ABC内的一点，DB=3，DC=4，DA=5，则∠BDC的度数是（ ）
A．120°B．135°C．140°D．150°
【答案】D
【完整解答】在三角形ABC外部作∠ABE=∠CBD,使BE=BD,连接AE.
又BA=BC,则⊿ABE≌ΔCBD(SAS),得:AE=CD=3;∠BDC=∠BEA.
∠ABE+∠ABD=∠CBD+∠ABD=60°,则⊿DBE为等边三角形,得∠BED=60°,且DE=DB=4.
AE²+DE²=9+16=25=AD²,则∠AED=90°.
所以,∠BDC=∠BEA=150°.
故答案为：D.
【思路引导】先通过辅助线将三角形BDC旋转到三角形BEA的位置，从而利用勾股定理逆定理即可知三角形AED为直角三角形且∠AED=90°，而三角形BED为等腰三角形，即可求得∠BDC的度数.
二、填空题(共8题；每题2分，共16分)
11．（2分）（2024·镇原期末）已知在 中， ，如要判定 是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：①如果添加条件“ ”，那么 是等边三角形；②如果添加条件“ ”，那么 是等边三角形；③如果添加条件“边 、 上的高相等”那么 是等边三角形．上述说法中，正确的有 ．（填序号）
【答案】①②③
【完整解答】解：①如果添加条件为“ ”，由 ，利用有一个角为 的等腰三角形是等边三角形可得出 是等边三角形；故①正确；
②如果添加条件为“ ”，由 ，三角形内角和为 ，可知 ，又因为 ，所以 ，所以 ，则可得出 是等边三角形；故②正确；
③如果添加条件为“边 、 上的高相等”，由 的面积 底 高，边 、 上的高相等，可知 ，又因为 ，利用有一个角为 的等腰三角形是等边三角形可得出 是等边三角形；故③正确．
故答案为：①②③．
【思路引导】利用有一个角是60° 的等腰三角形是等边三角形，可对①作出判断；利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求出此三角形的三个内角的度数，利用有三个角相等的三角形是等边三角形，可对②作出判断；利用同一个三角形的面积相等，可证得AB=BC，因此利用有一个角是60° 的等腰三角形是等边三角形，可对③作出判断；综上所述可得正确结论的序号。
12．（2分）如图，在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上一动点，连接OP，以O为圆心，OP长为半径画弧交BC于点D，连接PD，如果PO＝PD，那么AP的长是 .
【答案】6
【完整解答】解：如图，连接OD，
∵PO＝PD，
∴OP＝DP＝OD，
∴△PDO为等边三角形，即∠DPO＝60°，
∵等边△ABC，
∴∠A＝∠B＝60°，AC＝AB＝9，
∴∠OPA＝180°−60°−∠DPA=120°−∠DPA
∠PDB＝180°−∠DPA−60°=120°−∠DPA
∴∠OPA=∠PDB，
∴ 在△OPA和△PDB中，
∴△OPA≌△PDB（AAS），
∵AO＝3，
∴AO＝PB＝3，
∴AP＝6.
故答案是：6.
【思路引导】连接OD,由题知OP＝DP＝OD，即△PDO为等边三角形，∠OPA＝∠PDB＝∠DPA=60°，推出△OPA≌△PDB，根据全等三角形的对应边相等知OA＝BP＝3，则AP＝AB−BP＝6.
13．（2分）（2024上·镇海期中）有长度分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10（cm）的木棒各一根，利用它们（允许连接加长，但不许折断）能围成周长不同的等边三角形共有 种.
【答案】14
【完整解答】解：边长是5的等边三角形：5，4+1，3+2；
边长是6的等边三角形：6，4+2，1+5；
边长是7的等边三角形：7，4+3，5+2；
边长是8的等边三角形：8，7+1，6+2；
边长是9的等边三角形：9，8+1，7+2；
边长是10的等边三角形：10，4+6，3+7；
边长是11的等边三角形：9+2，8+3，7+4；
边长是12的等边三角形：9+3，8+4，7+5；
边长是13的等边三角形：9+4，8+5，7+6；
边长是14的等边三角形：9+5，10+4，8+6
边长是15的等边三角形：9+6，8+7，10+5；
边长是16的等边三角形：9+7，8+1+5+2，10+6；
边长是17的等边三角形：10+7，8+9，6+5+1+3+2；
边长是18的等边三角形：10+6+2，8+7+3，9+4+5；
一共有14种.
故答案为：14.
【思路引导】利用等边三角形的性质：三边都相等，抓住已知条件：允许连接加长，但不许折断能围成周长不同的等边三角形，据此可得到所有的情况。
14．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝75°，AD，CF分别是BC、AB边上的高且相交于点P，∠ABC的平分线BE分别交AD、CF于M、N.以下四个结论：①△PMN等边三角形；②除了△PMN外，还有4个等腰三角形；③△ABD≌△CPD；④当DM＝2时，则DC＝6.其中正确的结论是： （填序号）.
【答案】①②③④
【完整解答】解：∵∠ABC＝60°，∠BAC＝75°，AD，CF分别是BC，AB边上的高，
∴∠ACB＝45°，∠ADC=90°，
∴△ADC为等腰直角三角形，∠BAD=30°，
∵∠ABC的平分线BE分别交AD，CF于M，N
∴∠ABM＝30°，
又∵∠BAM＝30°
∴△AMB为等腰三角形.
由题意可知∵∠NBC＝∠NCB＝30°
∴△BNC为等腰三角形.
∠PMN＝∠MNP＝60°
∴△MNP为等边三角形，故①正确；
∵∠ABE＝30°，∠BAC＝75°，
∴∠BEA＝75°，
∴△ABE为等腰三角形；
∴除了△PMN外，还有4个等腰三角形，故②正确；
∵AD，CF分别是BC，AB边上的高，
∴∠ADB＝∠BFC＝90°，
∴∠BAD＝∠ABD＝∠ABD+∠BCF＝90°，
∴∠BAD＝∠DCP，
∵∠ADB＝∠PDC＝90°，AD＝CD，
∴△ABD≌△CPD（ASA），故③正确；
在直角三角形BDM中，
∵MD＝2，∠MBD＝30°，
∴BM＝4，
在等腰三角形AMB中，BM＝AM，
∴AD＝AM+MD＝6，
在等腰直角三角形ADC中，AD＝DC，
∴DC＝6，故④正确；
故答案为：①②③④.
【思路引导】由已知条件，根据三角形内角和等于180°、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难.
15．（2分）（2024上·泰兴月考）已知：如图，在四边形 中， ，点E是 的中点.当 时， 是等边三角形.
【答案】150
【完整解答】解：∵ ，点 是 的中点，
∴ ，
∴ED=EB，∠DAE=∠ADE，∠EAB=∠EBA，
∴∠DEC=∠DAE+∠ADE=2∠DAE，∠BEC=∠EAB+∠EBA=2∠BAE，
若△BDE是等边三角形，则∠BED=60°，
即∠DEC+∠BEC=60°，
∴2∠DAE+2∠BAE=60°，
∴∠DAE+∠BAE=30°，即∠BAD=30°，
又∵ ，
∴∠BCD=360°－∠BAD－∠ABC－∠ADC=150°.
故答案为：150.
【思路引导】根据直角三角形斜边中线的性质可得 ，进而可得ED=EB，∠DAE=∠ADE，∠EAB=∠EBA，然后根据等边三角形的性质和三角形的外角性质可得∠DAE+∠BAE=30°，即∠BAD=30°，再根据四边形的内角和定理即可求得答案.
16．（2分）（2024上·孝南月考）如图，已知△ABC中高AD恰好平分边BC，∠B=30°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点且OP=OC，下面的结论：①AB=AC，②△AOP≌△AOC ，③∠APO+∠DCO=30°，④△OPC是等边三角形.其中正确的为 .（填序号）
【答案】①③④
【完整解答】解：① △ABC中高AD恰好平分边BC，
AD为线段BC的垂直平分线，
AB=AC，故①正确；
②由图易知OP与OC的对角 ，
△AOP≌△AOC不正确，故②不正确；
③如图，连接OB，
△ABC的高AD恰好平分边BC，
BD=CD，由SAS易证 ，
AB=AC，OB=OC=OP，
，
∠APO+∠DCO=30°，故③正确；
④在△OBP中，
在△BOC中，
，
，
， △OPC是等边三角形，故④正确.
故答案为：①③④.
【思路引导】①根据线段垂直平分线的性质得AB=AC，即可判断①正确；②根据题意得∠AOP≠∠AOC，得△AOP与△AOC不全等，可判②不正确；②利用等边对等角得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°，即可判断③正确；④证出∠POC=60°，OP=OC，得出△OPC是等边三角形，即可判断④正确.
17．（2分）如图，∠AOB=30°，点P是它内部一点，OP=2，如果点Q、点R分别是OA、OB上的两个动点，那么PQ+QR+RP的最小值是 ．
【答案】2
【完整解答】作点P关于OA，OB的对称点P′，P″，连接P′P″，
由轴对称确定最短路线问题，P′P″分别与OA，OB的交点即为Q，R，
△PQR周长的最小值=P′P″，由轴对称的性质，
∠POA=∠P′OA，∠POB=∠P″OB，OP′=OP″=OP=2，
所以，∠P′OP″=2∠AOB=2×30°=60°，
所以，△OP′P″是等边三角形，
所以，PP′=OP′=2．
故答案为：2.
【思路引导】由轴对称确定最短路线，得到PQ+QR+RP的最小值是P′P″的值，根据轴对称的性质得到△OP′P″是等边三角形，得到PP′=OP′的值.
18．（2分）（2024·确山期中）△ABC中，如果只给出条件么A=60 ，还不能判定△ABC是等边三角形，给出下面四种说法：①如果再加上条件“∠B=∠C"，那么△ABC是等边三角形；②如果再加上条件“AB=AC"，那么△ABC是等边三角形；⑧如果再加上条件“D是BC的中点，且AD上BC”，那么△ABC是等边三角形；④如果再加上条件“AB、AC的高相等”，那么△ABC是等边三角形．其中正确的说法是 .（把你认为正确的序号全部填上）
【答案】①②③④
【完整解答】解：①若添加条件为∠B=∠C，又∵∠A=60°，∴∠B=∠C=60°，∴∠A=∠B=∠C，则△ABC为等边三角形；
②若添加的条件为AB=AC，由∠A=60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△ABC为等边三角形；
③如果再加上条件“D是BC的中点，且AD⊥BC”，则△ABC是等腰三角形，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△ABC为等边三角形；
④若添加的条件为边AB、BC上的高相等，如图所示：
已知：∠BAC=60°，AE⊥BC，CD⊥AB，且AE=CD，求证：△ABC为等边三角形．
证明：∵AE⊥BC，CD⊥AB，∴∠ADC=∠AEC=90°，在Rt△ADC和Rt△CEA中，∵AC=CA，DC=EA，∴Rt△ADC≌Rt△CEA（HL），∴∠ACE=∠BAC=60°，∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°，∴AB=AC=BC，即△ABC为等边三角形．
综上，正确的说法有①②③④．
【思路引导】 ①如果再加上条件“∠B=∠C" ，又∠A=60°，根据三角形的内角和可以推出∠A=∠B=∠C，根据三个角相等的三角形是等边三角形得出△ABC为等边三角形；②若添加的条件为AB=AC，由∠A=60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△ABC为等边三角形；③如果再加上条件“D是BC的中点，且AD⊥BC”可以得出AD是BC的中垂线，根据中垂线上的点到线段两个端点的距离相等得出AC=BC,又∠A=60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△ABC为等边三角形；④若添加的条件为边AB、BC上的高相等，可以利用HL判断出Rt△ADC≌Rt△CEA，根据全等三角形对应角相等得出∠ACE=∠BAC=60°，进而根据三角形的内角和得出∠BAC=∠B=∠ACB=60°，从而利用三个角相等的三角形是等边三角形得出△ABC为等边三角形，综上所述即可得出结论。
三、解答题(共9题；共64分)
19．（5分）（2024·南昌期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形．
【答案】证明：为的中点，
．
，，
．
在和中，
，
，
，
，
，
是等边三角形．
【思路引导】先利用“HL”证明，再利用全等三角形的性质可得，再利用等角对等边的性质可得CA=CB，再结合AB=AC，可得AB=BC=AC，即可证明△ABC是等边三角形。
20．（5分）（2024上·宁城期末）如图，△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，EC⊥BC与点C，连接BD、DE、AE且CE=BD，
求证：△ADE为等边三角形
【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，
∴AD=DC，BC=CA，BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，即∠DBC+∠DCB=90°，
∵EC⊥BC，
∴∠BCE=90°，即∠ACE+∠BCD=90°，
∴∠ACE=∠DBC，
在△CBD和△ACE中，
∴△CBD △ACE（SAS）
∴CD=AE ，
∴∠AEC=∠CDB=90°
∵D为AC的中点
∴AD=DE，AD=DC，
∴ AD=AE=DE，
即△ADE为等边三角形．
【思路引导】利用△ABC是等边三角形，D为边AC的中点，求得∠ADB=90°，再用SAS证明△CBD≌△ACE，推出AE=CD=AD，∠AEC=∠BDC=90°，根据直角三角形斜边上中线性质求出DE=AD，即可证明．
21．（5分）（2024上·沭阳月考）如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，D是AB上一点（不与A、B重合），DE⊥BC于E，若P是CD的中点，请判断△PAE的形状，并说明理由.
【答案】解：△PAE是等边三角形，理由如下：
∵Rt△CAD中，∠CAB＝90°，P是CD的中点，
，
，
.
同理，在Rt△CAD中， ， ，
.
即△PAE是等腰三角形，
，
∴△PAE是等边三角形.
【思路引导】首先根据直角三角形斜边中线的性质和三角形外角的性质得出 ， ， ，然后根据角的和即可得出 ，从而证明△PAE是等边三角形.
22．（6分）（2024·涧西月考）如图，在等边△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，BO、OC的垂直平分线分别交BC于E、F两点，求证：△OEF是等边三角形.
【答案】∵E为BO垂直平分线上的点，且∠OBC＝30°，
∴BE＝OE，∠EBO＝∠EOB＝30°，
∴∠OEF＝∠EBO+∠EOB＝60°，
同理，∠OFE＝∠FCO+∠FOC＝60°，
∴△OEF为等边三角形，
【思路引导】根据等边三角形角分线的性质，可得∠OBC＝∠OCB＝30°，由BC的垂直平分线，可知BE＝OE，∠EBO＝∠EOB＝30°，∠OEF＝60°，再证∠OFE＝60°，得出△OEF为等边三角形.
23．（7分）（2024·松桃期末）如图，在 中， ，AB边的垂直平分线分别交AB于点E，交AC于点F，点D在EF上，且 ，G是AC的中点，连接DG.
（1）（3分）求证： ；
（2）（4分）判断 是否是等边三角形，并说明理由.
【答案】（1）证明：连接AD，
∵EF是AB的垂直平分线，点D在EF上，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形.
∵G是AC的中点，
∴ .
（2）解： 是等边三角形，理由如下：
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形.
【思路引导】（1）连接AD，由线段垂直平分线的性质可得AD=BD，即得AD=CD=BD，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可求解；
（2）是；理由：由AD=CD=BD可得，，∠DBC=∠DCB ，从而得出 ，根据三角形内角和求出∠DBC+∠DCB=
120°，即得∠DBC=∠DCB=60°，根据等边三角形的判定方法即证.
24．（7分）（2024·广州期中）已知等边三角形 ，
（1）（3分）尺规作图：过顶点 、 、 依次作 、 、 的垂线，三条垂线交于点 、 、 （保留一条垂线的作图痕迹，另两条垂线的作图痕迹可以不保留，不需要写作法）
（2）（4分）求证： 是等边三角形．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）证明：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°．
∵BC⊥MN，BA⊥MG，
∴∠CBM＝∠BAM＝90°．
∴∠ABM＝90°−∠ABC＝30°．
∴∠M＝90°−∠ABM＝60°．
同理：∠N＝∠G＝60°．
∴△MNG为等边三角形．
【思路引导】（1）根据等边三角形的性质作即可；
（2）根据等边三角形的性质，可得MN、NG、GM是△ABC的中位线，进而证明△MNG为等边三角形。
25．（8分）（2024·靖江期末）如图，△ABC是边长为12cm的等边三角形，动点M、N同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动.
（1）（4分）若点M的运动速度是2cm/s，点N的运动速度是4cm/s，当N到达点C时，M、N两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t=2时，判断△BMN的形状，并说明理由；
（2）（4分）当它们的速度都是2cm/s，当点M到达点B时，M、N两点停止运动，设点M的运动时间为t（s），则当t为何值时，△MBN是直角三角形？
【答案】（1）解：△BMN是等边三角形
当t=2时，AM =4，BN=8，
∵△ABC是等边三角形且边长是12
∴BM=12-4=8，∠B=60°
∴BM=BN
∴△BMN是等边三角形；
（2）解：△BMN中，BM=12-2t，BN=2t
①当∠BNM=90°时，∠B=60°
∴∠BMN=30°
∴
∴
∴t=2
②当∠BMN=90°时，∠B=60°
∴∠BNM=30°
∴
∴
∴t=4
综上：当t=2或t=4时，△BMN是直角三角形.
【思路引导】（1）根据路程、速度和时间的关系，当t=2时，AM =4，BN=8，继而证明BM=BN，根据等边三角形的性质得出∠B=60°，再根据等边三角形的判定解题即可；
（2）若△MBN是直角三角形，则∠BNM=90°或∠BMN=90°，根据含30°角的直角三角形的性质列方程解题即可.
26．（10分）（2024上·邹城期中）如图1，D为等边△ABC外一点，∠ADB=120°，连接DB，并延长DB至点E,使BE=AD，连接CD, CE．
（1）（3分）求证：∠CAD=∠CBE；
（2）（3分）求证：△CDE为等边三角形；
（3）（4分）在图1的基础上作D点关于AC，BC的对称点M， N，连接CM，CN，MN，过C点作CF⊥MN于点F，如图2．求证： CD=2CF．
【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形
∴∠ABC=∠BAC=60°
∴∠CAD=∠DAB+60°
∵∠ADB=120°
∴∠DAB+∠DBA=60°
∴∠CBE=180°-60°-∠DBA=180°-60°-(60°-∠DBA)=60°+∠DBA
∴∠CAD=∠CBE=60°+∠DBA
即∠CAD=∠CBE
（2）证明：∵△ABC是等边三角形
∴CA=CB
由（1）可知∠CAD=∠CBE 且AD=BE
∴△CAD≌△CBE
∴CD=CE ∠ACD=∠BCE
∴∠ACD+∠DCB=∠BCE+∠DCB
即∠ACB=∠DCE=60°
∴△CDE为等边三角形
（3）证明：∵D,N关于BC对称，D,M关于AC对称
∴CD=CN，CD=CM，∠DCB=∠NCB，∠DCA=∠MCA
∴CN=CM
∴△CMN是等腰三角形
由（2）知△CDE为等边三角形
∴∠DCB+∠DCA=60°
∴∠NCB+∠MCA=60°
∴∠DCB+∠DCA+∠NCB+∠MCA=120°
即∠NCM=120°
∵△CMN是等腰三角形且CF⊥MN
∴∠CFM=90°，CF平分∠MCN
∴∠MCF=∠NCF= ∠MCN=60°
∴∠CMF=30°
在Rt△MCF中，∠CMF=30°
∴CF= CM = CD
即CD=2CF
【思路引导】（1）根据等边三角形的性质得出∠CAD=∠DAB+60°，再根据平角的性质得出∠CBE=60°+∠DBA，从而得出结论．（2）根据SAS得出△CAD≌△CBE，再根据等边三角形的判定即可．（3）根据对称的性质得出△CMN是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质得∠CMF=30°，根据含有30°的直角三角形的性质即可得出结论．
27．（11分）（2024上·乐清月考）如图所示，△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动.设运动时间为t秒.
（1）（3分）M、N同时运动 秒后，M、N两点重合？
（2）（4分）当0＜t＜5时，M、N同时运动几秒后，可得等边三角形△AMN？
（3）（4分）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间，如果不存在请说明理由.
【答案】（1）10
（2）解：如图，
根据题意得：AM=t，BN=2t，则AN=10-2t，
t=10﹣2t，解得t= ；
当0＜t＜5时，M、N同时运动 秒后，可得等边三角形△AMN；
（3）解：M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，理由如下：
由（1）知10秒时M、N两点重合，恰好在C处.
如图，假设三角形AMN是等腰三角形
∴AN=AM
∴∠AMN=∠ANM
∴∠AMC=∠ANB
∵AB=BC=AC
∴△ACB是等边三角形
∴∠C=∠B
在△ACM和△ABN中
∵AC=AB，∠C=∠B，∠AMC=∠ANB
∴△ACM≌△ABN
∴CM=BN
设运动时间为y秒时，△AMN是等腰三角形
∴CM=y﹣10，NB=30﹣2y
∴y-10=30-2y，解得y=
∴当运动时间为 秒时，M，N在BC上使△AMN为等腰三角形.
【完整解答】解：（1）由题意得：
（秒）；即M、N同时运动10秒后，点M、N重合；
故答案为：10；
【思路引导】（1）根据题意可得点M和N同向运动，可根据追及路程=追及时间×速度差可求解；
（2）由题意易得AM=t，BN=2t，则AN=10-2t，然后根据等边三角形的性质可建立方程求解；
（3）由（1）知10秒时，M、N两点重合，恰好在C处，由题意易得∠C=∠B，AC=AB，则根据△AMN是以MN为底的等腰三角形，进而可证△ACM≌△ABN，然后根据三角形全等的性质及边的等量关系可求解.