26.2.3 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（第2课时 总结提升与综合应用课件）数学新教材人教版九年级上册

这是一份人教版（2024）第二十六章 二次函数26.2 二次函数的图象和性质26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质课文配套ppt课件，共39页。PPT课件主要包含了学习目标，知识回顾，抛物线开口方向看a，a＞0开口向上，a＜0开口向下，a＞0左降右升，a＜0左升右降，待定系数法，设函数解析式，解方程组等内容，欢迎下载使用。
系统熟记二次函数一般式全套图象与性质，精准掌握a、b、c对抛物线的影响；能熟练用配方法、公式法解决图象符号判断、含区间限定最值、多点函数值比较、参数分析等高阶综合问题，规避常见易错点.
通过体系梳理、拔高典例探究、错题复盘，提升知识归纳能力、数形结合分析能力、分类讨论推理能力，掌握二次函数中档综合题的解题思路与答题规范.
通过知识整合构建完整知识体系，突破中档难点题型，消除畏难心理，提升解题自信心；培养严谨的数学思维、规范的答题习惯，养成复盘纠错的学习意识.
1.二次函数的两种常用表达式是什么？
函数增减性看对称轴左右
2.还记得如何求一次函数表达式吗？它的一般步骤是什么？
代入已知点的坐标列方程（组）
3.确定二次函数的表达式需要几个条件？
只要二次函数解析式中的系数a，b，c或a，h，k确定，图像特征和性质就能确定
根据二次函数解析式的一般式、顶点式等特点，用待定系数法求抛物线解析式．
问题2：已知一条抛物线的顶点为(1, -4)，且过点(3, 0)，求这条抛物线的解析式.
解：∵抛物线顶点为(1, -4)，
∴设这条抛物线的解析式y=a(x-1)2-4.
把点(3, 0)代入得
0 = (3-1)2a-4，
∴这条抛物线为y=(x-1)2-4， 即y=x2-2x-3.
讨论：抛物线的顶点为(1, -4)，能得到怎样的对应关系？
顶点式：y=a(x-h)2+k，
解析式: y=a(x-1)2-4.
已知不在同一直线上的三点（任意两点的连线不与坐标轴平行）或三个独立的条件。
已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式
二次函数常用的几种解析式的确定方法
一般式 y=ax2+bx+c (a≠0)
顶点式 y=a(x-h)2+k (a≠0)
用待定系数法确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式.
代入已知条件列方程（组）
二次函数y = ax2+bx+c ( a ≠ 0 )图象与性质与a、b、c有什么关系？
c称为抛物线在y轴截距
(2)画出这个函数的图象；(3)观察图象，写出图象与坐标轴的交点坐标，顶点坐标及对称轴．
解：（1）如图，列表如下
（2）如图，函数的图象如下：
掌握二次函数的性质是解二次函数图象性质的综合应用的关键
建立合适的平面直角坐标系，转化为二次函数型问题.
问题4.一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题：
(1)建立合适的平面直角坐标系，求该拋物线的表达式；
(2)由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度；
【分析】（3）货船安全通过拱桥，当水面宽与货船宽相等时，水位上升的高度取最大值，结合函数解析式求解．
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
(1)根据题意建立适当的平面直角坐标系.(2)把已知条件转化为点的坐标.(3)合理设出函数解析式.(4)利用待定系数法求出函数解析式.(5)根据求得的解析式进一步分析,判断并进行有关的计算.
解:（1）配方化为顶点式， y =-x²+2x+3 =-(x²-2x)+3 = -(x²-2x+1-1)+3 =-(x-1)²+4可得：对称轴为：直线x=1， 顶点坐标：(1，4).
（2）由题意得：a=-10， ∴方程无实数根 即 抛物线与x轴有两个交点； 把x=0代入y=-x²+2x+3 ， 得：y=3 ∵3＞0，∴抛物线与y轴交于正半轴。
(3)在（2）的条件下，这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？请说明理由．
1.（2025•河南）在二次函数y＝ax2+bx﹣2中，x与y的几组对应值如表所示．
（1）求二次函数的表达式．（2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值．
（2）由题意，结合（1） y＝（x+1）2﹣3， ∴顶点坐标为（﹣1，﹣3）． 作图如下．
（3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值．
2.（2025•浙江）已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）．（1）求a的值．（2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值．（3）设m＜3＜n，抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为16，求n﹣m的最大值．
解：（1）把（1，0）代入y＝x2﹣ax+5，得：1﹣a+5＝0，解得：a＝6；
（3）∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标（3，﹣4），当抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间时，m，n为直线与抛物线的交点，∴要使n﹣m最大，则，m，n为一条直线与抛物线的交点，x＝m和x＝n关于对称轴对称，又∵直线l1，l2之间的距离为16，为定值，∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点（3,4）即：y＝﹣4时，n﹣m最大，此时另一条直线的解析式为y＝16﹣4＝12，如图：∴当x2﹣6x+5＝12时，解得：x1＝7，x2＝﹣1，即n＝7，m＝﹣1，∴n﹣m的最大值为：7﹣（﹣1）＝8．
（1）熟练完成一般式与顶点式互化，熟记核心公式；（2）掌握a、b、c、△数形双向判断；（3）掌握区间分类讨论求最值方法；（4）掌握对称轴距离法快速比较多点函数值.
（1）数形结合：以形助数、以数释形；（2）分类讨论：区间位置分类求最值；（3）模型思想：固化二次函数综合题解题模板.
（1）区间最值必须对比顶点和端点，不能只看顶点；（2）开口方向不同，距离对称轴远近对应的函数值大小规律相反；（3）配方提取系数后，常数项极易算错.
9. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0，2).在x轴上任取一点M，并按以下步骤作图：①连接AM，作线段AM的垂直平分线l1，过点M作x轴的垂线l2 ，记l1 ， l2的交点为P；②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，再用平滑的曲线连接这些点，记为曲线l.(1)对于曲线 l上任意一点P，线段PA与PM有什么关系?(2)设点P的坐标是(x , y)，根据(1)的结论求 x , y 满足的关系式.你能由此确定曲线 l 是哪种曲线吗？（提示：根据勾股定理，用含 x，y 的式子表示线段PA的长.）
9. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0，2).在x轴上任取一点M，并按以下步骤作图：①连接AM，作线段AM的垂直平分线l1，过点M作x轴的垂线l2 ，记l1 ， l2的交点为P②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，再用平滑的曲线连接这些点，记为曲线l.(1)对于曲线 l上任意一点P，线段PA与PM有什么关系?(2)设点P的坐标是(x , y)，根据(1)的结论求 x , y 满足的关系式.你能由此确定曲线 l 是哪种曲线吗？（提示：根据勾股定理，用含 x，y 的式子表示线段PA的长.）