初中北师大版（2024）一元一次方程的解法优秀课堂检测

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知识点01 一元一次方程的解法
◆合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用.
◆移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项.
◆去括号 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号.
◆去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有小数时，先将小数化成整数.
【注意】：（1）移项的时候注意变号；
（2）去括号的适合注意，若括号前是“-”号，那么去括号的时候要变号.
【即学即练1】
1．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）解方程：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键．
（1）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为，进行求解即可；
（2）先去分母，然后移项、合并同类项、系数化为，进行求解即可．
【详解】（1）解：
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得．
（2）解：
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得．
2．（2025七年级上·全国·专题练习）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
（1）按去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤求解即可；
（2）按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤求解即可．
【详解】（1）
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得；
（2）
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得．
3．（25-26七年级上·重庆·期中）解方程
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤并灵活运用是解题的关键．
（1）移项、合并同类项、系数化为1即可；
（2）去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可；
（3）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可；
（4）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可．
【详解】（1）解：
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2）解：
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（3）解：
去分母，得
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得
系数化为1，得；
（4）解：
整理得，，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得
系数化为1，得．
知识点02 一元一次方程的同解方程
如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程，解决此类问题，通常是解其中一个方程，得到该方程解代入另一个方程求解字母的值.
【即学即练2】
4．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知方程与的解相同，求m的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程．
先分别求出两方程的解，再根据两方程的解相同得到关于m的方程，即可求解．
【详解】解：，
解得：，
，
解得：，
∵方程与的解相同，
∴，
解得：．
5．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）如果方程的解与方程的解相同，求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法和同解方程的概念，考核学生的计算能力．
先求出方程的解为，再把代入，即可求解．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
解得：，
∵方程的解与方程的解相同，
∴，
解得：．
6．（24-25七年级上·云南楚雄·期末）在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，我们就称这两个方程为同解方程．例如：方程与方程的解都为，所以它们为同解方程．
(1)若方程与关于x的方程 是同解方程，求k的值．
(2)若关于x的方程与是同解方程，求a的值．
(3)若关于x的两个方程与是同解方程，试求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了同解方程，整体代入的数学思想，解决本题的关键是理解题意进行准确计算．
（1）根据方程与 是同解方程，即可求出k的值；
（2）根据方程与是同解方程，用含a的式子表示x，即可求a的值；
（3）根据方程与是同解方程，利用整体思想将得出的，代入化简后的式子即可求值．
【详解】（1）解：解方程，得，
把代入，得，
解得：；
（2）解：由方程，得，
解方程，得，
由题意，得，
解得；
（3）解：由，得，
解，得，
由题意，得，
整理，得：，
，
因为，
所以，
所以，
所以．
题型01 解一元一次方程--合并同类型与移项
【典例1】解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、系数化为1等．
（1）先移项、合并同类项，然后化未知数的系数为1；
（2）先去移项、合并同类项；最后化未知数的系数为1．
【详解】（1）移项得，
合并同类项得；
（2）移项得，
合并同类项得，
系数化为1得．
【变式1】解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解题概念．
（1）依次移项、合并同类项、系数化1，即可解方程；
（2）依次移项、合并同类项、系数化1，即可解方程．
【详解】（1）解：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化1得：；
（2）解：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化1得：．
【变式2】解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
（1）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可；
（2）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可；
（3）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可；
（4）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【变式3】解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）（2）（3）先移项，合并同类项，再系数化1，据此即可作答．
（4）先去分母，移项，合并同类项，据此即可作答．
【详解】（1）解：，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化1，得；
（2）解：
移项，得，
合并同类项，得，
系数化1，得；
（3）解：
移项，得，
合并同类项，得，
系数化1，得；
（4）解：
去分母，得
移项，得，
合并同类项，得，
题型02 解一元一次方程--去括号
【典例2】解方程
(1)；
(2)；
(3)
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【知识点】解一元一次方程（二）——去括号
【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键；
（1）根据去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可．
（2）根据去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可．
（3）根据去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
；
（3）解：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
化系数为1得：．
【变式1】解下列方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号
【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1，根据步骤求解各题即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【变式2】解下列方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】解一元一次方程（二）——去括号
【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤及注意事项是解题的关键．
（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解方程即可；
（2）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解方程即可；
（3）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解方程即可；
（4）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解方程即可．
【详解】（1）
去括号得，
移项合并同类项得，
系数化为1得，
（2）
去括号得，
移项合并同类项得，
系数化为1得，
（3）
去括号得，
移项合并同类项得，
系数化为1得，
（4）
去括号得，
移项合并同类项得，
系数化为1得，
【变式3】解方程：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查了解一元一次方程；
（1）去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求解；
（2）去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求解；
（3）逐步去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求解；
掌握解方程的步骤是解题的关键．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
，
，
，
．
题型03 解一元一次方程--去分母（整数）
【典例3】解方程：
【答案】
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查了解一元一次方程，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求解．
【详解】解：
去分母，
去括号，
移项，合并同类项，
化系数为1，．
【变式1】解方程∶
【答案】
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
【详解】解：
去分母得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，．
【变式2】解方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题关键．
（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可．
【详解】（1）解：，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ；
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
【变式3】（1）解方程：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
（1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可求解；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可求解．
【详解】解：（1），
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
化系数为1得，；
（2），
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
化系数为1得，．
题型04 解一元一次方程--去分母（小数）
【典例4】解方程：
【答案】
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键；去分母，去括号，移项、合并同类项即可解决．
【详解】解：，
原方程化为：，
去分母，得：，
去括号得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得．
【变式1】解方程：．
【答案】
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向形式转化．先化整，然后根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可．
【详解】解：，
方程整理得：，
去分母得：，
移项合并得：，
解得：．
【变式2】解方程：；
【答案】
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查了解一元一次方程，解含绝对值的方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键；去分母，去括号，移项、合并同类项即可；
【详解】解：，
整理得：，
去分母得：，
去括号得：，
∴，
解得：；
【变式3】解方程
(1)
(2)
【答案】(1)；
(2)．
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查了解一元一次方程，比例的基本性质，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据比例的基本性质可得，即可求解；
（2）先去分母，合并同类项，然后系数化为1即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
解得：；
（2）解：，
∴，
∴，
∴，
解得：．
题型05 一元一次方程的错解复原问题
【典例5】下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
．
，（第一步）
，（第二步）
，（第三步）
，（第四步）
．（第五步）
(1)任务一：填空．
①以上求解步骤中，第一步的依据是________________________．
②第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________．
(2)任务二：请直接写出该方程的解．
【答案】(1)①等式的基本性质（等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立）；②二；括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号
(2)
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查的是解方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键．
（1）①根据去分母的步骤进行分析，即可得到答案；
②根据解方程的步骤进行分析，即可得到答案；
（2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程．
【详解】（1）解：①第一步为去分母，依据是等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立，
故答案为：等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立；
②第二步开始出现错误，
原因是：括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号，
故答案为：二；括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；
（2）解：
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化1，得：．
【变式1】以下是圆圆解方程的解答过程．
解：去分母，得
去括号，得
移项，合并同类项，得．
(1)圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程；
(2)请尝试解方程．
【答案】(1)有错误，见解析
(2)
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】（1）去分母的时候方程的右边没有乘上6，去括号后，两个括号的后一项漏乘，更正后再根据解一元一次方程的基本步骤进行解题，即可作答．
（2）根据解一元一次方程的基本步骤可得答案．
本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
【详解】（1）解：圆圆的解答过程错误，正确的解答过程如下：
，
去分母，得，
去括号，得，
移项，合并同类项，得；
（2）解：，
，
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化1得．
【变式2】下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：
解：______，得 第一步
去括号，得 第二步
移项，得 第三步
合并同类项，得 第四步
方程两边同除以2，得 第五步
(1)以上求解步骤中，第一步进行的是______；
(2)以上求解步骤中，第______步开始出现错误；
(3)请写出正确解方程的过程．
【答案】(1)去分母
(2)三
(3)见解析
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，等式的基本性质是解题的关键．
（1）根据解一元一次方程的步骤解答即可；
（2）根据解一元一次方程的步骤解答即可；
（3）按照解一元一次方程的步骤进行计算即可．
【详解】（1）解：以上求解步骤中，第一步进行的是去分母，
故答案为：去分母；
（2）解：以上求解步骤中，第三步开始出现错误，具体的错误是移项时没有变号，
故答案为：三；
（3）解：
两边同乘6得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
两边同除以2，得．
【变式3】以下是小明解方程的解答过程．
解：去分母，得第一步
去括号，得第二步
移项，得第三步
合并同类项，得第四步
(1)以上过程中是从第______步开始出错的．
(2)第一问中出现错误的原因____________．
(3)写出这个方程的正确解答过程．
【答案】(1)一
(2)去分母的时候方程右边没有乘以6
(3)，过程见解析
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题主要考查了解一元一次方程：
（1）观察解题过程可知，以上过程中是从第一步开始出错的，原因是在去分母的时候方程右边没有乘以6；
（2）由（1）可得答案；
（3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程即可．
【详解】（1）解：观察解题过程可知，以上过程中是从第一步开始出错的，原因是在去分母的时候方程右边没有乘以6；
故答案为：一；
（2）解：由（1）得出现错误的原因为去分母的时候方程右边没有乘以6，
故答案为：去分母的时候方程右边没有乘以6；
（3）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：．
题型06 利用一元一次方程同解问题求解
【典例6】已知方程与方程的解相同，则的值为 ．
【答案】
【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题主要考查解一元一次方程，解决本题的关键是要熟练掌握解一元一次方程的解法．根据解一元一次方程的一般步骤，可得的解，把解代入方程，解方程可得答案．
【详解】解：
解得：，
∵方程与方程的解相同，
∴把代入得：，
解得：．
故答案为：
【变式1】若方程与的解相同，则a的值为 ．
【答案】8
【知识点】方程的解、解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查同解方程，先求出方程的解，将其代入中，求出a的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
把代入，得：，
解得：；
故答案为：8．
【变式2】若关于的方程和有相同的解，则 ．
【答案】/
【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题考查了方程的解的定义，已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于字母系数的方程进行求解．可把它叫做“有解就代入”． 解方程，把方程的解代入即可得到一个关于m的方程，从而求得m的值．
【详解】解：解方程得：，
把代入方程得：，
解得：．
故答案为：．
【变式3】若方程的解与关于x的方程的解相同，则a的值为 ．
【答案】
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查了方程的解和一元一次方程的解法，分别解出两方程的解，然后让它们的解相等，即可求得的值．掌握解一元一次方程是解答本题的关键．
【详解】解：，
去分母得，
去括号，
移项合并得，
解得得，
解，
移项合并得：，
解得，
由题意得：，
解得．
故答案为：．
题型07 一元一次方程整数解问题
【典例7】若关于的方程的解为正整数，整数的值是 ．
【答案】2或3或4或7
【知识点】解一元一次方程（二）——去括号
【分析】首先解方程表示出的值，然后根据解为正整数求解即可．本题主要考查方程的解和解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
【详解】解：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
关于的方程的解为正整数，
为正整数，
或或或
或或或．
故答案为：2或3或4或7
【变式1】若关于的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值为 ．
【答案】，0和1
【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解题的关键．将原方程化为关于的一元一次方程，然后根据，即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
要为的倍数，
或或．
故答案为：，0和1．
【变式2】关于的一元一次方程的解为整数，则所有整数的和为 ．
【答案】
【知识点】解一元一次方程——拓展
【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程去分母，去括号，移项合并，把的系数化为1，表示出方程的解，由方程的解为整数，确定出整数的值即可．
【详解】解：
解为整数，
或或或，
则所有整数的和为，
故答案为：．
【变式3】已知关于的方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数的和是 ．
【答案】
【知识点】解一元一次方程——拓展
【分析】本题考查了一元一次方程的解．先根据等式的性质求出方程的解，根据方程的解为非整数得出m的值，进而得出答案．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
方程的解是非负整数，
∴为1或2或5或10，
的值为或或或4，
∴，
故答案为：．

一、单选题
1．（25-26七年级上·全国·课后作业）代数式与的值互为相反数，则m的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】本题主要考查了相反数，解一元一次方程等知识，根据相反数的定义列出关于m的一元一次方程，解方程即可得出答案．
【详解】解：根据题意可知：，
去分母得：
去括号得：
移项，合并同类项得：，
化系数为1：，
故选B．
2．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）下列方程变形正确的是（ ）
A．方程，去括号，得
B．方程，移项，得
C．方程，未知数的系数化为1，得
D．方程，去分母，得
【答案】D
【分析】本题考查了解一元一次方程，等式的性质，根据去分母、去括号、移项、系数化为1这些变形解答即可．
【详解】解：A、方程，去括号，得，故此选项不符合题意；
B、方程，移项，得，故此选项不符合题意；
C、方程，未知数的系数化为1，得，故此选项不符合题意；
D、方程，去分母，得，故此选项符合题意．
故选：D．
3．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）已知关于的方程的解和的解相同，则的值为（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】A
【分析】本题考查了解一元一次方程及方程的同解问题，如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．求出方程的解，代入即可求出m的值．
【详解】解：解方程得，
∵方程与的解相同，
∴将代入，得：，
解得：，
故选：A．
4．（25-26七年级上·全国·单元测试）已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查由一元一次方程解的情况求参数，有理数的加法运算，先解方程得到 ，根据方程有正整数解，得到 必须是负整数且是的约数，从而求出整数的值，再求和即可，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
【详解】解：方程去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
∴，
∵ 方程有正整数解，
∴ 且为整数，
∴且是的约数，
∵的负约数有和，
∴或，
解得或，
∴整数的所有可能取值的和为，
故选：．
5．（24-25七年级上·湖北黄石·开学考试）“”表示一种运算符号，其意义是：，如果，则( )．
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】此题考查了新定义问题，构造一元一次方程求解，首先计算出，然后代入列方程求解即可．
【详解】解：根据题意得，，
∵
∴
∴
∴．
故选：A．
6．（2023九年级下·浙江·竞赛）如果a，b为定值时，关于x的方程，它的根总是2，则的值为（ ）
A．18B．15C．12D．10
【答案】B
【分析】本题考查的是一元一次方程的解，掌握方程的解是满足方程的未知数的值成为解题的关键．
先将方程的根代入原方程并化简得，由题可知，当a，b为定值时，对任意的k成立，因此可得，易求a、b的值，然后代入计算即可．
【详解】解：将，代入原方程并化简得，
∵当a，b为定值时，对任意的k成立，
∴，解得：，
∴．
故选：B．
7．（24-25七年级上·辽宁·期末）若关于x的方程的解满足，则（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，绝对值的意义，解带有绝对值符号的方程先将方程化为|的形式，然后去绝对值变为的形式解出，进而代入，解关于的方程，即可求解．
【详解】解：
∴
∴或
解得：或
当时，
∴
解得：；
当时，
∴
∴
解得：
综上所述，或
故选：A．
二、填空题
8．（24-25七年级上·全国·课后作业）解方程，去分母时，方程的两边都乘以 ，得 ．
【答案】 10
【分析】本题考查解一元一次方程中去分母的知识点，解题方法是根据等式性质，找到各分母的最小公倍数，将方程两边同乘这个最小公倍数去掉分母．
方程两边乘以10，去分母后即可得到结果．
【详解】解：2和5的最小公倍数是10，则去分母时，方程两边同时乘以10，得到方程为．
故答案为：；
9．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）若方程与方程的解相同，则m的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查方程的解，以及解一元一次方程，解题的关键是熟知方程的求解．先求出方程的解，再代入方程求解，即可求出m的值．
【详解】解：
，
因为方程与方程的解相同，
所以，
，
故答案为：．
10．（24-25七年级上·全国·课后作业）当 时，代数式的值比代数式的值大1．
【答案】
【分析】根据代数式的值比代数式的值大这一条件，列出一元一次方程，再通过解一元一次方程的一般步骤求解的值．
【详解】解：根据题意，列方程：
去分母：
去括号：
移项：
合并同类项：
系数化为 ：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是根据代数式值的大小关系列出一元一次方程，并熟练运用“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1”的步骤解一元一次方程．
11．（2025六年级下·上海·专题练习）对于任何有理数，我们规定，如．如果，那么的值是 ．
【答案】
【分析】此题考查了解一元一次方程，求出解是解题关键．利用题中的新定义化简所求式子得到一元一次方程，求出方程的解即可得到的值．
【详解】解：根据题意得，变形得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：．
故答案为：．
12．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）若关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查换元法解一元一次方程，根据题意，易得的解为，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵关于的一元一次方程的解为，
∴的解为：；
∴；
故答案为：．
13．（24-25七年级下·湖南郴州·开学考试）按下面的运算程序计算：
当输入时，输出结果为33；当输入时，输出结果为17．如果输入的值为正整数，输出的结果为25，那么满足条件的的值为 ．
【答案】11或4
【分析】本题考查代数式求值，理解运算程序是正确解答的前提，掌握有理数混合运算法则是解答本题的关键．
根据运算程序，分别就1次输出，2次输出，3次输出，进行验证推算即可解答．
【详解】解：根据题意得，
，
解得；
，
解得；
，
解得（不合题意，舍去）；
∴的值为11或4．
故答案为：11或4．
14．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”．
（）若与是“差解方程”，则 ，
（）若关于的两个方程与方程是“差解方程”，则 ．
【答案】 或
【分析】（）求出两个方程的解，再根据定义解答即可；
（）求出两个方程的解，再根据定义解答即可；
本题考查了解一元一次方程，绝对值的意义，理解新定义是解题的关键．
【详解】解：（）解方程，得；解方程，得，
∵与是“差解方程”，
∴，
∴，
故答案为：；
（）解方程，得；解方程，得，
∵方程与方程是“差解方程”，
∴，
即，
解得或，
故答案为：或．
三、解答题
15．（2025七年级上·全国·专题练习）解方程
(1)；
(2)；
【答案】(1)；
(2)；
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键；
（1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可得到答案；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可得到答案；
【详解】（1）解：去括号得，
，
移项得，
，
合并同类项得，
，
系数化为1得，
；
（2）解：去分母得，
，
去括号得，
，
移项得，
，
合并同类项得，
，
系数化为1得，
．
16．（25-26七年级上·北京·期中）解下列方程：
(1)；
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了解一元一次方程．
（1）先移项合并同类项，再将系数化为1即可；
（2）移项合并同类项即可；
（3）先去分母，再去括号，最后移项合并同类项即可．
【详解】（1）解：
（2）
（3）
17．（24-25六年级下·山东泰安·单元测试）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键．
（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（2）按照去括号，去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（4）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程即可．
【详解】（1）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）解：
去括号得：，
去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（3）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（4）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：．
18．（25-26七年级上·北京西城·期中）下面是小红同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应问题．
解： 第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
(1)以上解题过程中，第一步是依据______进行变形的；
(2)从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
(3)请写出该方程的正确解答过程．
【答案】(1)等式的基本性质
(2)三；移项没有变号
(3)见解析
【分析】本题考查了解一元一次方程，等式的性质，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
（1）根据等式的基本性质，即可解答；
（2）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，逐一判断即可解答；
（3）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：以上解题过程中，第一步是依据等式的基本性质进行变形的，
故答案为：等式的基本性质；
（2）解：从第三步开始出现错误，这一步的错误的原因是移项没有变号，
故答案为：三；移项没有变号；
（3）解：：，
等式两边同时乘以去分母得，，
去括号得，，
移项、合并同类项得，，
系数化为1得，．
19．（24-25七年级上·重庆忠县·期末）设为有理数，已知关于的一元一次方程．
(1)若方程与已知方程的解相同，求的值；
(2)若关于的方程的解比已知方程的解大，求已知方程的解．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．
（1）先求出方程的解为，再将代入已知方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得；
（2）先求出两个方程的解，再根据关于的方程的解比已知方程的解大可得一个关于的一元一次方程，解方程可得的值，由此即可得．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
∵方程与方程的解相同，
∴将代入方程得：，
解得．
（2）解：，
，
解得，
，
，
，
解得，
∵关于的方程的解比方程的解大，
∴，
解得，
∴，
所以已知方程的解为．
20．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称为这两个方程为“致真方程”．如方程和为“致真方程”．
(1)若关于的方程与方程是“致真方程”，求的值；
(2)若关于的方程和是“致真方程”，求这两个方程的解．
【答案】(1)
(2)方程的解为，方程的解为
【分析】本题考查了一元一次方程的解的应用，解题的关键是掌握“致真方程”的定义．
（1）根据解一元一次方程的步骤，可用表示出方程的解，再解出方程的解，最后结合“致真方程”的定义和相反数的定义，可得出关于的方程，解出的值即可；
（2）根据解一元一次方程的步骤，可用表示出两个方程的解，结合“致真方程”的定义和相反数的定义，可得出关于的方程，解出的值即可．
【详解】（1）解：
；
；
∵方程与方程是“致真方程”，
∴，
解得．
（2）解：
；
；
∵方程和是“致真方程”，
∴，
去分母，得，
去括号，得，
移项，合并同类项，得，
则，
，
故方程的解为，方程的解为．
21．（25-26七年级上·北京·期中）如图为一个“鱼形”计算程序．输入值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到．例：若输入，则．
(1)若输入，则__________，__________：
(2)若得到，求输入的值及相应的值；
(3)若输入所得值与输入所得值相同，求输入的值．
【答案】(1)1；
(2)，
(3)．
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，理解程序图是解题的关键．
（1）根据程序图输入，即可求解；
（2）根据程序图可得，从而得到，直一步计算即可求解；
（3）根据得到m的值等于n的值，可得到关于x的方程，即可求解．
【详解】（1）解：输入，得到，；
故答案为：1；；
（2）解：由题意得：，
解得：，
∴；
（3）解：由计算程序，可知，．
∵m的值等于n的值，
∴，
解得：．
22．（24-25七年级下·四川资阳·期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程互为“唯美方程”．如方程和互为“唯美方程”．
(1)若关于x的方程与方程互为“唯美方程”，求m的值；
(2)若两个方程互为“唯美方程”，它们的解的差为7，其中一个方程的解为n，求n的值；
(3)若关于x的一元二次方程和互为“唯美方程”，求关于y的一元一次方程的解．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】本题考查的是解一元一次方程的应用，正确理解“唯美方程”的定义是解题关键．
（1）先求出两个方程的解，再根据“唯美方程”的定义，即可求出m的值；
（2）根据“唯美方程”的定义，表示出方程的另一个解，再根据两个解的差为7，即可求出n的值；
（3）先求出方程的解，进而得出的解，再将方程可化为，即可求出的值．
【详解】（1）解：解得：，
解得：，
方程与方程互为“唯美方程”，
解得：；
（2）解：由题意得，当，即时，
，解得，
当，即时，
，解得，
综上所述：或；
（3）解：由得
，
所以的解是，
将整理得
，
所以，
．
教学目标
1. 掌握解法步骤，能按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的规范流程，准确求解一元一次方程，书写清晰完整的解题过程。
2. 面对含分数、小数、括号等不同形式系数的方程，能灵活运用解法步骤，处理复杂方程，提升运算能力与思维灵活性 。
3. 通过解决实际问题，将实际情境转化为一元一次方程模型，运用方程解法得出答案，培养数学应用意识与建模能力。
教学重难点
1.重点
（1）熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，理解每一步骤的依据及作用，能够正确运用步骤解各类一元一次方程 。
（2）准确运用去分母、去括号法则，正确处理移项变号、合并同类项和系数化为1的计算，保证解方程的准确性 。
2.难点
（1）去分母时，避免漏乘不含分母的项；去括号时，防止出现符号错误；移项时，牢记变号规则，克服解方程过程中的易错点 。
（2）从复杂的实际问题中提炼出数量关系，构建一元一次方程模型，并运用恰当的解法求出符合实际意义的解 。