第五章 一元一次方程 - 初中数学七年级上册 单元测试卷（北师大版2024）

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第五章 一元一次方程（单元测试·强化卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列方程中，是一元一次方程的是（     ）A．B．C．D． 【答案】D【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，解答关键是按照定义进行判断．根据一元一次方程的定义回答即可．【详解】解：A、有两个未知数，故不是一元一次方程，故A错误；B、分母中有字母，是分式方程，故不是一元一次方程，故B错误；C、不是等式，故不是一元一次方程，故C错误；D、符合一元一次方程的特点，是一元一次方程，故D正确．故选：D．2．下列运用等式的性质变形错误的是（   ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】B【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的基本性质，等式两边同时加减同一数或乘除同一非零数，等式仍成立．需注意乘除时数不能为零．【详解】解：选项A：若，两边加6得，符合等式性质，正确．选项B：若，当时，无论a、b为何值等式均成立，此时无法推出．因未限定，变形错误．选项C：若，隐含，两边乘c，得，正确．选项D：若，两边除以（非零数），得，正确．综上，B选项的变形未排除的情况，故错误．故选：B．3．下列方程变形正确的是（         ）A．由移项，得B．由去括号，得C．由系数化为1，得D．由去分母，得【答案】D【分析】本题考查了一元一次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解．根据一元一次方程的性质分析，即可得到答案．【详解】解：A．由移项，得，故选项A错误；B．由去括号，得，故选项B错误；C．由系数化为1，得，故选项C错误；D．由去分母，得，故选项D正确；故选：D．4．把方程的分母化为整数，以下变形正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题考查了解一元一次方程，解决本题的关键是要注意把方程中分母化为整数再求解．把方程中的分子与分母同时乘以一个数，使分母变为整数即可．【详解】解：把 的分子与分母同时乘以得， 的分子分母同时乘以20得，所以把方程的分母化为整数可得：，故选：A．5．已知关于的方程与的解互为相反数，则的值为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查了解一元一次方程，相反数的定义，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键；先求出两个方程的解，再根据相反数的定义得出关于的一元一次方程，解方程即可求解．【详解】解：解方程，得，解方程，得，∵两个方程的解互为相反数，∴，解得，故选：．6．对有理数规定新运算“※”的意义是：，则方程的解是（   ）A．B．3C．D．【答案】A【分析】本题考查了新定义运算的应用与一元一次方程的求解，解题的关键是根据“”的规则，将“3x※x”转化为常规代数表达式，再通过解方程步骤求出的值．【详解】解：由新运算“”，得∴，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得．故选：A．7．我国古代的数学著作《九章算术》中有这样一道题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”其大意为：一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，五天共织布五尺，问每天各织多少布？根据此问题中的已知条件，设第一天织布尺，根据题意可列方程（   ）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查列一元一次方程，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出方程．设第一天织布尺，根据题意“每天织布量为前一天的2倍”可得，第二天的织布为尺，第三天织布为尺，第四天织布为尺，第五天织布为尺，再根据“五天共织布五尺”列式即可．【详解】解：设第一天织布尺，根据题意可得：第二天的织布为尺，第三天织布为尺，第四天织布为尺，第五天织布为尺，五天总织布量为：，∴ 所列方程为．故选：B．8．小明在解关于的方程时，误将看成了，得到的解为．请聪明的你帮小明算一算，方程正确的解为（   ）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题考查了方程的解的定义和解一元一次方程，掌握方程解的定义和解一元一次方程的方法是关键．先根据题意得到方程的解为，求出，再代入原方程得到，解方程即可．【详解】解：根据题意，小明错解的方程为，将代入该方程得：，解得：，∴原方程为：，解得：，故选：A．9．在一个底面直径为6cm，高为9cm的圆柱形瓶内注水，使水柱的高为5cm，向瓶中放入一块长、宽、高分别为2cm，2cm，4cm的长方体铁块，则此时水柱的高为（ ）（取3）A．cmB．cmC．cmD．cm【答案】D【分析】利用长方体及圆柱的体积公式列出方程求解即可．【详解】解：设水面将增高，由题意可得，，解得，．此时水柱的高为，故选：D．【点睛】本题主要考查了体积公式，解题的关键是利用长方体及圆柱的体积公式列出方程．10．将九个数分别填在（行列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于，则将这样的图称为“和幻方”如图①为“和幻方”，图②为“和幻方”，图③为“和幻方”，若图④为“和幻方”，则的值等于（  ）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题主要考查一元一次方程的应用．根据题意可得，，，，，再由所有的数的和为，得到关于b的方程，即可求解．【详解】解：如图，根据题意得：，，，∴，，，，∴，，∵所有的数的和为，∴，∴，解得：，∴．故选：A二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．当 时，式子和的值互为相反数．【答案】1【分析】本题主要考查了相反数的定义，解一元一次方程，根据相反数的定义得出，解方程即可得出答案．【详解】解：∵式子和的值互为相反数，∴解得：故答案为：1．12．若是关于的一元一次方程，则的值为 ．【答案】【分析】本题考查了一元一次方程的定义，由题意可得且，解之即可，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．【详解】解：∵是关于的一元一次方程，∴且，∴，故答案为：．13．如图，斜的三个数的和与横的三个数的和都是相等的，则 ．【答案】【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据两条斜线三个数的和相等列关于的一元一次方程并求解，再根据斜的三个数的和与横的三个数的和相等列关于的一元一次方程并求解即可，掌握一元一次方程的解法是解题的关键．【详解】解：根据题意，得，解得，则，解得．故答案为：．14．金牛区举办了“金教杯”校园足球超级联赛：比赛规则如下：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得分．某校园足球队进行了9场比赛，其中负2场，共得13分，那么该足球队共胜了 场．【答案】4【分析】本题考查了一元一次方程组的应用；设胜场数为，则平了场，根据总积分为分，列出方程．解方程组即可．【详解】解：设胜场数为，则平了场，依题意得，解得：故答案为4．15．若关于的方程的解为，则关于的方程的解为 ．【答案】【分析】本题主要考查了方程的解，解一元一次方程，掌握理解方程的解，代入计算是解题关键．把代入计算得，再根据题意得即可求解．【详解】解：关于的方程的解为，，，，，．故答案为：．16．按下面的运算程序计算：当输入时，输出结果为33；当输入时，输出结果为17．如果输入的值为正整数，输出的结果为25，那么满足条件的的值为 ．【答案】11或4【分析】本题考查代数式求值，理解运算程序是正确解答的前提，掌握有理数混合运算法则是解答本题的关键．根据运算程序，分别就1次输出，2次输出，3次输出，进行验证推算即可解答．【详解】解：根据题意得，，解得；，解得；，解得（不合题意，舍去）；∴的值为11或4．故答案为：11或4．三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解方程：(1) (2)【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤．（1）利用解一元一次方程的步骤进行求解即可；（2）利用解一元一次方程的步骤进行求解即可．【详解】（1）解： ；（2）解：．18．现定义一种新运算“☆”：对于任意有理数a，b，有．例如：．求(1)的值；(2)若，求x的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查含乘方有理数的混合运算、新定义，熟练掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键．（1）根据，可以计算出所求式子的值；（2）先根据，表达出，最后可以计算出所求式子的值．【详解】（1）解：根据题意得，；（2）解：∵，又∵，∴，解得．19．如图，甲、乙两位同学在长方形的场地ABCD上绕着四周跑步，甲沿着A-D-C-B-A方向循环跑步，同时乙B-C-D-A-B方向循环跑步，，．若甲的速度为2m/s，乙的速度为3m/s．(1)当甲、乙两人第一次相遇时，求所经过的时间．(2)若甲改为沿着A-B-C-D-A的方向循环跑步，而乙仍按原来的方向跑步，两人的速度不变，则经过多少秒乙追上甲？【答案】(1)s(2)【分析】（1）设经过，根据甲、乙两人第一次相遇列方程求解即可；（2）设经过，乙追上甲，根据甲乙路程的关系列方程求解即可．【详解】（1）解：设经过，甲、乙两人第一次相遇．根据题意，得，解得，故当甲、乙两人第一次相遇时，所经过的时间为s．（2）解：设经过，乙追上甲，则，解得．故经过s，乙追上甲．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确的运算是解题的关键．20．若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”．请根据“友好方程”定义，解决下列问题：(1)①，②两个方程中为“友好方程”的是____________（填写序号）；(2)若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值．【答案】(1)①(2)【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解“友好方程”的定义是解题关键．（1）根据“友好方程”的定义求解即可；（2）先解方程，再根据“友好方程”的定义得到关于的一元一次方程，求解即可．【详解】（1）解：①方程的解为，而，则方程为“友好方程”；②方程的解为，而，则方程不为“友好方程”；故答案为：①（2）解：方程的解为，关于的一元一次方程是“友好方程”，，．21．如图，小明设计了一个计算程序．输入x值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到n．如：输入，得到．(1)若输入，则 ， ；(2)若得到，求输入的x值及相应n的值；(3)若得到的m值比n值大1，求输入的x值．【答案】(1)6，(2)，．(3)【分析】本题主要考查了解一元一次方程，有理数的运算，理解程序图是解题的关键．（1）根据程序图输入，即可求解；（2）根据程序图可得，从而得到，即可求解；（3）根据得到的m值比n值大1，可得到关于x的一次方程，即可求解．【详解】（1）解：输入，输出．故答案为：6，．（2）解：时，，解得，∴．（3）解：∵，且m值比n值大1，∴，即，解得．22．七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数多6人，劳动技术课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身12个或盒底26个．(1)七年级一班有男生和女生各多少人？(2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套．【答案】(1)男生28人，女生22人(2)4名【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．（1）设七年级一班有女生人，则有男生人，根据七年级一班共有学生50人，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设需要名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套，根据制作盒底的总数量是制作盒身总数量的2倍，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：设七年级一班有女生人，则有男生人，根据题意，得，解方程，得，，∴七年级一班有男生28人，女生22人；（2）解：设需要名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套，根据题意，得，解方程，得．∴需要4名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套．23．观察下列三行数：，2，，8，，32，…；①，4，，16，，64，…；②0，6，，18，，66，…；③(1)第①行和第②行中的第8个数分别是________和________；(2)设第①行中的第n个数是x，则第②行和第③行中对应的第n个数分别是________和________；(3)取每行中的第n个数，这三个数的和能否等于？如果能，指出是每行中的第几个数；如果不能，请说明理由．【答案】(1)128，256(2)，(3)不能，理由见解析【分析】本题考查数字的变化规律，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律，列出相应的方程，利用方程的知识解答．（1）根据题目中的数据可以发现第一行和第二行中数据的变化规律，从而可以写出第①行和第②行的第8个数分别是多少；（2）根据题目中的数据可以发现第一行和第二行中数据的变化规律，第①行中的第n个数是x，从而可以写出第②行和第③行中对应的第n个数分别是多少；（3）根据（2）中的结果可以求得这三个数的和能否等于．【详解】（1）解：由题目中的数据可得，第（1）行中的第1个数为，第（1）行中的第2个数为，第（1）行中的第3个数为，……第（1）行中的第个数为，同理第（2）行中的第个数为，同理第（3）行中的第个数为，∴第（1）行和第（2）行中的第8个数分别是，，故答案为：128，256；（2）解：由（1）可知，第（1）行中的第个数为，第（2）行中的第个数为，第（3）行中的第个数为，∴知第（1）行中的第个数是x，则第（2）行和第（3）行中对应的第个数分别是，，故答案为：，；（3）解：不能，理由如下：取每行中的第个数，假设这三个数的和能等于，令，解得，∵，解得，方程无解．∴每行第n个数相加的和不能等于．24．商场经销的两种商品，A种商品每件售价为60元，利润率为；种商品每件进价为50元，售价为80元．(1)A种商品每件进价为_______元，每件B种商品利润率为_______．(2)商场同时购进两种商品共50件，售完之后恰好总利润为1300元，求购进A种商品多少件？(3)在“春节”期间，该商场只对两种商品进行如下的优惠促销的活动：若小明两次购买商品分别付款360元和540元，若两次合并成一次性付款可以比两次购物分别付款节省多少元？【答案】(1)，(2)购进种商品20件(3)节省元或元【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解．（1）设种商品每件售价为元，根据的利润率为，列出方程求出的值，根据利润率利润成本计算可求每件种商品利润率；（2）设购进种商品件，则购进种商品件，再由总利润为1300元，列出方程求解即可；（3）先分别计算小明两次购买商品的实际金额，再分两种情况讨论，列式计算即可得出答案．【详解】（1）解：设种商品每件进价为元，则，解得：．故种商品每件进价为40元；每件种商品利润率为．故答案为：，；（2）解：设购进种商品件，则购进种商品件，由题意得：，解得，答：购进种商品20件．（3）解：小明两次购买商品分别付款360元和540元，∴小明第一次购买商品的实际金额为360元，设小明第二次购买商品的实际金额为元，当时，，解得：，当时，则，解得：，当小明两次购买商品实际金额为360元和600元，两次合并成一次性付款为：（元），∴节省（元）；当小明两次购买商品实际金额为360元和680元，两次合并成一次性付款为：（元），∴节省（元）．答：两次合并成一次性付款可以比两次购物分别付款节省元或元．25．如图，已知数轴上依次有三点，点B对应的数是，且点到点的距离均为10．(1)写出点所对应的数；(2)若动点分别从两点同时向右运动，点的速度分别为每秒3个单位长度和每秒1单位长度，问多少秒时点与点重合；(3)若动点分别从两点相向而行，点运动2秒后，点才出发，点的速度分别为每秒3个单位长度和每秒1单位长度，问点运动多少秒时？【答案】(1)(2)秒时重合(3)点运动或秒时【分析】本题主要考查数轴上的动点问题、两点距离及一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；（1）根据“点到点的距离均为10”进行求解即可；（2）设运动x秒时重合，然后可得方程，进而问题可求解；（3）设点M运动时间为t秒，则，然后由题意可分当时，点N还没开始出发，当时，进而进行分类求解即可．【详解】（1）解：由题意得，，所以点A所对应的数为．（2）解：方法一：由题意得：，所以运动5秒后两点重合．方法二：设运动x秒时重合，由题意得：，解得；答：运动5秒后两点重合．（3）解：由题意可知点C所表示的数为，设点M运动时间为t秒，则，由题意可分：当时，则，因为，所以，解得：，当时，则，所以，解得（不符合题意，舍去）或；综上所述：当点运动或秒时．打折前一次性购物总金额优惠措施少于等于400元不优惠超过400元，但不超过600元按总售价打九折超过600元其中600元部分打八折优惠，超过600元的部分打七五折优惠