第五章 一元一次方程 - 初中数学七年级上册 考点梳理+题型强化练习（北师大版2024）

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第五章 一元一次方程 【清单01】一元一次方程的概念1.方程：含有未知数的等式叫作方程． 2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。3.一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次方程。细节剖析：判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．4.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。【清单02】等式的基本性质等式的性质1 等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。字母表达式为：． 等式的性质2 等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。字母表达式为：．细节剖析：等式的传递性 【清单03】一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．【清单04】一元一次方程的应用首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．一元一次方程应用题解题一般步骤：①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）【清单05】用一元一次方程解决实际问题的常见类型（1）探索规律型问题；（2）数字问题；（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；（5）行程问题（路程＝速度×时间）；速度×时间=路程；相遇问题：S甲＋S乙=S总 ；追及问题：S快-S慢=S相距 ；（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题；（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．题型01 一元一次方程的定义【例1】（24-25七年级上·吉林·期中）下列方程中是一元一次方程的是（    ）A． B． C．D．【变式1-1】（24-25七年级下·四川乐山·期中）以下方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中一元一次方程有（    ）A．2个B．3个C．4个D．5个【变式1-2】（24-25七年级下·甘肃天水·期中）已知下列方程：①  ②  ③  ④  ⑤ ⑥．其中一元一次方程有(    )A．1个B．2个C．3个D．5个题型02 利用一元一次方程的定义求参数【例2】（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知关于x的方程是一元一次方程，则 ．【变式2-1】（24-25七年级下·河南周口·期中）已知是关于x的一元一次方程，则 ．【变式2-2】（24-25六年级下·山东烟台·期中）已知关于的方程是一元一次方程，则的值是 ．题型03 已知方程的解求字母或代数式的值【例3】（24-25七年级下·四川内江·期中）如果的解与的解相同，则a的值是 ．【变式3-1】（23-24七年级上·四川广元·期中）若方程的解比方程的解大1，则m的值为 ．【变式3-2】（24-25七年级下·福建泉州·期中）若是关于的方程的解，则的值是 ．题型04 等式的基本性质【例4】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列说法一定正确的是（   ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【变式4-1】（24-25七年级下·四川眉山·期中）下列运用等式的性质变形错误的是（   ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【变式4-2】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）运用等式的性质进行变形，错误的是（    ）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．如果，那么题型05 解一元一次方程【例5】（24-25七年级上·四川德阳·期中）解下列方程：(1)；(2)．【变式5-1】（24-25七年级上·湖北武汉·期中）解方程：(1)；(2)．【变式5-2】（24-25七年级上·北京·期中）解方程：(1)(2)题型06 解一元一次方程错解复原【例6】（24-25七年级上·吉林松原·期中）以下一名同学解方程的解答过程．解：去分母，得①去括号，得②移项，合并同类项，得③系数化为1，得④该同学的解答在第______步出现错误，请写出正确的解答过程．【变式6-1】（24-25七年级上·福建莆田·期中）下面是小青同学错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的问题．(1)填空：①以上解题过程中，第一步是依据______进行变形的，第二步去括号时用到的运算律是______；②第______步开始出错，这一步错误的原因是______；(2)请正确解该方程．【变式6-2】（24-25七年级上·福建福州·期中）在学习《求解一元一次方程》之后，老师在黑板上出了一道解方程的题，下面是小乐同学的解题过程，请仔细阅读并完成相应的任务．填空：(1)以上解题过程中，第一步的变形的依据是__________；第二步去括号时依据的运算律是__________；(2)以上解题过程中从第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是__________；(3)求该方程的正确解．题型07 已知含参数一元一次方程的解为整数解求参数的值【例7】（24-25七年级上·江苏南通·期中）关于的方程的解是负整数，则整数的值是 ．【变式7-1】（24-25七年级下·福建漳州·期中）已知为整数，若关于的方程的解为正整数，则满足条件的所有的值是 ．【变式7-2】（23-24七年级下·四川眉山·期中）关于x的方程的解是正整数，满足条件的所有整数m的积是 ．题型08 已知含参数一元一次方程的解求另一元一次方程的解【例8】（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ．【变式8-1】（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ．【变式8-2】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解 ．题型09 一元一次方程的应用【例9】（24-25七年级下·河南周口·期中）洛阳龙门石窟被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”．某校七年级组织了一次研学活动，计划安排6名老师带领名学生参观龙门石窟，已知每张门票的票价为90元．现有，两种购票方案可供选择：方案：教师全价，学生半价．方案：不分教师与学生，师生全部六折优惠．(1)请分别计算，两种方案的总费用（请用含的代数式表示）．(2)当学生人数是多少时，，两种方案的总费用一样．(3)当时，请通过计算来说明，两种购票方案中哪种更优惠．【变式9-1】（24-25七年级下·四川眉山·期中）某超市计划购进甲、乙两种商品共120件，这两种商品的进价、售价如表：(1)超市如何进货，进货款恰好为4600元．(2)为确保乙型节能灯顺利畅销，在（1）的条件下，商家决定对乙型节能灯进行打折出售，且全部售完后，乙型节能灯的利润率为，请问乙型节能灯需打几折？【变式9-2】（24-25七年级下·河南洛阳·期中）为节约用水，政府决定对居民用水实行三级阶梯水价：(1)若小明家今年2月份用水量是26立方米，缴费62.6元，请求出上表中a值？(2)在（2）的条件下，若小明家3月份用水量增大，共缴费97.6元，请求出他家3月份的用水量是多少立方米？题型10 一元一次方程中与运算有关的新定义型问题【例10】（23-24七年级上·湖南衡阳·期中）若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如．(1)求的值；(2)若，求x的值．【变式10-1】（25-26七年级上·全国·期中）定义新运算：对于任意有理数a，b，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：．(1)求的值；(2)若的值等于13，求的值．【变式10-2】（24-25七年级上·云南昆明·期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．例如：．(1)计算：；(2)若，求的值．题型11 解一元一次方程中的新定义型拓展问题【例11】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“成双方程”．例如：判断方程和，是否互为“成双方程”．解：方程和是互为“成双方程”，理由如下：解方程，解得．解方程，解得．，方程和互为“成双方程”．(1)请判断方程与方程是否互为“成双方程”，并说明理由；(2)若关于的方程与方程互为“成双方程”，求的值．【变式11-1】（23-24七年级上·重庆巴南·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和谐方程”.例如：方程和为“和谐方程”.(1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值；(2)若“和谐方程”的两个解的差为6，其中一个解为，求的值；(3)若关于的一元一次方程和是“和谐方程”，求关于的一元一次方程的解.【变式11-2】（24-25七年级上·广东江门·期中）对于，，定义，若，则称与是关于1的“对称数”．(1)填空：7与_________是关于1的“对称数”，与_________是关于1的“对称数”．(2)若，，判断与是不是关于1的“对称数”，并说明理由．(3)已知，，其中，均为常数，且无论取何值，与都是关于1的“对称数”，求，的值．题型12 一元一次方程的应用之数轴上的行程问题【例12】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）在数轴上，点为原点，点表示的数为，点表示的数为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动．设运动时间为秒（）．(1)分别用含的代数式表示点、点对应的数；(2)当为何值时，、两点到原点的距离相等？(3)若点运动到点后立即以原速度沿数轴负方向运动，点运动到点后停止运动．①求点到达点及点到达点的时间；②当时，是否存在某一时刻，使得、两点之间的距离为个单位长度？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【变式12-1】（24-25七年级上·福建南平·期中）阅读并理解下列材料：数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律．数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离为，将数轴沿表示的点折叠，可使点A、B重合，例如点M表示的数是2，点N表示的数是6，则M、N两点之间的距离，将数轴沿表示的点折叠，可使点M、N重合．请你解决以下问题：数轴上点A、B、C分别表示数a、b、c，其中．(1)若a、b满足，求A，B两点之间的距离；(2)点A、B、C在数轴上的位置如图所示，沿该数轴上某点折叠，使点A、点B重合，则与点C重合的点表示的数为 （用含a、b、c的代数式表示）；(3)若，，，在数轴上点A以每秒x个单位长度的速度向左匀速运动，同时点B以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，运动t秒后， ， ，则若运动过程中，的值不变，求x的值．【变式12-2】（24-25七年级上·湖南长沙·期末）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A的“幸福 点”，若C到 A、B 的距离之和为6，则C叫做A、B的“幸福中心”．(1)如图1，点A表示的数为，则A的幸福点C所表示的数应该是 (2)如图2 ，M、N为数轴上两点，点 M所表示的数为4 ，点N所表示的数为，点C就是M、N的幸福中心，则C所表示的数可以是 （填一个即可）；(3)如图 3， A、B、P为数轴上三点，点A所表示的数为，点B所表示的数为4 ，点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2 个单位每秒的速度向左运动，当经过多少秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心？ 一、单选题1．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）下列四个方程属于一元一次方程的是（    ）A．B．C．D．2．（25-26七年级上·全国·期末）下列式子是运用等式的性质进行的变形，其中错误的是（   ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则3．（25-26七年级上·河北唐山·期中）当时，嘉淇计算多项式的值为4，当时，的值为7，则k的值为（   ）A．1B．2C．3D．44．（24-25七年级下·重庆万州·月考）若不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是．则的值是（     ）A．B．C．D．155．（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，将2，，4，，7，，，3分别填入圆圈内，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等，现已将2，，4，，7这五个数填入圆圈内，则图中（   ）A．或2B．或2C．或1D．或6．（25-26七年级上·湖北武汉·开学考试）如图是某月的月历，现用“”图形在月历中框出5个数，它们的和为55．不改变“”图形的大小，将“”图形在该月历上移动，所得5个数的和可能是（   ）A．40B．88C．107D．110二、填空题7．（25-26七年级上·重庆·期中）若是关于的方程的解，则的值为 ．8．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）已知关于x的方程与方程的解相同，则m的值 ．9．（2024七年级上·全国·专题练习）方程的解与关于x的方程的解互为相反数，则k的值为 ．10．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知a、b为常数，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是，则ab的值为 ．11．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）已知关于x的一元一次方程的解为2023，那么关于y的一元一次方程的解为 ．12．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）若关于的方程的解是正整数，则整数的值为 ．三、解答题13．（25-26七年级上·重庆·期中）解方程(1)(2)(3)(4)14．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中） 某校七年级组织研学活动，若租用45座客车，则有15人无座；若租用60座客车，则可少租1辆，且刚好坐满．(1)求参加研学的学生人数；(2)已知45座客车租金为每辆300元，60座客车为每辆400元，问租哪种车更合算？15．（24-25七年级上·江西赣州·期末）如图的数阵是由全体奇数排成的：(1)如图，任意图出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为，则用含的代数式表示，则另两个数分别是___________和___________；(2)在数阵图中作图中的平行四边形框，这九个数之和是___________；(3)这九个数之和能等于2024吗？若能，请写出这九个数中最大的一个数；若不能，请说明理由．16．（25-26七年级上·广西南宁·阶段练习）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是．若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且与互为相反数，且设运动的时间为．(1)______，______；(2)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头相距8个单位长度？(3)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟有？17．（19-20七年级上·湖北孝感·期末）中百仓储超市开展迎新春大酬宾促销活动，所有商品一律按顾客购买的商品总价打折出售，折扣方案如下表：活动期间，小张阿姨分两次购买了一些商品，总价一共为600元，其中，第一次只购买了一百多元的商品，已知小张阿姨这两次购物一共付款498元．(1)如果小张阿姨把这两次购物合并为一次购物，在实际支付498元的基础上，还可以节省多少元？(2)小张阿姨这两次购买的商品的总价分别为多少元？(3)小张阿姨第三次购物，购买的商品总价为460元，付款时收银员姐姐建议她再挑选40元的商品，凑足500元后付款更划算，请你帮助小张阿姨决定，是否应该接受收银员姐姐的建议？18．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）阅读材料：我们定义：若两个实数满足的差等于这两个实数的商，那么这两个实数就叫做“差商等数对”即如果 ，则称a与b就叫做“差商等数对”，记为．例如：；，则称数对，是“差商等数对”．根据上述材料，解决下列问题：(1)下列数对中，“差商等数对”的是 （填序号）：①    ②    ③(2)若是“差商等数对”，求 的值；(3)如果是“差商等数对”，那么 （用含n的代数式表示）．19．（20-21六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某物流公司一天邮寄20个包裹，若每个包裹收费以30元为标准，超出标准价格记为正数，不足标准价格记为负数，这一天的收费记录如下表：(1)该物流公司邮寄这20个包裹共收费多少元钱？(2)该物流公司邮寄包裹按如下标准收取顾客费用（不足1千克按1千克收费）：不超过1千克收10元，超过1千克但不超过10千克，超过的部分按元／千克收费，超过10千克的部分按元／千克收费，若甲顾客邮寄的包裹重量为20千克，请用含的式子表示甲顾客邮寄包裹所需费用是多少元？(3)在（2）的条件下，当包裹重量为14千克时，该物流公司收费40元；若乙顾客某次邮寄包裹的费用为88元，请计算乙顾客此次邮寄包裹重量是多少千克？（乙顾客邮寄包裹重量为整数千克）20．（25-26七年级上·北京昌平·期中）对于数轴上三个不同的点，，，给出如下定义：在线段，，中，若其中有两条线段相等，则称三点是“均衡点”．(1)点表示的数是，点表示的数是1，点表示的数是3，三点___________（填“是”或“不是”）“均衡点”；②点表示的数是，且，，三点是“均衡点”，则___________；(2)点表示的数是，点表示的数是，线段（为正整数），线段，若，三点是“均衡点”，且关于的一元一次方程的解为整数，求的最小值．教学目标1. 理解方程、一元一次方程及其解的概念，掌握等式性质与解方程步骤。2. 能列一元一次方程解决实际问题，会根据解求参数或代数式的值。3. 应对新定义、含参数等拓展问题，提升方程应用能力。4.。教学重难点1.重点（1）熟练运用去分母等步骤解一元一次方程，准确掌握等式性质。（2）找准实际问题中的等量关系，列方程解决常见类型问题。2.难点（1）含参数方程中，根据解的条件（如整数解）求参数的所有可能值。（2）理解新定义型问题的规则，将其转化为常规方程求解并验证。解方程：．解：．第一步．第二步．第三步．第四步．第五步解：……………………第一步……………………第二步……………………第三步……………………第四步……………………第五步进价（元/件）售价（元/件）甲2530乙4560每户每月用水量水费价格（单位：元/立方米）不超过22立方米2.3超过22立方米且不超过30立方米的部分a超过30立方米的部分4.6商品总价低于200元不低于200元但低于500元不低于500元折扣方案按总价的九折付款按总价的八折付款按总价的七折付款与标准收费的差值（单位：元）－4－20248包裹个数523262