有趣的密铺 知识梳理+考点精讲+综合测试（含答案）--人教版数学五年级上册

这是一份有趣的密铺 知识梳理+考点精讲+综合测试（含答案）--人教版数学五年级上册，共16页。
人教版五年级上册数学讲义 第07单元 有趣的密铺 知识梳理 · 考点精讲 · 综合测试  第一部分 知识梳理 知识点一 密铺的概念 1. 密铺的定义 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，图形之间既没有重叠，也没有空隙，像这样铺满整个平面，就叫做密铺（也叫镶嵌）。 2. 密铺的特点 在密铺图案中，每个顶点周围的角度之和等于360°。这是密铺最本质的特征。 3. 密铺的条件 （1）所选图形的大小、形状必须完全相同（或能恰好拼合）； （2）拼接时图形之间没有重叠、没有空隙； （3）在每个拼接点（顶点）处，所有角的度数之和恰好等于360°。 4. 生活中的密铺 密铺在我们的生活中随处可见，例如：地砖、墙砖、蜂巢、足球表面等，都运用了密铺的原理。 知识点二 哪些图形可以密铺 1. 可以密铺的图形 2. 重要结论 （1）任意三角形、任意四边形都能密铺。 （2）正多边形中，只有正三角形、正方形、正六边形能单独密铺。 （3）圆不能密铺，因为圆与圆之间一定会有空隙。 密铺图案欣赏 知识点三 正多边形密铺的条件 1. 密铺条件的推导 设正多边形的边数为n，其内角为： 内角 = (n-2) × 180° ÷ n 若k个这样的正多边形在一个顶点处密铺，则： k × 内角 = 360° 即：内角必须能整除360°。 2. 常见正多边形的密铺判断 3. 结论 能单独密铺的正多边形只有三种：正三角形、正方形、正六边形。 判断方法：正多边形的内角度数能整除360°时，可以密铺；否则不能密铺。 知识点四 欣赏和设计密铺图案 1. 设计密铺图案的方法 （1）基本图形法：选择一种或几种能密铺的图形作为基本单元，通过平移、旋转、翻折等方式重复排列。 （2）变形法：从一种能密铺的图形（如正方形）出发，对它进行"剪补"变形——在一边剪下一部分，补到对边上，得到的新图形仍然可以密铺。 （3）组合法：将多种能密铺的图形组合在一起，设计出更丰富的图案。 2. 设计密铺图案的注意事项 （1）变形前后的图形面积不变（剪下的部分等于补上的部分）； （2）变形后的图形仍然要满足密铺条件——在拼接点处角度之和为360°； （3）可以充分发挥想象力，设计出美丽有趣的密铺图案。 3. 荷兰艺术家埃舍尔（M.C. Escher） 埃舍尔是著名的数学艺术大师，他创作了大量精美的密铺图案，将鱼、鸟、蜥蜴等生物形象巧妙地排列在一起，令人叹为观止。他的作品充分展示了数学与艺术的完美结合。 第二部分 考点精讲与练习 考点一 密铺的概念与判断 【例题1】下列哪种铺法属于密铺？（ ） A. 图形之间有重叠 B. 图形之间有空隙 C. 图形既不重叠也没有空隙地铺满平面 D. 图形大小不一样地拼接 【分析】密铺的定义是：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，图形之间既没有重叠，也没有空隙，铺满整个平面。选项A有重叠，选项B有空隙，选项D图形大小不一样，都不符合密铺的定义。只有选项C完全符合。 【解答】C 【点评】本题考查密铺的基本概念。判断是否密铺，关键看两个条件：①图形之间没有重叠；②图形之间没有空隙。两者缺一不可。 【配套练习1】判断下面的说法是否正确，正确的画"√"，错误的画"×"。 （1）密铺时，图形之间可以有空隙。（ ） （2）密铺时，图形之间不能有重叠。（ ） （3）用大小不同的正方形也可以密铺。（ ） 【分析】（1）密铺要求图形之间没有空隙，所以错误。（2）密铺要求图形之间没有重叠，所以正确。（3）密铺要求图形大小完全相同，大小不同的正方形不能密铺，所以错误。 【解答】（1）× （2）√ （3）× 【点评】密铺的核心条件是"不重叠、不留空隙、大小相同"，这三个条件必须同时满足。 【配套练习2】在密铺图案中，每个拼接点处所有角的度数之和是（ ）。 A. 180° B. 270° C. 360° D. 540° 【分析】密铺的关键特征是在每个拼接点（顶点）处，围绕该点的所有角的度数之和恰好等于360°，这样图形才能既无重叠又无空隙地铺满平面。 【解答】C 【点评】360°是密铺的核心数量关系，理解和记住这个条件是解决密铺问题的关键。 【配套练习3】观察密铺图案，每个拼接点处有（ ）个正三角形。 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【分析】正三角形的每个内角是60°，要使拼接点处的角度之和为360°，需要360°÷60°=6个正三角形。 【解答】D 【点评】本题考查正三角形密铺时每个顶点处的图形数量，用360°除以正三角形的内角度数即可。 考点二 哪些图形可以密铺 【例题2】下列图形中，不能单独密铺的是（ ）。 A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 【分析】判断正多边形能否单独密铺，关键看其内角度数能否整除360°。正三角形内角60°，360÷60=6，能密铺；正方形内角90°，360÷90=4，能密铺；正五边形内角108°，360÷108≈3.33，不能整除，不能密铺；正六边形内角120°，360÷120=3，能密铺。 【解答】C 【点评】能单独密铺的正多边形只有正三角形、正方形和正六边形三种。正五边形虽然也是正多边形，但内角108°不能整除360°，所以不能单独密铺。 【配套练习1】用同一种图形密铺，下面哪种图形不能密铺？（ ） A. 平行四边形 B. 梯形 C. 圆 D. 正六边形 【分析】平行四边形、梯形都能密铺（任意四边形都能密铺），正六边形也能密铺。圆没有角，圆与圆之间一定会有空隙，所以圆不能密铺。 【解答】C 【点评】圆是唯一不能密铺的常见图形，因为圆的边界是曲线，圆与圆之间必然留有空隙。 【配套练习2】任意三角形都可以密铺吗？为什么？ 【分析】任意三角形的内角和是180°。将6个相同的三角形围绕一个点拼接，每两个三角形组成一个"对顶"关系，在拼接点处恰好有2组三角形的内角，即180°×2=360°，满足密铺条件。 【解答】可以。因为任意三角形的内角和是180°，6个相同的三角形可以拼在一起，在拼接点处的角度之和为180°×2=360°，满足密铺条件。 【点评】任意三角形都能密铺，这是密铺中的一个重要结论，与三角形的具体形状无关。 【配套练习3】下面关于密铺的说法，正确的是（ ）。 A. 只有正多边形才能密铺 B. 任意四边形都能密铺 C. 正五边形可以密铺 D. 圆可以密铺 【分析】A错误，不仅正多边形可以密铺，任意三角形、任意四边形等都可以密铺。B正确，任意四边形都能密铺。C错误，正五边形内角108°不能整除360°。D错误，圆不能密铺。 【解答】B 【点评】任意四边形（包括平行四边形、梯形等）都能密铺，这是一个重要且容易忽略的结论。 考点三 正多边形密铺的条件 【例题3】正多边形的内角为120°，几个这样的正多边形可以在一个顶点处密铺？ 【分析】密铺时，在拼接点处所有角的度数之和等于360°。正多边形内角为120°，则需要的个数为360°÷120°=3（个）。内角120°的正多边形是正六边形。 【解答】360°÷120°=3（个）。需要3个这样的正多边形（正六边形）可以在一个顶点处密铺。 【点评】本题考查密铺的核心公式：拼接点处图形个数 = 360°÷内角度数。结果必须是整数才能密铺。 【配套练习1】正八边形的每个内角是135°，正八边形能单独密铺吗？为什么？ 【分析】判断正多边形能否密铺，看360°除以内角度数是否为整数。360÷135=2.666…，不是整数，所以正八边形不能单独密铺。 【解答】不能。因为360°÷135°≈2.67，不是整数，说明正八边形的内角不能整除360°，所以正八边形不能单独密铺。 【点评】判断正多边形能否密铺的方法就是计算360°÷内角度数，若结果为整数则能密铺，否则不能。 【配套练习2】一种正多边形的内角是90°，它是（ ）边形，在一个顶点处需要（ ）个这样的图形才能密铺。 【分析】内角为90°的正多边形是正方形。360°÷90°=4，所以需要4个正方形在一个顶点处密铺。 【解答】四（或正方）；4 【点评】内角90°对应正方形，4个正方形围绕一个顶点恰好拼成360°。 【配套练习3】下面哪种正多边形不能密铺？（ ） A. 正三角形（内角60°） B. 正方形（内角90°） C. 正七边形（内角约128.6°） D. 正六边形（内角120°） 【分析】分别计算：360÷60=6（整数，能）；360÷90=4（整数，能）；360÷128.6≈2.80（非整数，不能）；360÷120=3（整数，能）。正七边形内角不能整除360°，不能密铺。 【解答】C 【点评】只要内角不能整除360°的正多边形就不能单独密铺。  第三部分 综合测试 基础卷 （满分100分 时间60分钟） 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列图形中，不能单独密铺的是（ ）。A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形 2. 在密铺图案中，每个拼接点处所有角的度数之和是（ ）。A.90° B.180° C.270° D.360° 3. 用同一种正多边形密铺，每个顶点处有3个图形，这种正多边形是（ ）。A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形 4. 下列说法正确的是（ ）。A.圆可以密铺 B.正五边形可以密铺 C.任意三角形都能密铺 D.正八边形可以密铺 5. 正三角形密铺时，每个顶点处有（ ）个正三角形。A.3 B.4 C.5 D.6 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 图形之间既没有________，也没有________，铺满整个平面，叫做密铺。 2. 正方形的内角是________°，________个正方形可以在一个顶点处密铺。 3. 能单独密铺的正多边形只有________、________和________三种。 4. 正六边形的每个内角是________°，360°÷120°=________，所以正六边形________密铺。 5. 任意四边形的内角和是________°，所以任意四边形________密铺。 三、判断题（每题4分，共20分） 1. 密铺时，图形之间可以有空隙。（ ） 2. 正五边形可以单独密铺。（ ） 3. 任意三角形都能密铺。（ ） 4. 圆可以密铺。（ ） 5. 密铺图案中，每个顶点处角度之和一定是360°。（ ） 四、计算题（10分） 已知一个正多边形的内角为90°，请计算： （1）这个正多边形是几边形？ （2）在一个顶点处需要几个这样的图形才能密铺？ （3）判断它能否密铺，并说明理由。 五、应用题（每题6分，共30分） 1. 小明家装修客厅，要用同一种正多边形地砖密铺地面。现有正三角形、正方形、正五边形、正六边形四种地砖可供选择。哪些可以选用？为什么？ 2. 一个密铺图案中，每个顶点处有4个相同的图形。如果这些图形是正多边形，每个内角是多少度？是哪种正多边形？ 3. 用两种正多边形组合密铺：正方形和正八边形能否组合密铺？（提示：正方形内角90°，正八边形内角135°，考虑在顶点处角度之和为360°的组合） 4. 请判断正十二边形能否单独密铺。（正十二边形内角为150°） 5. 设计师要设计一个密铺图案，他从正方形出发，在正方形的一条边上剪下一个三角形，补到对边上。请问变形后的图形还能密铺吗？为什么？  提升卷 （满分100分 时间60分钟） 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列正多边形中，内角能整除360°的有（ ）个。①正三角形 ②正方形 ③正五边形 正六边形 ⑤正八边形。A.2 B.3 C.4 D.5 2. 一种正多边形的每个内角是60°，用这种图形密铺时，每个顶点处有（ ）个图形。A.3 B.4 C.5 D.6 3. 将正方形变形（一边剪下一部分补到对边），变形后的图形（ ）。A.不能密铺了 B.仍然可以密铺 C.只能密铺成特定图案 D.需要更多条件 4. 用正三角形和正方形组合密铺，在一个顶点处可能是（ ）。A.2个正三角形+2个正方形 B.3个正三角形+2个正方形 C.1个正三角形+3个正方形 D.4个正三角形+1个正方形 5. 一个正多边形的内角和为720°，如果它是正多边形，它能单独密铺吗？（ ）A.能 B.不能 C.不确定 D.以上都不对 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 正n边形的内角公式为：内角 = ________________。 2. 能单独密铺的正多边形，其内角必须是360°的________。 3. 密铺图案中，如果用正三角形和正六边形组合，在一个顶点处可以是2个正三角形和________个正六边形。 4. 一个正多边形的内角是120°，它的边数是________，在一个顶点处需要________个这样的图形密铺。 5. 设计密铺图案时，对基本图形进行"剪补"变形，变形前后图形的________不变，所以变形后的图形________密铺。 三、判断题（每题4分，共20分） 1. 正多边形的边数越多，越容易密铺。（ ） 2. 密铺图案一定是对称的。（ ） 3. 用两种不同的正多边形也可以组合密铺。（ ） 4. 任意五边形都不能密铺。（ ） 5. 密铺图案中，每个图形的大小和形状必须完全相同。（ ） 四、计算题（10分） 已知正n边形的内角公式为：内角 = (n-2) × 180° ÷ n （1）分别计算正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形的内角度数。 （2）分别计算360°除以各内角度数的结果，判断哪些能整除。 （3）根据计算结果，总结正多边形密铺的规律。 五、应用题（每题6分，共30分） 1. 用正三角形和正六边形组合密铺。已知正三角形内角60°，正六边形内角120°。请设计一种组合方案，使在一个顶点处角度之和恰好为360°，并说明各用几个。 2. 一个密铺图案中，每个顶点处围绕了6个相同的角。如果这些角来自正多边形，求这个正多边形的边数。 3. 小明说："只要两个图形的内角加起来等于360°，这两种图形就可以组合密铺。"你认为小明的说法对吗？请举例说明。 4. 用正方形设计密铺图案：在正方形的上边剪下一个半圆形，补到下边；在左边剪下一个三角形，补到右边。请问变形后的图形还能密铺吗？画出示意图并说明理由。 5. 蜂巢是由正六边形组成的密铺图案。请解释为什么蜜蜂选择正六边形而不是正三角形或正方形来建造蜂巢。（提示：从节省材料、空间利用率等角度思考）  参考答案 基础卷参考答案 一、选择题 1. C（正五边形内角108°，360÷108不是整数，不能密铺） 2. D（密铺的核心特征：拼接点处角度之和为360°） 3. D（360°÷3=120°，内角120°的是正六边形） 4. C（任意三角形都能密铺，圆、正五边形、正八边形都不能单独密铺） 5. D（360°÷60°=6，每个顶点处有6个正三角形） 二、填空题 1. 重叠；空隙 2. 90；4 3. 正三角形；正方形；正六边形 4. 120；3；能 5. 360；能 三、判断题 1. ×（密铺不能有间隙） 2. ×（正五边形内角108°不能整除360°） 3. √（任意三角形内角和180°，6个可拼成360°） 4. ×（圆与圆之间有空隙） 5. √（这是密铺的基本条件） 四、计算题 （1）内角为90°的正多边形是正方形（四边形）。 （2）360°÷90°=4，需要4个正方形在一个顶点处密铺。 （3）能密铺。因为正方形的内角90°能整除360°（360÷90=4，为整数），满足密铺条件。 五、应用题 1. 可以选用正三角形、正方形、正六边形。因为正三角形内角60°（360÷60=6），正方形内角90°（360÷90=4），正六边形内角120°（360÷120=3），都能整除360°，可以密铺。正五边形内角108°（360÷108≈3.33），不能整除360°，不能密铺。 2. 360°÷4=90°，每个内角是90°，是正方形。 3. 可以。在顶点处用1个正方形（90°）和2个正八边形（135°×2=270°），90°+270°=360°，满足密铺条件。 4. 正十二边形内角150°，360°÷150°=2.4，不是整数，所以正十二边形不能单独密铺。 5. 能密铺。因为"剪补"变形前后图形面积不变，且变形后的图形在拼接时仍然可以满足每个顶点处角度之和为360°的条件。 提升卷参考答案 一、选择题 1. B（正三角形60°、正方形90°、正六边形120°能整除360°，共3个） 2. D（360°÷60°=6） 3. B（剪补变形不改变图形的密铺性质） 4. B（3×60°+2×90°=180°+180°=360°） 5. A（内角和=(n-2)×180°=720°，n=6，正六边形内角120°，360÷120=3，能密铺） 二、填空题 1. (n-2)×180°÷n 2. 因数（约数） 3. 2（2×60°+2×120°=360°） 4. 六；3 5. 面积；仍然能（可以） 三、判断题 1. ×（边数越多内角越大，越不容易整除360°） 2. ×（密铺图案不一定对称） 3. √（如正方形和正八边形可组合密铺） 4. ×（有些特殊五边形可以密铺） 5. ×（组合密铺可使用不同图形） 四、计算题 （1）正三角形：(3-2)×180°÷3=60°；正方形：(4-2)×180°÷4=90°；正五边形：(5-2)×180°÷5=108°；正六边形：(6-2)×180°÷6=120°；正八边形：(8-2)×180°÷8=135° （2）360÷60=6（能）；360÷90=4（能）；360÷108≈3.33（不能）；360÷120=3（能）；360÷135≈2.67（不能） （3）规律：正多边形的内角能整除360°时可单独密铺，否则不能。能单独密铺的正多边形只有正三角形、正方形和正六边形。 五、应用题 1. 方案：2个正三角形+2个正六边形。2×60°+2×120°=120°+240°=360°，满足密铺条件。 2. 360°÷6=60°，每个角60°，内角60°的正多边形是正三角形，边数为3。 3. 不完全对。两个图形内角之和等于360°只是必要条件之一，还需考虑能否在实际拼接中形成完整密铺。例如170°+190°=360°，但190°超过多边形内角范围（