第5单元 用字母表示数和数量关系 知识梳理+考点精讲+综合测试（含答案）--人教版数学五年级上册

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人教版五年级上册数学 第五单元 用字母表示数和数量关系 知识梳理 · 考点精讲 · 综合测试 第一部分 知识梳理 知识点一：用字母表示数 1. 字母可以表示任意数。在数学中，我们常用字母、b、c…来表示数，这样可以简洁地表达数量关系和运算规律。 2. 用字母表示数时要注意：字母可以表示整数、小数、分数等任何数。同一个字母在不同的问题中可以表示不同的数。 3. 含有字母的式子的书写规则： 数字与字母相乘时，数字写在字母前面，乘号可以省略，如 a×4 写作 4a。 字母与字母相乘时，乘号可以省略或写作·，如 a×b 写作 ab 或 a·b。 相同的字母相乘，如 a×a 写作 a²，读作“a的平方”。 数字1与字母相乘时，1可以省略，如 1×a 写作 a。 示例：如果用 a 表示小红的年龄，爸爸比小红大25岁，则爸爸的年龄可以表示为 a+25。 知识点二：用字母表示数量关系和计算公式 1. 用字母表示常见的数量关系： 2. 用字母表示常见的计算公式： 注意：运用分配律时，可以把字母看成数一样进行运算，如 320a+320b＝320(a+b)。 知识点三：方程的意义 1. 方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。 2. 判断方程的两个条件： 必须是等式（含有“＝”号）； 必须含有未知数（通常用字母x、y等表示）。 3. 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 4. 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 示例：x＋3＝9 是一个方程，其中 x＝6 是方程的解，因为 6＋3＝9。 知识点四：等式的性质 等式性质1（加减性质）：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。 若 a＝b，则 a＋c＝b＋c，a－c＝b－c 等式性质2（乘除性质）：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 若 a＝b，则 ac＝bc，a÷c＝b÷c（c≠0） 注意：除法中除数不能为0！ 知识点五：解方程 解方程的一般步骤： 根据等式的性质，将方程逐步化简； 使方程左边只剩下未知数； 求出未知数的值； 检验：将求得的值代入原方程，看左右两边是否相等。 常见方程类型及解法： 知识点六：用方程解决实际问题 列方程解应用题的步骤： 审题：弄清题意，找出已知条件和所求问题； 设未知数：通常用x表示所求的量； 找等量关系：根据题意找出数量之间的相等关系； 列方程：根据等量关系列出方程； 解方程：求出未知数的值； 检验并作答：检验结果是否符合题意，写出答语。 常见等量关系： 部分＋部分＝总量 较大数－较小数＝相差数 速度×时间＝路程 单价×数量＝总价 第二部分 考点精讲与练习 考点一：用字母表示数 【例题】 用字母表示下面各题中的数量关系：妈妈今年x岁，小明比妈妈小25岁，小明今年多少岁？ 【分析】 已知妈妈x岁，小明比妈妈小25岁，即小明年龄＝妈妈年龄－25。 【解答】 小明今年的年龄：x－25（岁） 【点评】 用字母表示数时，要找准数量之间的关系，注意字母表示的是一个未知但可以确定的数。 【练习1】 一本书有a页，小明每天看15页，看了b天，还剩多少页？ 【分析】 已看页数＝15b，剩余页数＝总页数－已看页数。 【解答】 剩余页数：a－15b（页） 【点评】 用字母表示数量关系时，先找出各量之间的运算关系。 【练习2】 当a＝20，b＝3时，求 a－15b 的值。 【分析】 将a＝20，b＝3代入式子a－15b中计算。 【解答】 a－15b＝20－15×3＝20－45＝－25注意：此处b的值使结果为负，实际情境中b不能太大。 【点评】 代入求值时，要先算乘除再算加减，注意运算顺序。 【练习3】 判断：a²一定大于2a。（ ） 【分析】 取不同值验证：当a＝1时，a²＝1，2a＝2，1＜2，不成立。 【解答】 ×（错误）当a＝1时，a²＝1＜2＝2a，所以a²不一定大于2a。 【点评】 判断含字母的命题时，可以通过举反例来否定。 考点二：用字母表示数量关系和计算公式 【例题】 一列火车每小时行驶v千米，行驶了t小时，行驶的路程是多少千米？当v＝120，t＝3时，路程是多少？ 【分析】 路程＝速度×时间，用字母表示为s＝vt。代入具体数值计算即可。 【解答】 路程：s＝vt（千米）当v＝120，t＝3时：s＝120×3＝360（千米） 【点评】 用字母表示公式后，代入具体数值时要注意单位的统一。 【练习1】 一个正方形的边长是a厘米，它的周长和面积分别是多少？当a＝6时，周长和面积各是多少？ 【分析】 正方形周长＝4×边长，面积＝边长×边长。 【解答】 周长：C＝4a（厘米）；面积：S＝a²（平方厘米）当a＝6时：C＝4×6＝24（厘米），S＝6²＝36（平方厘米） 【点评】 注意区分周长公式C＝4a和面积公式S＝a²，代入计算时不要混淆。 【练习2】 一辆汽车从甲地到乙地用了a小时，从乙地到丙地用了b小时，平均每小时行驶80千米。甲地到丙地的总路程是多少千米？ 【分析】 总时间＝a＋b小时，总路程＝速度×总时间。 【解答】 总路程：80(a＋b)千米 或 80a＋80b 千米 【点评】 运用乘法分配律，80(a＋b)＝80a＋80b，两种写法都可以。 【练习3】 一个长方形的长是a米，宽是b米。如果长增加3米，宽不变，新的面积比原来增加了多少平方米？ 【分析】 原来面积＝ab，新面积＝(a＋3)b，增加的面积＝新面积－原面积。 【解答】 增加面积＝(a＋3)b－ab＝ab＋3b－ab＝3b（平方米） 【点评】 化简含有字母的式子时，可以利用运算律进行合并。 考点三：方程的意义 【例题】 下面哪些是方程？①3＋5＝8 ②x＋3＝9 ③2x－1 ④y＝0 ⑤3x＞6 【分析】 方程必须同时满足两个条件：是等式、含有未知数。逐个判断即可。 【解答】 ①是等式但不含未知数，不是方程。②是等式且含未知数，是方程。✓③含未知数但不是等式，不是方程。④是等式且含未知数，是方程。✓⑤含未知数但不是等式，不是方程。答：②和④是方程。 【点评】 判断方程要同时看两个条件，缺一不可。y＝0虽然右边是0，但它仍然是方程。 【练习1】 判断：所有的等式都是方程。（ ） 【分析】 方程是含有未知数的等式，但等式不一定含未知数。 【解答】 ×（错误）例如3＋5＝8是等式但不是方程，因为它不含未知数。 【点评】 方程是等式的子集，等式不一定是方程。 【练习2】 x＝5是方程2x＋3＝13的解吗？请说明理由。 【分析】 将x＝5代入方程左边，看是否等于右边。 【解答】 左边＝2×5＋3＝10＋3＝13＝右边所以x＝5是方程2x＋3＝13的解。 【点评】 检验方程的解的方法是将值代入原方程，看左右两边是否相等。 【练习3】 下面式子中，（ ）是方程。A. 5x＋3 B. 8＝3＋5 C. 2x－1＝7 D. x＋2＞5 【分析】 逐一判断：A不是等式；B是等式但不含未知数；C既是等式又含未知数；D不是等式。 【解答】 选C。2x－1＝7既是等式又含有未知数x，是方程。 【点评】 选方程题时牢记两个条件：等式＋未知数。 考点四：等式的性质 【例题】 根据等式的性质填空：如果 a＝b，那么 a＋7＝b＋（ ），a×3＝b×（ ），a－（ ）＝b－5。 【分析】 根据等式性质1，等式两边同时加（减）同一个数，等式仍成立；根据等式性质2，等式两边同时乘同一个数，等式仍成立。 【解答】 a＋7＝b＋(7)a×3＝b×(3)a－(5)＝b－5 【点评】 运用等式的性质时，两边必须进行完全相同的运算。 【练习1】 如果 a＝b，根据等式的性质填空：a＋12＝b＋（ ），a÷4＝b÷（ ）。 【分析】 等式两边同时加上同一个数，或同时除以同一个不为0的数，等式仍成立。 【解答】 a＋12＝b＋(12)a÷4＝b÷(4) 【点评】 等式性质1和性质2要分清，加减对应加减，乘除对应乘除。 【练习2】 判断：等式两边同时除以同一个数，等式仍然成立。（ ） 【分析】 注意等式性质2中除数不能为0的条件。 【解答】 ×（错误）等式两边同时除以同一个不为0的数，等式才仍然成立。除以0没有意义。 【点评】 等式性质2的关键条件是“不为0”，这是容易忽略的陷阱。 【练习3】 如果 2x＝10，根据等式的性质，x＝（ ）。 【分析】 等式两边同时除以2，即可求出x的值。 【解答】 2x÷2＝10÷2x＝5 【点评】 这是利用等式性质2解方程的基本方法。 考点五：解方程 【例题】 解方程：x＋3＝9 【分析】 根据等式性质1，方程两边同时减去3，使左边只剩下x。 【解答】 x＋3＝9解：x＋3－3＝9－3 x＝6检验：左边＝6＋3＝9＝右边所以x＝6是方程的解。 【点评】 解方程要注意书写格式：先写“解”，每步等号对齐，最后要检验。 【练习1】 解方程：3x＝18 【分析】 根据等式性质2，方程两边同时除以3。 【解答】 3x＝18解：3x÷3＝18÷3 x＝6检验：左边＝3×6＝18＝右边 【点评】 形如ax＝b的方程，两边同时除以a即可。 【练习2】 解方程：x－7＝15 【分析】 根据等式性质1，方程两边同时加上7。 【解答】 x－7＝15解：x－7＋7＝15＋7 x＝22检验：左边＝22－7＝15＝右边 【点评】 形如x－a＝b的方程，两边同时加上a即可。 【练习3】 解方程：x÷4＝6 【分析】 根据等式性质2，方程两边同时乘以4。 【解答】 x÷4＝6解：x÷4×4＝6×4 x＝24检验：左边＝24÷4＝6＝右边 【点评】 形如x÷a＝b的方程，两边同时乘以a即可。 考点六：用方程解决实际问题 【例题】 小明今年x岁，爸爸比小明大25岁，爸爸今年38岁。小明今年多少岁？ 【分析】 根据“爸爸年龄＝小明年龄＋25”列出方程，爸爸年龄已知为38岁。 【解答】 解：设小明今年x岁。 x＋25＝38 x＋25－25＝38－25 x＝13答：小明今年13岁。 【点评】 列方程解应用题的关键是找出等量关系，然后设未知数列方程。 【练习1】 学校买了8个足球，每个x元，一共花了240元。每个足球多少元？ 【分析】 等量关系：单价×数量＝总价，即8x＝240。 【解答】 解：设每个足球x元。 8x＝240 8x÷8＝240÷8 x＝30答：每个足球30元。 【点评】 找等量关系是列方程的核心步骤。 【练习2】 一个数的3倍加上5等于20，这个数是多少？ 【分析】 设这个数为x，等量关系：3x＋5＝20。 【解答】 解：设这个数为x。 3x＋5＝20 3x＋5－5＝20－5 3x＝15 3x÷3＝15÷3 x＝5答：这个数是5。 【点评】 两步方程要分步求解，先消去常数项，再消去系数。 【练习3】 甲、乙两地相距480千米，一辆汽车从甲地出发，每小时行80千米，几小时可以到达乙地？ 【分析】 等量关系：速度×时间＝路程，设时间为x小时。 【解答】 解：设x小时可以到达乙地。 80x＝480 80x÷80＝480÷80 x＝6答：6小时可以到达乙地。 【点评】 行程问题中，速度×时间＝路程是最基本的等量关系。 第三部分 综合测试 基础卷（满分100分 时间60分钟） 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列式子中，是方程的是（ ）。A. 3x＋5 B. 6＋4＝10 C. 2x－1＝7 D. x＋3＞8 2. 当a＝5时，a²＝（ ）。A. 10 B. 25 C. 7 D. 52 3. 方程x＋8＝20的解是（ ）。A. x＝28 B. x＝12 C. x＝2 D. x＝16 4. 用字母表示长方形的面积公式是（ ）。A. S＝a² B. S＝ab C. S＝4a D. S＝a＋b 5. 如果2x＝14，那么x＝（ ）。A. 7 B. 12 C. 16 D. 28 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 一天早晨的气温是a℃，中午比早晨高8℃，中午的气温是______℃。 2. 某班共有35名学生，男生有b名，女生有______名。 3. 如果a＝b，那么a＋6＝b＋______，a×4＝b×______。 4. 当x＝12，y＝7时，xy＝______，4x＋y＝______。 5. 方程5x＝30的解是x＝______。 三、判断题（每题2分，共10分） 1. a×b可以写作ab。（ ） 2. x²一定大于2x。（ ） 3. 等式两边同时乘以0，等式仍然成立。（ ） 4. 3x＋5是方程。（ ） 5. y＝0不是方程。（ ） 四、计算题（共10分） 1. 解下列方程。（每题5分，共10分） （1）x＋15＝32 （2）4x＝36 五、应用题（每题10分，共50分） 1. 一个正方形的边长是a厘米。（1）用字母表示它的周长和面积。（2）当a＝8时，周长和面积各是多少？ 2. 小明有x元零花钱，买了一支钢笔花了12元，还剩28元。小明原来有多少元？（列方程解答） 3. 学校图书馆有故事书和科技书共480本，故事书是科技书的3倍。科技书有多少本？（列方程解答） 4. 甲乙两地相距360千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶60千米。几小时可以到达？（列方程解答） 5. 用含有字母的式子表示：（1）a与b的和的3倍。（2）x的5倍减去y的2倍。（3）当a＝4，b＝3时，求上面第（1）个式子的值。 基础卷 参考答案 一、选择题 1.C 2.B 3.B 4.B 5.A 二、填空题 1.(a＋8) 2.(35－b) 3.6，4 4.84，55 5.6 三、判断题 1.✓ 2.× 3.✓ 4.× 5.× 四、计算题（1）x＋15＝32 解：x＋15－15＝32－15 x＝17 检验：17＋15＝32 ✓（2）4x＝36 解：4x÷4＝36÷4 x＝9 检验：4×9＝36 ✓ 五、应用题1.（1）周长C＝4a厘米，面积S＝a²平方厘米 （2）当a＝8时：C＝4×8＝32厘米，S＝8²＝64平方厘米2. 解：设小明原来有x元。 x－12＝28 x＝28＋12＝40 答：小明原来有40元。3. 解：设科技书有x本，则故事书有3x本。 x＋3x＝480 4x＝480 x＝120 答：科技书有120本。4. 解：设x小时可以到达。 60x＝360 x＝360÷60＝6 答：6小时可以到达。5.（1）3(a＋b) （2）5x－2y （3）当a＝4，b＝3时，3(4＋3)＝3×7＝21 提升卷（满分100分 时间60分钟） 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 如果a＝3b，那么a²＝（ ）。A. 3b² B. 6b C. 9b² D. 3b 2. 下面（ ）不是方程。A. x＋y＝10 B. 3x＝0 C. 2a＋1 D. m÷2＝5 3. 一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是b，这个两位数可以表示为（ ）。A. ab B. 10a＋b C. a＋b D. 10b＋a 4. 解方程x÷3＋5＝12，第一步应该（ ）。A. 两边同时除以3 B. 两边同时减5C. 两边同时乘3 D. 两边同时加5 5. 当x＝2时，x²和2x的大小关系是（ ）。A. x²＞2x B. x²＜2x C. x²＝2x D. 无法确定 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 如果a＝b，那么a＋m＝b＋______，a－n＝b－______。 2. 一个三角形的底是a厘米，高是h厘米，面积S＝______平方厘米。 3. 当x＝8时，x²＝______，4x＝______，此时x²______4x。（填“＞”“＜”或“＝”） 4. 解方程2x＋3＝11，x＝______。 5. 一张桌子坐6人，两张桌子拼起来坐10人，三张桌子拼起来坐14人。照这样拼下去，n张桌子拼起来可以坐______人。 三、判断题（每题2分，共10分） 1. 2a一定大于a。（ ） 2. 方程一定是等式，等式不一定是方程。（ ） 3. 等式两边同时加上同一个字母，等式仍然成立。（ ） 4. x＝0是方程x＋5＝5的解。（ ） 5. a×a×a可以写作a³。（ ） 四、计算题（共10分） 1. 解下列方程。（每题5分，共10分） （1）3x－7＝14 （2）x÷5＋3＝8 五、应用题（每题10分，共50分） 1. 甲、乙两数之和是56，甲数是乙数的3倍。甲、乙两数各是多少？（列方程解答） 2. 小明和小华共有邮票120张，小明给小华15张后，两人的邮票数相等。原来小明和小华各有多少张邮票？（列方程解答） 3. 一个长方形的周长是48厘米，长是宽的2倍。这个长方形的长和宽各是多少厘米？面积是多少平方厘米？（列方程解答） 4. 用字母表示规律：观察下列等式：1＋2＋3＝61＋2＋3＋4＝101＋2＋3＋…＋n＝？请用含有字母的式子表示1＋2＋3＋…＋n的结果。 5. 某商店上午卖出x件商品，下午卖出的件数是上午的2倍还多5件。全天共卖出多少件？如果全天共卖出80件，上午卖出多少件？ 提升卷 参考答案 一、选择题 1.C 2.C 3.B 4.B 5.C 二、填空题 1.m，n 2.ah÷2（或½ah） 3.64，32，＞ 4.4 5.(4n＋2) 三、判断题 1.×（当a＝0时2a＝a） 2.✓ 3.✓ 4.✓ 5.✓ 四、计算题（1）3x－7＝14 解：3x－7＋7＝14＋7 3x＝21 3x÷3＝21÷3 x＝7 检验：3×7－7＝21－7＝14 ✓（2）x÷5＋3＝8 解：x÷5＋3－3＝8－3 x÷5＝5 x÷5×5＝5×5 x＝25 检验：25÷5＋3＝5＋3＝8 ✓ 五、应用题1. 解：设乙数为x，则甲数为3x。 x＋3x＝56 4x＝56 x＝14，3x＝42 答：甲数是42，乙数是14。2. 解：设小华原来有x张邮票，则小明原来有(120－x)张。 小明给小华15张后：小明有(120－x－15)张，小华有(x＋15)张 120－x－15＝x＋15 105－x＝x＋15 105－15＝x＋x 90＝2x x＝45 120－45＝75 答：原来小明有75张，小华有45张。3. 解：设宽为x厘米，则长为2x厘米。 2(2x＋x)＝48 2×3x＝48 6x＝48 x＝8，2x＝16 面积＝16×8＝128平方厘米 答：长是16厘米，宽是8厘米，面积是128平方厘米。4. 1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)÷25. 全天卖出：x＋(2x＋5)＝3x＋5（件） 3x＋5＝80 3x＝75 x＝25 答：全天共卖出(3x＋5)件；上午卖出25件。 数量关系文字表示字母表示路程路程＝速度×时间s＝vt总价总价＝单价×数量c＝an工作总量工作总量＝工作效率×工作时间c＝at图形面积公式周长公式字母含义正方形S＝a²C＝4aa为边长长方形S＝abC＝2(a＋b)a为长，b为宽类型示例解法x＋a＝bx＋3＝9两边同时减ax－a＝bx－5＝12两边同时加aax＝b3x＝18两边同时除以ax÷a＝bx÷4＝6两边同时乘a