初中数学北师大版九年级上册2 矩形的性质与判定同步测试题

1.2矩形的性质及判定

分层训练提分要义

【基础题】

1．下列说法中正确的是（　　）

A. 对角线相等的四边形是矩形

B. 对角线互相垂直的四边形是菱形

C. 平行四边形的对角线平分一组对角

D. 矩形的对角线相等且互相平分

【答案】D；

【解析】∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴A不正确；

∵对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，∴B不正确；

∵平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角，∴C不正确；

∵矩形的对角线互相平分且相等，∴D正确；

2．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6，则对角线的长为(    )．

A. 3.6 B. 7.2 C. 1.8 D. 14.4

【答案】B；

【解析】直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半.

3．矩形邻边之比3∶4，对角线长为10，则周长为(    )．

A.14 B.28 C.20 D.22

【答案】B；

【解析】由勾股定理，可算得邻边长为6和8，则周长为28.

4．如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°

【答案】C．

【解析】过点D作DE∥a，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=∠ADC=90°，

∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°，

∵a∥b，

∴DE∥a∥b，

∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5，

∴∠2=90°﹣30°=60°．

故选C．

5. 矩形一个角的平分线分矩形一边为1和3两部分，则它的面积为（　  ）

A.3　　　　　　B. 4　　　　　　C. 12　　　　D. 4或12　　

【答案】D；

【解析】矩形的短边可能是1，也可能是3，所以面积为4×1或4×3.

6. 如图，矩形ABCG(AB＜BC)与矩形CDEF全等，点B、C、D在同一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，使∠APE为直角的点P的个数是(    )

A.0             B.1              C.2                 D.3

【答案】C；

【解析】当BP=AB或BP=BC时，∠APE是直角.

7. 把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM、FM为折痕,折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上,那么∠EMF的度数是(    )

A.85°              B.90°                 C.95°               D.100°

【答案】B；

【解析】∠EMF＝∠EMB′＋∠FMB′＝∠BMC′＋∠CMC′＝×180°＝90°.

8．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝(    )

A.2 B.3             C.           D.

【答案】C；

【解析】过点C做BE垂线，垂足为F，易证△BAE≌△CBF，所以BF＝AE，BE＝CF，所以总面积＝AE×BE＋CF×EF＝ AE×BE＋BE×（BE－AE）＝，.

9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD=DE=a，则AB的长为（   ） 

A. 2a                B.  a              C. 3a                            D. 

【答案】 B  

【考点】直角三角形斜边上的中线   

【解析】

【解答】解：∵CD⊥AB，CD=DE=a， 

∴CE= a， 

∵在△ABC中，∠ACB=90°，点E是AB的中点，

∴AB=2CE=2 a，

故选B． 

【分析】根据勾股定理得到CE= a，根据直角三角形的性质即可得到结论

10.如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（   ） 

A. 5                                        B. 4                                        C.                                         D. 

【答案】 D  

【考点】矩形的性质   

【解析】

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， 

∴∠D=90°，

∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB，

∴OM是△ADC的中位线，

∴OM=3，

∴DC=6，

∵AD=BC=10，

∴AC= =2 ，

∴BO= AC= ，

故选D．

【分析】已知OM是△ADC的中位线，再结合已知条件则DC的长可求出，所以利用勾股定理可求出AC的长，由直角三角形斜边上中线的性质则BO的长即可求出．

【中档题】

11．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连结CE，则CE的长______．

【答案】；

【解析】设AE＝CE＝，DE＝，，.

12. 如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4，则矩形对角线AC长为________．

【答案】8；

【解析】由矩形的性质可知△AOB是等边三角形，∴  AC＝2AO＝2AB＝8．

13. 如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为_______.

【答案】6；

【解析】设AB＝AF＝，BE＝EF＝3，EC＝5，则CF＝4，，解得.

14.如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是边AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF的值为_________. 

【答案】；

【解析】BD＝5，利用面积法，PE＋PF＝△AOD中OD边上的高＝.

15.在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，E是AB边上一点，AE＝2，F是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A'，当点E、A'、C三点在一条直线上时，DF的长度为　   　．

【答案】1或11；

【解析】在旋转过程中A有两次和E，C在一条直线上，第一次在EC线段上，第二次在CE线段的延长线上，利用平行的性质证出CF＝CE，即可求解；

如图1：

将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A'，

∴∠AEF＝∠EA'F，AE＝A'E，

∵AB∥CD，

∴∠AEF＝∠CFE，

∴CF＝CE，

∵AB＝6，AD＝3，AE＝2，

∴CF＝CE＝6﹣DF，A'E＝2，BE＝4，BC＝3，

∴EC＝5，

∴6﹣DF＝5，

∴DF＝1；

如图2：

由折叠∠FEA'＝∠FEA，

∵AB∥CD，

∴∠CFE＝∠CEF，

∴CF＝CE，

∴CF＝5，

∴DF＝11；

故答案为1或11；

16.已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）求证：四边形AECF是矩形．

【答案】（1）见解析；（2）见解析．

【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC，

∵AE⊥BC，CF⊥AD，

∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°，

在△ABE和△CDF中，，

∴△ABE≌△CDF（AAS）；

（2）证明：∵AD∥BC，

∴∠EAF＝∠AEB＝90°，

∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，

∴四边形AECF是矩形．

17.如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．

（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；

（2）当DE＝DF时，求EF的长．

【答案】见解析。

【解析】根据矩形的性质得到AB∥CD，由平行线的性质得到∠DFO＝∠BEO，根据全等三角形的性质得到DF＝BE，于是得到四边形BEDF是平行四边形；推出四边形BEDF是菱形，得到DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x根据勾股定理即可得到结论．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∴∠DFO＝∠BEO，

又因为∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，

∴△DOF≌△BOE（ASA），

∴DF＝BE，

又因为DF∥BE，

∴四边形BEDF是平行四边形；

（2）解：∵DE＝DF，四边形BEDF是平行四边形

∴四边形BEDF是菱形，

∴DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，

设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x

在Rt△ADE中，根据勾股定理，有AE2+AD2＝DE2

∴x2+62＝（8﹣x）2，

解之得：x＝，

∴DE＝8﹣＝，

在Rt△ABD中，根据勾股定理，有AB2+AD2＝BD2

∴BD＝，

∴OD＝ BD＝5，

在Rt△DOE中，根据勾股定理，有DE2 ﹣OD2＝OE2，

∴OE＝，

∴EF＝2OE＝．

【综合题】

18. 如图在矩形ABCD中,AB＝3,BC＝4,M,N在对角线AC上,且AM＝CN,E,F分别是AD,BC的中点.

(1)求证:△ABM≌△CDN;

(2)点G是对角线AC上的点,∠EGF＝90°,求AG的长.

【答案】见解析。

【解析】(1)在矩形ABCD中,AB∥CD,所以∠BAM＝∠DCN,

又因为AB＝CD,AM＝CN,

所以△ABM≌△CDN(SAS);

（2）以EF为直径作圆,交AC于点G1,G2,连接EG1,FG1,EG2,FG2,则∠EG1F＝∠EG2F＝90°,

因为EF＝AB＝3,所以G1H＝G2H＝EF＝,

在Rt△ABC中,AC＝＝5,

所以AH＝AC＝,

所以AG1＝1,AG2＝4.

19．如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），

把△ADE沿DE翻折，点A的对应点为A1，延长EA1交直线DC于点F，再把∠BEF折叠，

使点B的对应点B1落在EF上，折痕EH交直线BC于点H．

（1）求证：△A1DE∽△B1EH；

（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1恰好落在直线MN上，试判断△DEF的形状，并说明理由；

（3）如图3，在（2）的条件下，点G为△DEF内一点，且∠DGF＝150°，试探究DG，EG，FG的数量关系．

【答案】（1）见解析；（2）△DEF是等边三角形，理由见解析；（3）DG2+GF2＝GE2．

【解析】解：（1）证明：由折叠的性质可知：∠DAE＝∠DA1E＝90°，∠EBH＝∠EB1H＝90°，∠AED＝∠A1ED，∠BEH＝∠B1EH，

∴∠DEA1+∠HEB1＝90°．

又∵∠HEB1+∠EHB1＝90°，

∴∠DEA1＝∠EHB1，

∴△A1DE∽△B1EH；

（2）结论：△DEF是等边三角形；

理由如下：

∵直线MN是矩形ABCD的对称轴，

∴点A1是EF的中点，即A1E＝A1F，

∴△A1DE≌△A1DF（SAS），

∴DE＝DF，∠FDA1＝∠EDA1，

又∵△ADE≌△A1DE，∠ADF＝90°．

∴∠ADE＝∠EDA1＝∠FDA1＝30°，

∴∠EDF＝60°，

∴△DEF是等边三角形；

（3）DG，EG，FG的数量关系是DG2+GF2＝GE2，

理由如下：由（2）可知△DEF是等边三角形；将△DGE逆时针旋转60°到△DG'F位置，如解图（1），

∴G'F＝GE，DG'＝DG，∠GDG'＝60°，

∴△DGG'是等边三角形，

∴GG'＝DG，∠DGG'＝60°，

∵∠DGF＝150°，

∴∠G'GF＝90°，

∴G'G2+GF2＝G'F2，

∴DG2+GF2＝GE2，

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若

不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另

一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．

（1）当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；

（2）设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；

（3）当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．

【答案】（1）（2，3+2）；（2）OA＝3；

（3）当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，cos∠OAD＝．

【解析】解：（1）如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，

∵矩形ABCD中，CD⊥AD，

∴∠CDE+∠ADO＝90°，

又∵∠OAD+∠ADO＝90°，

∴∠CDE＝∠OAD＝30°，

∴在Rt△CED中，CE＝CD＝2，DE＝＝2，

在Rt△OAD中，∠OAD＝30°，

∴OD＝AD＝3，

∴点C的坐标为（2，3+2）；

（2）∵M为AD的中点，

∴DM＝3，S△DCM＝6，

又S四边形OMCD＝，

∴S△ODM＝，

∴S△OAD＝9，

设OA＝x、OD＝y，则x2+y2＝36，xy＝9，

∴x2+y2＝2xy，即x＝y，

将x＝y代入x2+y2＝36得x2＝18，

解得x＝3（负值舍去），

∴OA＝3；

（3）OC的最大值为8，

如图2，M为AD的中点，

∴OM＝3，CM＝＝5，

∴OC≤OM+CM＝8，

当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，

连接OC，则此时OC与AD的交点为M，过点O作ON⊥AD，垂足为N，

∵∠CDM＝∠ONM＝90°，∠CMD＝∠OMN，

∴△CMD∽△OMN，

∴＝＝，即＝＝，

解得MN＝，ON＝，

∴AN＝AM﹣MN＝，

在Rt△OAN中，OA＝＝，

∴cos∠OAD＝＝．