人教版（2024）八年级上册（2024）综合与实践 最短路径问题精品习题

这是一份人教版（2024）八年级上册（2024）综合与实践 最短路径问题精品习题

知识点01 最短路径的基本原理
最短路径的基本原理：
①两点之间，线段 。如图， 号线最短
②点到直线的距离 。如图， 最短。
③垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离 。如图，MN是垂直平分线，CA= 。
知识点02 利用轴对称解决最短路径问题
两点一线型（两点在直线的异侧）：
两点一线型（两点在直线的同侧）：
【即学即练1】
1．如图所示，军官从军营C出发先到河边（河流用AB表示）饮马，再去同侧的D地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗？下列给出了四个图形，你认为符合要求的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【即学即练2】
2．如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4，面积是12平方单位，腰AB的垂直平分线EF交AB于E，交AC于F，若D为BC边的中点，M为线段EF上的一动点，则△BDM周长的最小值为（ ）
A．12B．10C．8D．6
一点两线型：
【即学即练1】
3．已知P为∠O内一定点，点A，B分别在∠O的两边上，则下列图形中△PAB的周长最小的是（ ）
A．B．
C．D．
【即学即练2】
4．已知∠AOB＝30°，在∠AOB内有一定点P，点M，N分别是OA，OB上的动点，若△PMN的周长最小值为3，则OP的长为（ ）
A．1.5B．3C．33D．32
两点两线型：
【即学即练1】
5．已知：∠AOB，点M和点N，试在OA、OB上分别找点P、Q，使四边形MNQP的周长最短．（尺规作图，不需写作法，保留作图痕迹）

【即学即练2】
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM+∠EMN的大小是（ ）
A．45°B．90°C．75°D．135°
知识点03 利用平移解决造桥选址问题
造桥选址问题：
【即学即练1】
7．直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，若村庄P和村庄Q在这条河的两岸．现要在这条河上建一座桥EF（桥EF与河的两岸l1，l2垂直），使得从村庄P经桥EF过河到村庄Q的路径PEFQ最短，即PE+EF+FQ最小．则下列图中满足条件的是（ ）
A．B．
C．D．
题型01 最短路径的基本作图
【典例1】如图，A，B两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边l上修建一个自来水厂P，分别向两个小镇供水．为了使所用水管最短，则下列图形中自来水厂P的位置正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】有一以互相平行的直线a、b为岸的河流，其两侧有村庄A和村庄B，现在要在河上建一座桥梁MN（桥与河岸垂直），使两村庄之间的距离最短，从作图痕迹上来看，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，要求指出最短路径．
同学甲：牧马人从A地出发，把马牵到草地与河边的交汇处N点，牧马又饮马，然后回到B处．
同学乙：作A点关于直线MN对称的A′点，再作B点关于直线l对称的B′点，连接A′B′交直线MN于Q点，交直线l于P点，则路径A→Q→P→B为最短路径．
你认为哪位同学指出的最短路径正确？画出图形，并说明理由．
【变式3】如图，为了做好元旦期间的交通安全工作，自贡市交警执勤小队从A处出发，先到公路m上设卡检查，再到公路n上设卡检查，最后再到达B地执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？画出图形并说明做法．
【变式4】（1）如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．请你在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．
（2）如图2，∠AOB＝30°，P是∠AOB内一点，PO＝10．请你在OA上找一点Q，在OB上找一点R，使得△PQR的周长最小．要求：画出图形，并计算这个最小值是 ．
【变式5】利用图形的变换可以解决很多生活中问题．
如图1，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．
如图2，作出点A关于l的对称点A′，线段A′B与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线APB是最短的．
（1）如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由，作图工具不限）．

（2）如图，已知∠AOB及其内部一点P，试在OA，OB上分别确定点M，N，使PM+PN+MN最小（不需说明理由，作图工具不限）．

【变式6】如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三顶点都在格点上，位置如图，请完成下列问题：
（1）分别写出点A，点B，点C的坐标；
（2）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1（注意标出对应点字母）；
（3）求△ABC的面积；
（4）在x轴上找一点P，使AP+BP最小，在图中画出点P，并写出点P坐标．（不限作图工具，保留作图痕迹，不写作法，写出结论）．

题型02 与最短路径有关的计算
【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，S△ABC＝36，直线EF垂直平分线段AC，若点D为边BC的中点，M为直线EF上一动点，则△MCD的周长的最小值为（ ）
A．15B．14C．13D．12
【变式1】如图，已知∠AOB＝30°，C是∠AOB内部的一点，且OC＝3，D，E分别是OA，OB上的动点，则△CDE的周长最小值等于（ ）
A．3B．4C．6D．9
【变式2】如图，在△ABC中，AB＝8，AD平分∠BAC，∠BAD＝15°，点P、Q分别为边AD，AB上的动点，连接BP，PQ，则BP+PQ的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式3】如图，点P为∠AOB内一点，点M，N分别是射线OA，OB上一点，当△PMN的周长最小时，∠OPM＝50°，则∠AOB的度数是（ ）
A．55°B．50°C．40°D．45°
【变式4】如图．在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
A．84°B．88°C．90°D．96°
【变式5】如图，在等边△ABC中，点D，E分别是BC，AC边的中点，点F是AB边上一动点，连接FD，FE．当FD+FE取得最小值时，∠AFE的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
教学目标
掌握最短路径的基本原理，即两点之间线段最短与点到直线的距离最短。
掌握最短路径的几种模型，能够熟练的运用轴对称，垂直平分线的性质解决相应题目。
教学重难点
重点
最短路径的基本原理与基本作图；
利用相关知识点进行最短路径有关的计算。
2. 难点
（1）最短路径的基本作图；
（2）最短路径的有关计算。
问题
如图，直线两侧有点A与点B，在直线l上找一点p，使PA＋PB最小。
作法
如图，连接AB，AB与直线l的交点即为点P。
结论
PA＋PB最小
原理及证明
两点之间，线段最短
问题
如图：直线同侧有点P与点Q，在直线l上找一点M，使MP＋MQ最小。
作法
如图，作其中一个点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，线段与直线的交点即为要找的点M。即作点P关于直线l的对称点p’。连接P’ Q，P’ Q与直线l交于即为点M。
结论
MP＋MQ最小
原理及证明
∵P与P’关于直线l对称
∴直线l是PP’的
∴MP MP’
∴MP＋MQ＝ ’ ＋MQ＝ 。
∴MP＋MQ此时有最小值，为 的长度
问题
如图，已知∠MON以及角内一点P，角的两边OM与ON上存在点A与点B，使得△PAB的周长最小。
作法
如图，分别作点P关于OM与ON的对称点P’与P’’，连接P’ P’’。P’ P’’与OM、ON的交点A与B即为要找到的点
结论
△PAB的周长最小
原理及证明
∵P与P’关于OM对称，P与P’’关于ON对称
∴OM是PP’的 ，ON是PP’’的 。
∴AP AP’，BP BP’’
∴＝ ＋AB＋ ’ ＝ ’
∴△PAB的周长最小。
问题
如图，已知∠AOB以及角内两点点P与点Q，角的两边上分别存在M、N使得四边形PQMN的周长最小。
作法
如图，分别作点关于较近直线的对称点，连接两个对称点的线段与边OA与OB相交与点M与点N，此时点M与点N即为要找的点。即作点Q关于OA的对称点D，点P关于OB的对称点C，连接DC，DC与OA交于点M，与OB交于点N，连接QM，MN，PN，PQ。
结论
四边形PQMN的周长最小
原理及证明
∵Q与D关于OA对称，P与C关于OB对称
∴OA是QD的 ，OB是PC的 。
∴MD MQ，NP NC。
＝PQ＋ ＋MN＋
＝PQ＋ 。
∴四边形PQMN的周长最小。
问题
如图，平行河岸两侧各有一村庄P、Q，现在河上修建一座垂直于河岸的桥，使得村庄P到村庄Q的路程最短。
作法
如图，在其中一个村庄作垂直于河岸的直线，使其长度等于桥的长度，连接端点与另一村庄，直线与另一村庄岸边的交点即为选址地点