初中人教版（2024）15.3.2 等边三角形练习题

这是一份初中人教版（2024）15.3.2 等边三角形练习题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，综合题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.有下列命题；
①形状相同的两个三角形全等；②有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形；
③全等三角形对应边上的高相等；④直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
其中真命题的个数有（ ）
A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个
2.一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（ ）
A . 等腰三角形
B . 直角三角形
C . 等腰直角三角形
D . 等边三角形
3.下列命题：①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线；②关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形；③正五边形有五条对称轴；④等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；⑤在直角三角形中， 30°角所对的边等于斜边的一半．其中正确的有（ ）个．
A . 2个 B . 3个 C . 4个 D . 5个
4.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，下列命题中的假命题是（ ）
A . 若∠A=∠C－∠B，则∠C=90º
B . 若∠C=90º，则a2+b2=c2
C . 若∠A=30º，∠B=60º，则AB=2BC
D . 若 a+ba-b=c2 ， 则∠C=90º
5.以下叙述中不正确的是（ ）
A . 等边三角形的每条高线都是角平分线和中线
B . 其中有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形
C . 等腰三角形一定是锐角三角形
D . 在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等
6.如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为 (2，0) ， 若点A在第一象限内，且 AB=OB ， ∠AOB=60° ， 则点A到y轴的距离为（ ）
A . 12 B . 1 C . 32 D . 2
7.如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）
A . 13 B . 12 C . 23 D . 不能确定
8.如图， C为线段 AE上一动点（不与点 A ， E重合），在 AE同侧分别作正三角形 ABC和正三角形 CDE ， AD与 BE交于点 O ， AD与 BC交于点 P ， BE与 CD交于点 Q ， 连接 PQ ． 以下四个结论：① AD＝ BE；②∠ AOB＝60°；③ AP＝ BQ；④连接 CO ， 则 AO＝ BO+ CO ． 恒成立的结论有（ ）
A . ①②③ B . ①② C . ②③④ D . ①②③④
9.下列说法中：①等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；②有一个角是60°的三角形是等边三角形；③若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形；④成轴对称的两个三角形一定是全等三角形。其中正确的说法共有（ ）个。
A . 1 B . 2 C . 3 D . 4
10.如图，在 △ABC中， ∠ABC=45° ， AD⊥BC于点D， BE⊥AC于点E， AD与 BE交于点F，连接 CF，DE ， 下列结论：① DF=CD；② ∠BED=45°；③ BE=AE+2DC；④若 ∠ABF=30° ， 则 BF+CF=AB ． 其中正确结论的序号是（ ）

A . ①②③ B . ①②④ C . ②③④ D . ①③④
二、填空题
1.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东 45°方向，距离灯塔 502海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东 30°方向上的B处，这时B处与灯塔P的距离为 ________ 海里．
2.如图，在一次无人机表演中，操作者设计了如下程序：无人机从 A1(1,0)与x轴成 120°角出发，触碰到直线 y=33x上的 A2点后，与原方向成 60°角折回，再触碰到x轴上的 A3点后，与原方向成 60°角折回，依次进行，当无人机行至 A2021时，无人机行驶的路程是 ________ ．
3.如右图，C是线段AB上的一点， △ACD和 △BCE都是等边三角形， AE交 CD于M， BD交 CE于N，交 AB于O，则：① DB=AE；② ∠AMC=∠DNC；③ △MCE是等腰三角形；④ △MCN是等边三角形；⑤ ∠AOD=60° ， 其中，正确的有 ________ ．

4.如图六边形 ABCDEF是正六边形，曲线 FA1A2A3A4A5A6…叫做正六边形的渐开线，满足 AA1=AF ， BA2=BA1 ， CA3=CA2 ， DA4=DA3…；点B、点A与点 A1共线，点C、点B与点 A2共线，点D、点C与点 A3共线…，当点A坐标为 1,0 ， 点B坐标为 0,0时，点 A2021的坐标是 ________ ．
5.已知射线OM．以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，如图所示，则∠AOB= ________ （度）
6.将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为 ________ cm.
7.等边△ABC的两条角平分线BD与CE交于点O，则∠BOC等于 ________ ．
8.如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于 ________ ．
9.在等腰三角形 ABC中， ∠BAC=120°,AB=4 ， 点 D 为线段 BC 上任意一点（D 点不与端点重合），连接 AD ，将线段 AD绕点 A 逆时针旋转 120° 到点 E ，连接 DE ．延长 DA 至点 F ，使得 AD=AF ，连接 EF,BF,BF+EF的最小值为 ________ ．
三、综合题
1.已知，在等边 △ABC中，点 D是射线 AC上一点，连接 DB ．
（1） 如图1， CD=3AD=1 ， 请求解线段 BD的长；
（2） 如图2，点 D在线段 AC上，若点 E为 BC延长线上一点，满足 AD=CE ， 连接 DE ， 将线段 DE绕点 D逆时针旋转 60°得到线段 DP ， 连接 BP ， EP ， 用等式表示线段 BP、 AD之间的数量关系，并证明；
（3） 在（2）条件下，点 D是线段 AC延长线上一点，若 △BEP为等腰三角形时，请直接写出 ADAC的值．
2.如图1所示，一次函数 y=−x+4图象与x轴相交与点A，与y轴相交于点B，过点B作一次函数 y=x+b的图象与x轴相交与点C，D是线段 BC的中点；
（1） 求b的值及点D的坐标；
（2） 如图2，E是线段 AB上一动点，F是E关于原点的对称点，连接 DE ， EF ， DF ， 当 S四边形BDFE=5S△BED时，求点E的坐标；
（3） 如图3，E是直线 AB上一动点，连接 OD ， CE ， 将 △BCE沿直线 CE翻折，使得B点的对应点 B1落在直线 OD上，求此时点E的坐标．
3.如图，海中有一小岛 P ， 它的周围12海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在 M处测得小岛 P在北偏东 60°方向上，航行16海里到 N处，这时测得小岛 P在北偏东 30°方向上．
（1） 试说明 △PMN是等腰三角形；
（2） 求 M点与小岛 P之间的距离；
（3） 如果渔船不改变航线继续向东航行，是否有触礁危险，并说明理由．
四、解答题
1.已知，在长方形 ABCD中， AB=kAD ， 点P在 AB上，点E在 BC上，且 DP=EP ．
（1） 如图1，若 AP=5 ， AD=12 ， 点E与点B重合，求k的值；
（2） 如图2，若 AP=34AD ， ∠DPE=90° ， 求k的值；
（3） 如图3， DP=2BP ， ∠DPE=60° ， 求k的值．
2.（1）如图1，在等边三角形 ABC中，点D、E分别在边 AC、边 AB上， AE=BD ， 连接 EB与 CD相交于点G，求 ∠CGE的度数；
（2）如图2，在等边三角形 ABC中，点D、E分别在边 CA、边 AB的延长线上， AE=BD ， CD与 EB延长线相交于点G，若 BG=2 ， CG=7 ， 试证 ∠CGE的度数是否发生变化，并求 BC的长；
（3）如图3，在 Rt△ABC中， ∠BAC=90° ， AB=AC ， 点D，E分别为 AB，BC上的动点，且 AD=BE ， AB=32 ． 求 AE+CD2的最小值．
3.在长方形 ABCD中， AB=4 ， BC=8 ， 点 P在线段 AD上运动，将线段 BP绕点 B顺时针旋转 60°至 BE ， 连接 PE ， EC ．
（1） 如图1，当 E点落在 BC边上时，求 EC的长度；
（2） 如图2，在运动过程中，当线段 CE最短时，求 ∠PEC的度数；
（3） 连接 DE ， 当 △DEC为等腰三角形时，直接写出 EC的长度．
4.图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为 7cm ， 双翼的边缘 AC=BD=80cm ， 且与闸机侧立面夹角 ∠ACP=∠BDQ=30° ， 求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．
5.已知：如图，D、E分别是等边三角形 ABC的两边 AB、AC上的点，且 AD=CE ， 猜测 ∠DFB的度数，并说明理由．