高中数学人教A版 (2019)必修 第一册等式性质与不等式性质学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册等式性质与不等式性质学案，共6页。学案主要包含了极化恒等式，等和线等内容，欢迎下载使用。
一、极化恒等式
▍知识点1:极化恒等式及其推论
（1）一般形式:
（2）公式推导: （3）几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻
边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.
（4）三角形模式:如图,在中,是的中点,则.
▍知识点2:极化恒等式的作用和适用范围
（1）极化恒等式的作用:
建立了向量的数量积与几何长度（数量）之间的桥梁,实现向量与几何、代数的巧妙结合.
（2）极化恒等式的适用范围:
①对共起点（终点）的两向量的数量积问题可直接进行转化.
②对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点（终点）的两向量的数量积问题.
▍知识点3:极化恒等式的使用方法
在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下,极化恒等式的一般步骤如下:
第一步:取第三边的中点,连接向量的起点与中点;
第二步:利用极化恒等式公式,将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差;
第三步:利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度,从而求出数量积，如需进一步求数量积范围,可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边,两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值（范围）.
▍练题型 平面数量积的定值问题 1
【典例▪1】设向量满足,则____________.
【典例▪2】（2024·全国高一专题）如图所示, 在长方形中,为线段的四等分点,则____________.
【练习▪3】在直角梯形中,已知, ,,,.若为的中点,则的值为（ ）
A. B. C. D.
【练习▪4】在中,为的中点,若, ,,则______.
【练习▪5】（2023·全国高一）如图,在四边形中,若,则________.
【练习▪6】如图,平行四边形中,, 分别是 边上的中点,则________.
【练习▪7】（2024·苏州高三统考）如图,在中,已知,点分别在边上,且,点为中点,则的值为 .
【练习▪8】（2023·全国高三专题）如图,在中,点是的中点,、是上的两个三等分点, ,,则的值是 .

▍练题型 数量积的最值与范围问题 2
【典例▪9】（2022·北京高考）在中, .P为所在平面内的动点,且,则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【练习▪10】边长为的正方形内有一内切圆,是内切圆的一条弦,点为正方形四条边上的动点,当弦的长度最大时,的取值范围是_________.
【练习▪11】四边形为菱形,, ,是菱形所在平面的任意一点,则的最小值为________.
【练习▪12】已知是以为直径的上半圆上的动点（包含端点,）,是的中点,,则的最大值是 .
【练习▪13】已知点M是矩形内（包括边界）的一个动点,若,,则的最大值为 .
【练习▪14】在中,,,, PQ为内切圆的一条直径, M为边上的动点,则的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
【练习▪15】如图,在等腰直角三角形中,斜边,为线段上的动点（包含端点）,为的中点.将线段绕着点旋转得到线段,则的最小值为（ ）
A.B.C.D.
【练习▪16】图一是一个正六边形青花瓷盘,已知图二中正六边形的边长为2,圆的圆心为正六边形的中心,半径为1,若点在正六边形的边上运动,动点,在圆上运动且关于圆心对称,则的取值范围是 .

【练习▪17】（2024·成都高一统考期末）已知边长为2的菱形中,是边所在直线上的一点,则的取值范围为 .
【练习▪18】已知中,,,点P是外接圆圆周上的一个动点,则取值范围是 .
【练习▪19】（2024·黑龙江）线段是圆的一条直径,且是圆上的任意两点,,动点在线段上,则的取值范围 .
【练习▪20】梯形中,,, ,为线段上的动点,则的最小值为 .
【练习▪21】如图所示,在中, D为的中点, ,,是圆心为C、半径为1的圆的动直径,则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
【练习▪22】（2024·高三专题）如图直角梯形中,是边上长为的可移动的线段,, ,,则的最小值为 ,最大值为 .

二、等和线
▍知识点1:平面向量共线定理
已知,若,则三点共线;反之亦然.
▍知识点2:等和线
平面内一组基底及任一向量, ,若点在直线上或者在平行于的直线上,则（定值）,反之也成立,我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线.
①当等和线恰为直线时,;
②当等和线在点和直线之间时,;
③当直线在点和等和线之间时,;
④当等和线过点时,;
⑤若两等和线关于点对称,则定值互为相反数;
▍练题型 利用等和线处理系数和问题 3
【典例▪23】（2024·高三课时）在中,为边上任意一点,为中点,,则的值为________.
【典例▪24】（2024·全国高三专题）在矩形中,
,,动点在以点为圆心且与相切的圆上.若,则的最大值为_________.
【练习▪25】（2024·全国高三专题）已知是的重心,若,则的值为_______.
【练习▪26】如图,平面内有三个向量,其中与的夹角为与的夹角为,且.若, 则的值为_________.
【练习▪27】在矩形中,,动点在以点为圆心且与相切的圆上,若 ,则的最大值为_______.
【练习▪28】给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为,如图所示,点在以为圆心的上运动,若,则的取值范围是________.
【练习▪29】如图, 四边形是边长为1的正方形,点在的延长线上,且,点是 内任意一点（含边界）,设,则的取值范围为________.
【练习▪30】平面内的两个单位向量,它们的夹角是与向量的夹角都为,且满足.若,则的值为___________.
【练习▪31】的一内角为所在平面一点,且,设,则的最大值为_______.
【练习▪32】已知是内一点,且,点在内（不含边界）,若, 则的取值范围是_______.
【练习▪33】给定两个长度为1的平面向量和, 它们的夹角为,点在以为圆心的圆弧上运动,若,其中,则的最大值为_________.
【练习▪34】在扇形中,为弧上的一个动点.若,则的取值范围是_______.
【练习▪35】如图,圆是边长为的等边的内切圆,其与边相切于点,点为圆上任意一点, ,则的最大值为_________.
【练习▪36】已知为边长为2的等边三角形,动点在以为直径的半圆上.若,则的取值范围是__________.