人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质学案设计

2.1：等式的性质与不等式

课标解读：

1.   不等式与不等式的概念.（理解）
2.   实数比较大小的依据.（理解）
3.   等式的性质.（理解）
4.   不等式的性质.（掌握）

知识点1：不等关系与不等式

1.   不等关系与不等式

（1）在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，用数学符号“≠”、“＞”、“≥”、“＜”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等符号的式子叫做不等式.

（2）“<”或“>”连接的不等式叫做严格不等式；用“≤”或“≥”连接的不等式叫做非严格不等式.

（3）在两个不等式中，如果每一个不等式的左边都大于右边，或每一个不等式的左边都小于右边，这样的不等式叫作同向不等式。

在两个不等式中，如果一个不等式的左边大于右边，而另一个不等式的左边小于右边，那么这两个不等式叫作异向不等式

2.不等关系在实际生活中的体现

不等关系反映在日常生活的方方面面，比如：

（1）常量与常量之间的不等关系，如铁的密度大于水的密度；

（2）变量与常量之间的不等关系，如某卡车的承载质量G小于或等于10t.

（3）函数与函数之间的不等关系，如当时，方案一的费用小于方案二的费用.

（4）一组变量之间的不等关系，如买圆珠笔的费用与买作业本的费用的和不超过200元.

3.用不等式组表示不等关系

当问题情境中包含两个或两个以上的不等关系时，需要不等式组来表示不等关系.

例1：李辉准备用自己存的零花钱买一台学习机，他现在已存60元，计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元.设个月后他至少有400元，则他可以用于计算所需要的月数之间的不等式是（    ）

A.              B.

C.              D.

答案：B.

例1-2：完成一项装修工程，请木工需支付工资每人400元，请瓦工需支付工资每人500元，要求工人工资预算不超过20000元。设木工人，瓦工人，则下列关系式正确的是（     ）

A.              B.

C.              D.

答案：A.

知识点2：实数比较大小的依据（重点）

1.实数的特征

（1）任意实数的平方不小于0；

（2）任意两个实数都可以比较大小，反之，可以比较大小的数一定是实数.

2.实数大小比较的依据

在数轴上，不同的点A与点B分别表示两个不同的实数与，右边的点表示的数比左边的点表示的数大.如果是正数，那么；如果是等于0，那么；如果是负数，那么.反过来也对.

这可表示为

例2-3：设，则有（   ）

A.P≥Q          B.P＞Q          C.P＜Q          D.P≤Q

答案：A.

例2-4：已知则（   ）

A.M＞N         B.M=N          C.M＜N          D.不能确定

答案：A.

知识点3：等式的性质（重点）

等式有下面的基本性质

性质1：如果，那么；

性质2：如果，那么；

性质3：如果，那么；

性质4：如果，那么；

性质5：如果，那么.

例1：利用等式的基本性质，在横线上填上适当的数.

（1）若，则       ，=       ；

（2）若，则       ，=       ；

（3）若，则       ，=       .

答案：（1）-2  -1;  （2）-6   -2；   （3）-3  

知识点4：不等式的性质

例1：已知且均不为0，那么下列不等式一定成立的是（   ）

A.          B.        C.        D.

答案：D.

例2：下列命题为真命题的是（   ）

A.             B.

C.                 D.

答案：D

题型一：比较两个实数大小

比较两个实数大小的常用方法

作差比较法

（1）理论依据：

（2）一般步骤：ⅰ）作差，ⅱ）变形，ⅲ）判号，ⅳ）作结论。

（3）作差变形的常用方法：ⅰ）将差式因式分解；ⅱ）将差式根式有理化；ⅲ）将差式配方。

作商比较法

（1）理论依据：设。

（2）一般步骤：ⅰ）考查两个数是否为正；ⅱ）作商；ⅲ）变形；ⅳ）与1比较大小；ⅴ)作结论。

（3）当时，也可以用作商比较法，但结论相反

介值比较法

（1）理论依据：若，其中是的中介值

（2）介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个适当的中介值。

平方比较法

（1）理论依据：若

（2）平方比较法通常应用于无理式的大小比较，且多与作差比较法连用即平法过后作差。

例1.            已知为正数，试比较的大小

解析（作差法）

（作商法）

（平方比较法）

变式训练：

1.的大小关系             

2..满足的大小关系       

3.（多选）已知，那么下列命题这正确的是（ )

.若           若

            若

题型二.不等式的证明

例2.（1）若

     （2）已知，求证：

证明：（1）

即

     （2）

=

变式训练：

1.设

证明：

      则

      即

题型三：利用不等式的性质求范围

例1.    已知

（1），（2），（3），（4）

解析：（1）

     （2）

     （3）由题意可得：

     （4）

例2.已知的取值范围

解析：设

      则，

又，

提醒：这类问题在求解是易出现分别求得范围，而导致范围扩大的错误，注意保持条件的整体性

变式训练：

1.设，则的取值范围，的取值范围

2.已知的取值范围

3.设的取值范围

题型四：利用不等式的性质判断命题的真假

例1.    给出下列命题：（1）若；（3）若。其中正确命题的序号是

解析：（1）当

     （2）当

     （3）当

     （4）

又，

（特殊值法）取

变式训练：
1.已知，那么下列命题这正确的是（ )

                  .若

.若         .若

 2.（多选）已知，那么下列命题这正确的是（ )

.若           若

            若

基础巩固：

1.下列运用等式性质变形不正确的是（    ）

A.       B.   

C.           D.

2.已知，记，则M与N的大小关系是（   ）

A.M<N                 B.M=N            C.M>N        D.不确定

3.已知，则（    ）.

A.       B.     C.      D.   

4.设，则的大小关系是（    ）.

A.          B.          C.      D.   

5.用不等式表示如图两个函数之间的关系为          .

6.如图所示的两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成，图（2）是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母的不等式表示为         .

7.某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面几个条件的制约：生产次产品的工人不超过200人；每个工人的年工作时间为2100h，预计次产品明年的销售量至少为80000袋；生产每袋产品需要4h；生产每袋产品需要原料20kg；本年年底库存原料600t，明年可补充1200t.试根据这些数据预测明年的产量.

8.   若，试比较的大小.

能力提升

9.有外表一样、质量不同的四个小球，它们的质量分别是，已知，这四个小球的质量由大到小的排列顺序是（   ）

A.               B.

C.               D.

10.设，定义运算“∧”和“∨”如下：

∧，∨，

若正数满足，则（   ）

A.∧≥2，∧≤2        A.∧≥2，∨≥2

A.∨≥2，∧≤2        A.∨≥2，∨≥2 

12.若，则在①，②，③，④⑤这五个不等式中，恒成立的不等式序号是        .

13.已知，A=，B=，C=，D=，试判断A,B,C,D的大小关系.

14.甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为，另一半时间的速度为；乙车一半路程的速度为，另一半路程的速度为.若，试判断哪一辆车先到达B地.

15.已知三个不等式：①②③.若以其中两个作为条件，余下一个作为结论，请写出一个真命题，并写出推理过程.

参考答案：

1.   D
2.   C
3.   A
4.   B
5.  
6.  
7.   80000袋到90000袋之间
8.   略
9.   A
10. C

12.②④

13.C>A>B>D

14.甲车先到达B地

15.略