高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质课时作业

2.1 等式性质与不等式性质

【题组一 不等式性质】

1．（2020·全国高一开学考试）若、、为实数，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】B

【解析】对于A选项，若，则，故A不成立；

对于B选项，，在不等式同时乘以，得，

另一方面在不等式两边同时乘以，得，，故B成立；

对于选项C，在两边同时除以，可得，所以C不成立；

对于选项D，令，，则有，，，所以D不成立.

故选B.

2．（2020·武汉外国语学校高一月考）下列结论正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【解析】对于A，取时，，则A错误；

对于B，取时，，则B错误；

对于C，因为，所以由不等式的性质可知，则C正确；

对于D，取时，，则D错误；

故选：C

3．（2020·全国高三课时练习（理））若则一定有（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】本题主要考查不等关系．已知,所以，所以，故．故选

4．（2020·全国高一课时练习）已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是（    ）

A．a>b⇒ac2>bc2 B． C． D．

【答案】C

【解析】当c＝0时，A不成立；

当c<0时，B不成立；

当时，，即，所以C成立.

当时，，即，所以D不成立.

故选：C

5．（2020·浙江高一课时练习）对于实数，判断下列命题的真假．

（1）若，则．

（2）若，则．

（3）若，则．

（4）若，则．

（5）若，则．

（6）若，，则．

【答案】（1）假命题；（2）真命题；（3）真命题；（4）真命题；（5）真命题；（6）真命题.

【解析】（1）由于c的符号未知，因而不能判断与的大小，故该命题是假命题．

（2），，，，故该命题为真命题．

（3）．又，．

故该命题为真命题．

（4）,

又,故该命题为真命题．

（5），，

，．故该命题为真命题．

（6）由已知条件，得，

，．又，．

故该命题为真命题．

【题组二 比较大小】

1．（2020·全国高一课时练习）比较下列各组中两个代数式的大小：

（1）与；

（2）当，且时，与.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1），

因此，；

（2）.

①当时，即，时，，；

②当时，即，时，，.

综上所述，当，且时，.

2．（2020·全国高一课时练习）已知a，b均为正实数，试利用作差法比较与的大小.

【答案】

【解析】∵

.

又a，b均为正实数，

当时，；

当时，，

则.

综上所述，.

3．（2020·全国高一课时练习）已知，比较与的大小.

【答案】

【解析】

，，

又

，

.

【题组三 代数式的取值范围】

1．（2019·全国高一课时练习）已知，，则的值为____________.

【答案】24

【解析】由题得.故答案为：24

2．已知，，则的取值范围是（  ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】令4a﹣2b＝x（a﹣b）+y（a+b），即，解得：x＝3，y＝1，即4a﹣2b＝3（a﹣b）+（a+b）.

∵1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，∴3≤3（a﹣b）≤6，∴5≤（a﹣b）+3（a+b）≤10

故选：B．

3．（2019·广东高考模拟（文））设，且1是一元二次方程的一个实根，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】又因为1是一元二次方程的一个实根，

所以有，且，所以，

所以，所以排除A、B两项，

当时，，所以，此时，

当时，，此时，

当时，，所以，此时，

所以，故选C.

【题组四 不等式的证明】

1．（2020·全国高一课时练习）证明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R).

【答案】证明见详解.

【解析】，，当且仅当时，等号成立.

2.已知x≥1，y≥1，证明：

【证明】

因为x≥1，y≥1，所以x－1≥0，y－1≥0，xy≥1，所以≥0

故≥0，所以