高中数学空间向量及其运算导学案及答案

这是一份高中数学空间向量及其运算导学案及答案，共9页。学案主要包含了典例▪1，典例▪2，变式▪3，变式▪4，典例▪5，练习▪6，练习▪7，典例▪8等内容，欢迎下载使用。
一.向量的概念与表示
▍知识点1:向量的定义与概念
既有大小又有方向的量叫做向量.用有向线段表示向量,其箭头表示向量的方向,长度表示向量的大小,也是向量的长度（或模）.
▍知识点2:向量的表示
（1）几何表示
用有向线段表示向量,有向线段的起点为向量的起点,有向线段的终点为向是的终点,有向线段的长度表示向量的大小,即向量的模.
（2）字母表示
用带箭头的小写英文字母表示为;用带箭头的两个大写英文字母表示,如为向量的起点,为向量的终点.在印刷时,通常用加粗的斜体小写字母如,,等来表示向量.
注意:向量在平面中表示为有向线段,是可以自由平移的.
▍知识点3:向量的有关概念
（1）向量的模
向量的大小叫向量的模,或的模记作或.
（2）零向量
若即长度为0的向量为零向量,则称,其方向是任意的.
（3）单位向量
长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量.
（4）相等向量
长度相等且方向相同的向量.即且与同向.
（5）共线（平行）向量
定义:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,平行向量又叫共线向量,任一组平行向量都可以移到同一条直线上,向量与平行,记作.
规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有.
▍知识点4:有关概念的辨析
（1）向量与数量的区别
①向量被赋予了几何意义,即向量是具有方向的,而数量没有方向;
②数量可以比较大小,而向量无法比较大小,即使也不能说.
③0与不同,0表示数量,但表示零向量,其中.
（2）共线向量与相等向量
①共线向量的定义指的是非零向量的共线问题.
②共线向量中的向量所在的直线可以平行,也可以重合,与平面几何中的“共线”“平行”不同.
③相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定是相等向量.共线向量仅仅指向量的方向相同或相反;相等向量指大小和方向均相同.
［对应练习:基础1、基础2］
▶练基础 向量及相关概念 1
向量的判定及相关概念的区别:
（1）向量的判定
判定一个量是不是向量,关键看它是否具有向量的两要素:大小和方向.同时具备这两个要素的量是向量,否则就不是向量.
（2）向量与有向线段的关系
如果有向线段表示一个向量,通常我们就说向量,但有向线段只是向量的表示,并不是说向量就是有向线段.
（3）向量与数量的区别
①向量被赋予了几何意义,即向量是具有方向的,而数量没有方向;
②数量可以比较大小,而向量无法比较大小,即使也不能说.
【典例▪1】给出下列命题:
①和的模相等;
②方向不同的两个向量一定不平行;
③;
④.
其中正确命题的个数是（ ）
A.0B.1C.2D.3
【典例▪2】下列命题正确的个数是（ ）
（1）向量就是有向线段;
（2）零向量是没有方向的向量;
（3）零向量的方向是任意的;
（4）零向量的长度为0.
A.1B.2C.3D.4
【变式▪3】下列命题:
①方向不同的两个向量不可能是共线向量;
②长度相等、方向相同的向量是相等向量;
③平行且模相等的两个向量是相等向量;
④若,则.
其中正确命题的个数是（ ）
A.1B.2C.3D.4
【变式▪4】（多选）下列命题中正确的是（ ）
A.单位向量的模都相等
B.长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C.方向相同的两个向量,向量的模越大,则向量越大
D.两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同
▶练基础 相等向量与共线向量 2
（1）共线的向量不一定相等,但相等的向量一定共线.
（2）非零向量共线是指方向相同或相反的向量,可分为如下四种情况:①方向相同、模相等;②方向相同、模不等;③方向相反、模相等;④方向相反、模不等.
（3）零向量与任何向量共线（平行）;平行（共线）向量无传递性.
（4）两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念.
【典例▪5】如图,多边形ABCDEF为正六边形,在以此六边形各顶点和中心为起点、终点的向量中:
（1）写出与相等的向量;
（2）写出相反的向量;
（3）写出与平行的向量;
（4）写出与的模相等的向量.
【练习▪6】下列命题正确的是（ ）
A.零向量没有方向
B.若,则
C.若,,则
D.若,,则
【练习▪7】（多选）下列命题中错误的有（ ）
A.起点相同的单位向量,终点必相同;
B.已知向量,则四边形ABCD为平行四边形;
C.若A,B,C,D是不共线的四点,则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件;
D.的充要条件是且.
二.向量的加法运算
▍知识点1:向量加法的三角形法则
如图,已知非零向量,在平面内任取一点,作,则向量叫做与的和,记作,即, 这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则.
简记为:首尾顺次连接,指向终点.
当与共线时,求它们的和可用如图表示.
注意:零向量与任一向量的和都有.
▍知识点2:向量加法的平行四边形法则
如图,以同一点为起点的两个已知向量,以,为邻边
作,则以为起点的向量是的对角线）
就是向量与的和, 这种作两个向量和的方法叫做向量加法
的平行四边形法则.
注意:向量“共起点”作平行四边形
▍知识点3:多向量相加
为了得到有限个向量的和,只需将这些向量通过平移后依次首尾相接,那么以第一个向量的起点为起点,最后一个向量的终点为终点的向量,就是这些向量的和.即:
▍知识点4:向量加法的运算律
交换律:.
结合律:.
［对应练习:基础3］
▶练基础 向量加法的几何表示 3
运用三角形法则作两个向量和的关键是“作平移,首尾连”;当两向量不共线时,向量的加法也可采用平行四边形法则.
【典例▪8】如图,已知向量、,用向量加法的三角形法则作出向量.
（1） （2）
【典例▪9】如图,已知向量、,用向量加法的平行四边形法则作出向量.
（1） （2）
【练习▪10】如图,已知向量,,不共线,求作向量.
三.向量的减法运算
▍知识点1:相反向量
与长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量,记作.
▍知识点2:相反向量的性质
（1）;
（2）;
（3）;
（4）若与互为相反向量,则,, .
注意:相反向量与相等向量一样,从“长度”和“方向”两方面进行定义,相反向量必为平行向量.
▍知识点3:向量的减法
（1）定义:,即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
（2）减法的三角形法则:如图,已知非零向量,在平面内任取一点,作,连接,则.即把两个向量的起点放在一起,则两个向量的差是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量,这是向量减法的三角形法则,即向量减法的几何意义.
［对应练习:基础4—基础6］
▶练基础 相反向量的概念 4
【典例▪11】下列说法中,错误的是（ ）
A.等长且方向相反的两个向量是相反向量
B.方向相反的向量是相反向量
C.零向量的相反向量是零向量
D.互为相反向量的两个向量是共线向量
【典例▪12】若非零向量和互为相反向量,则下列说法中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【练习▪13】（多选）下列四个等式中,正确的是（ ）
A.B.
C.D.
【练习▪14】（多选）给出下列命题,其中叙述错误的命题为（ ）
A.向量的长度与向量的长度相等
B.向量与平行,则与的方向相同或相反
C.与方向相反
D.若非零向量与非零向量的方向相同或相反,则与,之一的方向相同
【练习▪15】（多选）给出下列命题,其中正确的命题是（ ）
A.若,则或
B.若向量是向量的相反向量,则
C.向量与相等
D.若向量,,满足,,则
▶练基础 向量减法的几何表示 5
作两个向量差的关键是“作平移,共始点;两尾连,指被减”.
【典例▪16】如图,已知向量、,求作.
（1） （2）
（3） （4）
【练习▪17】如图,已知向量,,不共线.
（1）作向量++; （2）作向量.
▶练基础 向量加减法的综合运算 6
1.注意满足下列两种形式可以化简
（1）首尾相连且为和.
（2）始点相同且为差.
做题时要注意观察是否有这两种形式,同时要注意逆向应用.
2.利用向量加减法基本运算化简向量的一般思路:
将若干个求和（差）的向量最终转化为首尾相接的向量,如果遇到差向量可利用相反向量转化为和向量.
【典例▪18】化简下列各式:
（1）;
（2）;
（3）;
（4）;
（5）;
（6）;
（7）;
（8）;
（9）;
【典例▪19】如图,在梯形ABCD中,,AC与BD交于点O,化简.
【练习▪20】如图,在中,为重心,点分别是,,的中点,化简下列各式:
（1）;
（2）;
（3）.
【练习▪21】如图,已知向量
（1）用表示;
（2）用表示;
（3）用表示;
（4）用表示
【练习▪22】如图所示,已知,,, ,,,试用表示下列各式:
（1）;
（2）;
（3）.
▶▷ 重点题型专练 ◁◀
▍练题型 加减法几何意义的应用 1
【典例▪23】在矩形中,,,则等于（ ）
A.B.C.3D.4
【变式▪24】已知是四边形所在平面上任一点,且.则四边形一定为（ ）
A.菱形 B.梯形
C.平行四边形 D.矩形
【变式▪25】已知向量满足,则与的夹角为_______.
【练习▪26】（2024·高一课时练习）设正方形的边长为2,则 .
【练习▪27】设点M是线段BC中点,点A在直线BC外,,则（ ）
A.8B.4C.2D.1
【练习▪28】四边形中,若,且,则（ ）
A.在四边形是矩形
B.在四边形是菱形
C.在四边形是正方形
D.在四边形是平行四边形
【练习▪29】已知非零向量.
（1）若,,且,求的值;
（2）若,且,求的值.
▍练题型 向量的三角不等式 2
1.向量加法的三角形不等式
向量的模与的模之间满足不等式.
当向量与同向时,右侧等号成立,当向量与反向时,左侧等号成立.
2.向量减法的三角不等式
向量的模与的模之间满足不等式.
当向量与反向时,右侧等号成立,当向量与同向时,左侧等号成立.
【典例▪30】（2024·辽宁统考）已知向量满足,则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
【典例▪31】已知,,则的取值范围是 .
【练习▪32】、为非零向量,且,则（ ）
A.与方向相同B.
C.D.与方向相反
【练习▪33】对于任意两个向量和,下列命题中正确的是（ ）
A.B.
C.D.
【练习▪34】若向量与共线,且,则 .
【练习▪35】已知向量满足,,则的最小值为 ,的最大值为 .
▶▷ 综合巩固提升 ◁◀
一、单选题
1.已知四边形为菱形,则下列等式中成立的是（ ）
A.B.
C.D.
3.（2023·浙江高三联考）已知向量,,均为单位向量,则“”是“与共线”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.已知等腰的直角边长为1,为斜边上一动点,则的最小值为（ ）
A.B.C.D.
二、填空题
6.已知O为四边形ABCD所在平面内一点,且向量,,,满足等式.若点E为AC的中点,则的值为 .
7.（2024·高一练习）在边长为1的等边三角形ABC中, , .
8.已知向量,满足,,则的最大值为 .
三、解答题
10.如图,已知D,E,F分别为的三边, ,的中点,求证:.