人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量基本定理学案及答案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量基本定理学案及答案，共9页。学案主要包含了典例▪1，变式▪2，练习▪3，练习▪4，练习▪5，典例▪6，变式▪7，练习▪8等内容，欢迎下载使用。

立体几何是高考的考察重点,翻折问题与动态性问题也是常考题型,常在小题当中出现,大题也有考察.考查热点仍是点、线、面的位置关系的判断和空间角的计算,解题的关键是弄清折叠前后哪些发生了变化,哪些没有发生变化.解题时我们要依据这些变化的与未变化的量来分析和解决问题.
常见考法:点的轨迹;位置关系;体积最值;外接球;夹角关系;展开图及最短距离问题
处理原则:明确翻折前后不变的位置关系和数量关系,以不变应万变
▍练题型 翻折与点的轨迹 1
某些点、线、面按照一定的规则运动,构成各式各样的轨迹,探求空间轨迹的关键是找到关键点和翻折过程中不变的数量关系与位置关系.
【典例▪1】如图,矩形中,,为边的中点,将沿翻折成,若为线段的中点,若在翻折过程中,点的轨迹为（ ）
A.椭圆的一段B.直线的一段 C.抛物线的一段D.一段圆弧
【变式▪2】（2024·全国高三专题）已知正方形ABCD的边长为2,将沿AC翻折到的位置,得到四面体,在翻折过程中,点始终位于所在平面的同一侧,且的最小值为,则点D的运动轨迹的长度为（ ）
A.B. C.D.
【练习▪3】如图,将四边形中,沿着翻折到,则翻折过程中线段中点的轨迹是（ ）
A.椭圆的一段B.抛物线的一段
C.双曲线的一段D.一段圆弧
【练习▪4】已知矩形,,,、分别为边、的中点.沿直线将翻折成,在点从至的运动过程中,的中点的轨迹长度为__________.
【练习▪5】（2024·四川内江高二期中）如图,已知菱形中,,,为边的中点,将沿翻折成（点位于平面上方）,连接和,为的中点,则在翻折过程中,点的轨迹的长度为 .

▍练题型 证明探索位置关系 2
【典例▪6】M,N分别为菱形ABCD的边BC,CD的中点,将菱形沿对角线AC折起,使点D不在平面ABC内,则在翻折过程中,对于下列两个命题:①直线MN恒与平面ABD平行;②异面直线AC与MN恒垂直.以下判断正确的是（ ）
A.①为真命题,②为真命题
B.①为真命题,②为假命题
C.①为假命题,②为真命题
D.①为假命题,②为假命题
【变式▪7】如图1,直线将矩形分为两个直角梯形和,将梯形沿边翻折,如图2,在翻折过程中（平面和平面不重合）,下列说法正确的是（ ）
A.在翻折过程中,恒有直线平面
B.存在某一位置,使得平面
C.存在某一位置,使得
D.存在某一位置,使得平面
【练习▪8】如图,矩形中,,为边的中点,将沿直线翻折成,若为线段的中点,则在翻折过程中,下面说法中正确的序号是（ ）

①是定值
②存在某个位置,使
③存在某个位置,使
④不在底面上时,则平面
A.①②B.①④C.①③D.②④
【练习▪9】已知矩形中,,,将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折,在翻折过程中,下列说法正确的是（ ）
A.存在某个位置,使得直线与直线垂直
B.存在某个位置,使得直线与直线垂直
C.存在某个位置,使得直线与直线垂直
D.对任意位置,三对直线“与”,“与”,“与”均不垂直
【练习▪10】平行四边形ABCD中,,将三角形ABD沿着BD翻折至三角形,则下列直线中有可能与直线垂直的是（ ）
①直线;②直线;③直线;④直线.
A.①②B.①④C.②③D.③④
【练习▪11】如图1,菱形中,,是其对角线, 是上一点,,将沿直线翻折,形成四棱锥（如图2）,则在翻折过程中,下列结论中正确的是（ ）

A.存在某个位置使得
B.存在某个位置使得
C.存在某个位置使得
D.存在某个位置使得
【练习▪12】如图,在矩形ABCD中,E为边AB的中点,将沿直线DE翻折成若M为线段A₁C的中点,则在翻折过程中,给出以下命题:
①存在某个位置,使平面
②存在某个位置,使
③线段BM的长是定值;
④存在某个位置,使平面
其中所有正确命题的编号是（ ）

A.①② B.①③ C.②④ D.①③④
【练习▪13】（2024·高二专题）如图,在矩形中,分别为边上的点,且, ,设分别为线段的中点,将四边形沿着直线进行翻折,使得点不在平面上,在这一过程中,下列关系不能成立的是（ ）

A.直线直线
B.直线直线
C.直线直线
D.直线平面
【练习▪14】（2024·四川高二练习）已知中,,,,、分别是、中点,将沿直线翻折至,形成四棱锥,在翻折过程中,下列结论可能成立的为（ ）

A.B.
C.D.平面平面
▍练题型 外接球问题 3
【典例▪15】（2024·全国高二专题）在矩形中, ,现将沿对角线翻折,得到四面体,则该四面体外接球的体积为（ ）
A.B.
C.D.
【变式▪16】（2024·四川泸州一模）已知菱形的边长为6,,将沿对角线翻折,使点到点处,且二面角为,则此时三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【练习▪17】已知菱形的边长为6,,将沿对角线翻折,使点到点处,且二面角为,则此时三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A.B.C.D.
【练习▪18】（2024·安徽高二考试）在中, 为的中点.将沿翻折,得到三棱锥,当二面角为时,三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A.B.C.D.
【练习▪19】（2024·黑龙江）如图,平面四边形中,,,, ,将沿翻折,使点D移动至点P,且,则三棱锥外接球体积为（ ）
A.B.C.D.
【练习▪20】（2024·全国高二专题练习）已知平面四边形ABCD中,,现沿BD进行翻折,使得A到达的位置,连接,此时二面角为150°,则四面体外接球的半径为（ ）
A.B.C.D.
【练习▪21】（2024·全国高二专题练习）在四边形ABCD中,,,将沿AC翻折至,三棱锥的顶点都在同一个球面上,若该球的表面积为,则三棱锥的体积为（ ）
A.B.C.D.
【练习▪22】如图1,四边形中,, ,,将沿翻折至,使二面角的正切值等于,如图2,四面体的四个顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为（ ）
A.B.C.D.
▍练题型 体积最值问题 4
【典例▪23】（2024·全国高二专题）在梯形中, ,将沿直线翻折成,当三棱锥的体积最大时,三棱锥的外接球的表面积为_____________.
【练习▪24】已知平面四边形ABCD,连接对角线BD,得到等边三角形ABD和直角三角形BCD,且, ,,将平面四边形ABCD沿对角线BD翻折,得到四面体,则当四面体的体积最大时,该四面体的外接球的表面积为（ ）
A.12πB.18πC.21πD.28π
【练习▪25】如图,在矩形ABCD中,AB＝2AD＝2a,E是AB的中点,将△ADE沿DE翻折至△A1DE的位置,使三棱锥A1﹣CDE的体积取得最大值,若此时三棱锥A1﹣CDE外接球的表面积为16π,则a＝（ ）
A.2B.C.D.4
【练习▪26】（2024·湖北）如图1,直角梯形中,, 取中点,将沿翻折（如图2）,记四面体的外接球为球（为球心）.是球上一动点,当直线与直线所成角最大时,四面体体积的最大值为（ ）
A.B.C.D.
▍练题型 展开图及最短距离问题 5
【典例▪27】如图,四棱锥中,平面平面,底面是正方形,是边长为2的正三角形,E,F分别是棱上的动点,则的最小值是（ ）
A.B.
C.D.
【变式▪28】如图,圆锥的母线长为,底面圆的半径为,若一只蚂蚁从圆锥的点出发,沿表面爬到的中点处,则其爬行的最短路线长为,则圆锥的底面圆的半径为（ ）
A.B.C.D.
【练习▪29】如图,三棱柱中,底面,,是上一动点,则的最小值是_______.
【练习▪30】（2024·全国高二专题练习）如图,在长方体中,,点在棱上,当取得最小值时,,则线段的长为________.
【练习▪31】如图,直三棱柱中,, ,点是棱的中点,蚂蚁从点出发,绕过三棱柱的一条棱爬到点处,则这只蚂蚁爬行的最短路程是__________.
▍练题型 折叠中的夹角关系 6
【典例▪32】（2024·浙江宁波高二期中）等腰梯形中,,沿对角线将平面折起,折叠过程中,与夹角的取值范围为（ ）
A.B.
C.D.
【变式▪33】在正方形ABCD中,O为BD中点,将平面ABD沿对角线BD翻折,使得平面平面BCD,则直线AB与CD所成角的大小为（ ）
A.30°B.45°C.60°D.90°
【练习▪34】（2024·湖北恩施高二上期末）在中, ,将沿翻折,使,则平面与平面夹角的余弦值是（ ）
A.B.C.D.
【练习▪35】（2024·山西高一下期末）在矩形中,,E是的中点,将沿翻折,当翻折到的位置时,连接, ,如图所示,设的中点为F,当时,二面角的余弦值为（ ）
A.B.C.D.
【练习▪36】（2024·浙江杭州高二上期中）如图,在菱形ABCD中,,线段AD,BD的中点分别为E,F.现将沿对角线BD翻折,则异面直线BE与CF所成角的取值范围（ ）

A. B. C. D.
【练习▪37】如图,梯形中,, ,沿着对角线折叠使得点B,点C的距离为,此时二面角的平面角为（ ）
A.B.C.D.
▍练题型 与折叠有关的综合问题 7
【练习▪38】如图,矩形中,已知为边的中点.将沿翻折成,若为线段的中点,给出下列说法:①翻折到某个位置,可以使得平面;②无论怎样翻折,点总在某个球面上运动.则（ ）
A.①和②都正确B.①和②都错误
C.①正确,②错误D.①错误,②正确
【练习▪39】如图,四边形中,是以为斜边的等腰直角三角形,为等边三角形, ,将沿对角线翻折到在翻折的过程中,下列结论中不正确的是（ ）
A.
B.与可能垂直
C.直线与平面所成角的最大值是
D.四面体的体积的最大是
【练习▪40】已知在矩形中,将沿对角线所在的直线进行翻折,在三棱锥中,一定不成立的是（ ）
A.为锐角
B.
C.平面
D.三棱锥外接球的体积不变
【练习▪41】如图,四边形为矩形,, 是的中点,将沿翻折至的位置（点平面）,设线段的中点为,则在翻折过程中,下列论断不正确的是（ ）
A.平面
B.异面直线与所成角的大小恒定不变
C.
D.当平面平面时,与平面所成角为
【练习▪42】（2024·全国高二专题练习）已知四边形为矩形,,,为的中点,将沿折起,得到四棱锥（如图）,设的中点为.
在翻折过程中,有如下四个命题:
①平面;
②的长度为定值;
③三棱锥体积的最大值为;
④在翻折过程中,存在某个位置,使得.
其中真命题的个数为（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个
【练习▪43】已知矩形,,,将沿对角线AC进行翻折,得到三棱锥,则在翻折的过程中,有下列结论:
①三棱锥的体积最大值为;
②三棱锥的外接球体积不变;
③三棱锥的体积最大值时,二面角的大小是60°;
④异面直线AB与CD所成角的最大值为90°.
其中正确的是（ ）
A.①②④B.②③C.②④D.③④
【练习▪44】（多选）矩形中,,将沿对角线进行翻折,点翻折至点,连接,得到三棱锥,则在翻折过程中,下列结论正确的是（ ）
A.三棱锥的外接球表面积不变
B.三棱锥的体积最大值为
C.异面直线与所成的角可能是
D.直线与平面所成角不可能是
【练习▪45】（2024·全国高二专题练习）（多选）如图,在菱形中,为的中点,将沿直线翻折到的位置,连接和为的中点,在翻折过程中,则下列结论中正确的是（ ）
A.面面
B.线段长度的取值范围为
C.直线和所成的角始终为
D.当三棱锥的体积最大时,点在三棱锥外接球的外部
【练习▪46】（2024·高二专题）（多选）如图1,在菱形ABCD中,,,将沿AC折起,使点B到达点P的位置,形成三棱锥,如图2.在翻折的过程中,下列结论正确的是（ ）
A.
B.三棱锥体积的最大值为3
C.存在某个位置,使
D.若平面平面ACD,则直线AD与平面PCD所成角的正弦值为
【练习▪47】（2024·全国高二专题）（多选）如图,在菱形ABCD中,AB＝2,,M为BC的中点,将△ABM沿直线AM翻折到△AB1M的位置,连接B1C和B1D,N为B1D的中点,在翻折过程中,则下列结论中正确的是（ ）
A.始终有AM⊥B1C
B.线段CN的长为定值
C.直线AB1和CN所成的角始终为
D.当三棱锥B1﹣AMD的体积最大时,其外接球的表面积是
【练习▪48】（2024·高三专题）（多选）如图,在菱形ABCD中,AB=2,,将沿BD折起,使A到,且点不落在底面BCD内,若点M为线段的中点,则在翻折过程中,以下命题中正确的是（ ）
A.四面体的体积的最大值为1
B.存在某一位置,使得BM⊥CD
C.异面直线BM与所成的角为定值
D.当二面角的余弦值为时,